人教新课标高中数学必修四第二章平面向量检测及答案解析
文档属性
| 名称 | 人教新课标高中数学必修四第二章平面向量检测及答案解析 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 107.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-12-04 19:54:15 | ||
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文档简介
第2章 平面向量（数学必修4）
建议用时
实际用时
满分
实际得分
120分钟
150分
填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上）
1.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量等于 .
2. 有下列四个关系式：①|a·b|=|a|·|b|;②|a·b|≤|a|·|b|;③|a·b|≥|a|·|b|;④|a·b|≠|a|·|b|.其中正确的关系式是 .
3.在△ABC中，AB边上的高为CD,若=a, =b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则= .
4.已知向量a=(2,1),a· b=10,|a+b|=5,则|b|= .
5.设x，y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|= .
6.设a=(，tan )，b=(cos ，)，且a∥b，则锐角的值为 .
7.点P为△ABC所在平面内任一点，且++=，则点P与△ABC的位置关系是 .
8.对于向量a、b、c和实数，下列命题中的真命题是 .若a·b=0，则a=0或b=0;若a=0，=0或a=0;若a2=b2，则a=b或a=-b;若a·b=a·c，则b=c.
9. 在△ABC所在平面存在一点O使得 + + = 0，则面积 = .
10.若将向量a=（1，2）绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则b的坐标是 .
11.已知平面上三点A、B、C满足||=3，||=4，||=5，则·+·+·的值等于 .
12.已知点A（1，-2），若向量与a=（2，3）同向，||=，则点B的坐标为 .
13. 设=(3，1)，=(-1，2)， ⊥ , ∥,又+=，则的坐标 是 .
14.若对n个向量a1，a2，…，an存在n个不全为零的实数k1,k2,…,kn，使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立，则称向量a1,a2,…,an为“线性相关”.依此规定，能说明a1=(1,2),a2=(1,-1)，a3=(2,10)“线性相关”的实数k1,k2,k3依次可以取 （写出一组数值即可，不必考虑所有情况）.
二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共80分）
15.(15分)设a，b，c，d∈R，
求证：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）.
16.（15分）已知实数a，b，c，d，求函数f（x）=的最小值.
17.（21分）平面内给定三个向量a＝（3，2），b＝（-1，2），c=（4，1）.
（1）求满足a=mb+nc的实数m,n；
（2）若（a+kc）∥(2b-a)，求实数k；
（3）设d=(x,y)满足（d-c）∥(a+b)，且|d-c|＝1，求向量d.
18.（14分）设平面内两向量a与b互相垂直，且|a|=2，|b|=1，又k与t是两个不同时为零的实数.
（1）若x=a+（t-3）b与y=-ka+tb垂直，求k关于t的函数表达式k=f（t）；
（2）求函数k=f（t）的最小值.
19.（15分）一条河的两岸平行，河的宽度d为 500 m，一条船从A处出发航行到河的正对岸B处，船航行的速度|v1|=10 km/h，水流速度|v2|= 4 km/h，那么v1与v2的夹角（精确到1°）多大时，船才能垂直到达对岸B处？船行驶多少时间？（精确到0.1 min）
第2章 平面向量（数学苏教版必修4）
答题纸
得分：
一、填空题
1． 2． 3． 4． 5． 6．
7． 8． 9． 10． 11． 12．
13． 14．
二、解答题
15.
16.
17.
18.
19.
第2章 平面向量（数学苏教版必修4）
答案
一、填空题
1. a+c-b 解析：如图，点O到平行四边形三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，
结合图形有=+=+=+-=a+c-b.
2. 解析：|a·b|=|a||b||cos |≤|a|·|b|,其中为a与b的夹角.
3. a-b 解析：利用向量的三角形法则求解.
如图，∵ a·b=0，∴ a⊥b，∴ ∠ACB=90°，
∴ AB==.
又CD⊥AB,
∴ AC2=AD·AB，∴ AD=.
∴ ==（a-b）=a-b.
4.5 解析：｜a+b｜2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=50，即5+2×10+|b|2=50,
∴ |b|=5.
5. 解析：利用平面向量共线和垂直的条件求解.
∵ a=（x,1）,b=（1,y）,c=（2,-4）,
由a⊥c得a·c=0,即2x-4=0,∴ x=2.
由b∥c,得1×（-4）-2y=0,∴ y=-2.
∴ a=（2,1）,b=（1,-2）.
∴ a+b=（3,-1）,∴ |a+b|==.
6. 解析：∵ a∥b，∴ ×-tan cos =0，
即sin =，∴ =.
7. P在AC边上 解析：∵ ++=，
∴ +=+=，即=2.
∴ A、C、P三点共线，即P在AC边上.
8. 解析：取a=（1，0），b=（0，-1），满足条件a·b=0，a2=b2，但不能推得a=0或b=0，a=b或a=-b，故选项、均假；向量数量积运算不满足消去律，故选项假.
9. 解析：∵ + + = 0 ，∴ + = ，
设 + =， ∴O是AD的中点，
要求面积之比的两个三角形是同底的三角形，
∴面积之比等于三角形的高之比，∴比值是，
10. （，） 解析：设b=（x，y），则|b|=|a|=，a·b=|a||b|·cos=××=，即x2+y2=5，x+2y=，解得x=，y=（舍去x=，y=）.故b=（，）.
11.-25 解析：∵||2+||2=||2，
∴ △ABC为直角三角形，AB⊥BC，
cos A=，cos C=.
∴原式=3×4×0+4×5×()+5×3×()=.
12.（5，4） 解析：设=（x，y），∵ 与a同向，
∴ =λa（λ>0），即（x，y）=λ（2，3）.∴ 又||=2，∴ x2+y2=52.
∴ 4λ2+9λ2=52，解得λ=2（负值舍去）.
∴ 点B的坐标为（5，4）.
13. 1 解析：设=(x,y),由⊥,得-x+2y=0.①
由=-=(x+1,y-2), ∥,
得(x+1)-3(y-2)=0.②
由①②联立，解得x=14,y=7.
故=-=(14，7)-(3，1)=(11，6).
14.只要写出-4c,2c,c(c≠0)中一组即可，如-4，2，1等
解析：由k1a1+k2a2+k3a3＝0得
∴ k1=-4c,k2=2c,k3=c(c≠0).
二、解答题
15.证明：引入向量a=（a，b），b=（c，d）.
设向量a、b的夹角为，则
（ac+bd）2=（a·b）2=（|a||b|cos ）2≤（|a||b|）2=（a2+b2）（c2+d2）.
16.解：引入向量a=（x+a，b），b=（c-x，d），
则原函数变为f（x）=|a|+|b|.
∴ f（x）=|a|+|b|≥|a+b|==.
∴ 函数f（x）的最小值为.
17.解：（1）因为a=mb+nc,
所以（3，2）＝（-m+4n,2m+n）,
所以
（2）因为（a+kc）∥(2b-a),
又a+ k c=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
所以2（3+4k）+5（2+k）＝0，即k=-.
（3）因为d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),
又（d-c）∥(a+b),|d-c|=1，
所以
所以d=（）,或d=（）.
18.解：（1）∵ a⊥b，∴ a·b=0.
又x⊥y，∴ x·y=0，
即［a+（t-3）b］·（-ka+tb）=0，
-ka2-k（t-3）a·b+ta·b+t（t-3）b2=0.
将|a|=2，|b|=1代入上式得-4k+t2-3t=0，
即k=f（t）=（t2-3t）.
（2）由（1）知k=f（t）=（t2-3t）=（t-）2,
∴ 当t=时，k最小=.
19.解：如图，根据向量的平行四边形法则和解三角形知识可得| v1|2=| v |2+| v 2|2，
得| v|= =≈9.2（km/h）.
∵ cos（π-）===，∴ π-≈π，即≈π=114°，
时间t=≈=（h）,即约3.3 min.
答：v1与v 2的夹角约为114°时船才能垂直到达对岸B处，大约行驶3.3 min.
建议用时
实际用时
满分
实际得分
120分钟
150分
填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上）
1.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量等于 .
2. 有下列四个关系式：①|a·b|=|a|·|b|;②|a·b|≤|a|·|b|;③|a·b|≥|a|·|b|;④|a·b|≠|a|·|b|.其中正确的关系式是 .
3.在△ABC中，AB边上的高为CD,若=a, =b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则= .
4.已知向量a=(2,1),a· b=10,|a+b|=5,则|b|= .
5.设x，y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|= .
6.设a=(，tan )，b=(cos ，)，且a∥b，则锐角的值为 .
7.点P为△ABC所在平面内任一点，且++=，则点P与△ABC的位置关系是 .
8.对于向量a、b、c和实数，下列命题中的真命题是 .若a·b=0，则a=0或b=0;若a=0，=0或a=0;若a2=b2，则a=b或a=-b;若a·b=a·c，则b=c.
9. 在△ABC所在平面存在一点O使得 + + = 0，则面积 = .
10.若将向量a=（1，2）绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则b的坐标是 .
11.已知平面上三点A、B、C满足||=3，||=4，||=5，则·+·+·的值等于 .
12.已知点A（1，-2），若向量与a=（2，3）同向，||=，则点B的坐标为 .
13. 设=(3，1)，=(-1，2)， ⊥ , ∥,又+=，则的坐标 是 .
14.若对n个向量a1，a2，…，an存在n个不全为零的实数k1,k2,…,kn，使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立，则称向量a1,a2,…,an为“线性相关”.依此规定，能说明a1=(1,2),a2=(1,-1)，a3=(2,10)“线性相关”的实数k1,k2,k3依次可以取 （写出一组数值即可，不必考虑所有情况）.
二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共80分）
15.(15分)设a，b，c，d∈R，
求证：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）.
16.（15分）已知实数a，b，c，d，求函数f（x）=的最小值.
17.（21分）平面内给定三个向量a＝（3，2），b＝（-1，2），c=（4，1）.
（1）求满足a=mb+nc的实数m,n；
（2）若（a+kc）∥(2b-a)，求实数k；
（3）设d=(x,y)满足（d-c）∥(a+b)，且|d-c|＝1，求向量d.
18.（14分）设平面内两向量a与b互相垂直，且|a|=2，|b|=1，又k与t是两个不同时为零的实数.
（1）若x=a+（t-3）b与y=-ka+tb垂直，求k关于t的函数表达式k=f（t）；
（2）求函数k=f（t）的最小值.
19.（15分）一条河的两岸平行，河的宽度d为 500 m，一条船从A处出发航行到河的正对岸B处，船航行的速度|v1|=10 km/h，水流速度|v2|= 4 km/h，那么v1与v2的夹角（精确到1°）多大时，船才能垂直到达对岸B处？船行驶多少时间？（精确到0.1 min）
第2章 平面向量（数学苏教版必修4）
答题纸
得分：
一、填空题
1． 2． 3． 4． 5． 6．
7． 8． 9． 10． 11． 12．
13． 14．
二、解答题
15.
16.
17.
18.
19.
第2章 平面向量（数学苏教版必修4）
答案
一、填空题
1. a+c-b 解析：如图，点O到平行四边形三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，
结合图形有=+=+=+-=a+c-b.
2. 解析：|a·b|=|a||b||cos |≤|a|·|b|,其中为a与b的夹角.
3. a-b 解析：利用向量的三角形法则求解.
如图，∵ a·b=0，∴ a⊥b，∴ ∠ACB=90°，
∴ AB==.
又CD⊥AB,
∴ AC2=AD·AB，∴ AD=.
∴ ==（a-b）=a-b.
4.5 解析：｜a+b｜2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=50，即5+2×10+|b|2=50,
∴ |b|=5.
5. 解析：利用平面向量共线和垂直的条件求解.
∵ a=（x,1）,b=（1,y）,c=（2,-4）,
由a⊥c得a·c=0,即2x-4=0,∴ x=2.
由b∥c,得1×（-4）-2y=0,∴ y=-2.
∴ a=（2,1）,b=（1,-2）.
∴ a+b=（3,-1）,∴ |a+b|==.
6. 解析：∵ a∥b，∴ ×-tan cos =0，
即sin =，∴ =.
7. P在AC边上 解析：∵ ++=，
∴ +=+=，即=2.
∴ A、C、P三点共线，即P在AC边上.
8. 解析：取a=（1，0），b=（0，-1），满足条件a·b=0，a2=b2，但不能推得a=0或b=0，a=b或a=-b，故选项、均假；向量数量积运算不满足消去律，故选项假.
9. 解析：∵ + + = 0 ，∴ + = ，
设 + =， ∴O是AD的中点，
要求面积之比的两个三角形是同底的三角形，
∴面积之比等于三角形的高之比，∴比值是，
10. （，） 解析：设b=（x，y），则|b|=|a|=，a·b=|a||b|·cos=××=，即x2+y2=5，x+2y=，解得x=，y=（舍去x=，y=）.故b=（，）.
11.-25 解析：∵||2+||2=||2，
∴ △ABC为直角三角形，AB⊥BC，
cos A=，cos C=.
∴原式=3×4×0+4×5×()+5×3×()=.
12.（5，4） 解析：设=（x，y），∵ 与a同向，
∴ =λa（λ>0），即（x，y）=λ（2，3）.∴ 又||=2，∴ x2+y2=52.
∴ 4λ2+9λ2=52，解得λ=2（负值舍去）.
∴ 点B的坐标为（5，4）.
13. 1 解析：设=(x,y),由⊥,得-x+2y=0.①
由=-=(x+1,y-2), ∥,
得(x+1)-3(y-2)=0.②
由①②联立，解得x=14,y=7.
故=-=(14，7)-(3，1)=(11，6).
14.只要写出-4c,2c,c(c≠0)中一组即可，如-4，2，1等
解析：由k1a1+k2a2+k3a3＝0得
∴ k1=-4c,k2=2c,k3=c(c≠0).
二、解答题
15.证明：引入向量a=（a，b），b=（c，d）.
设向量a、b的夹角为，则
（ac+bd）2=（a·b）2=（|a||b|cos ）2≤（|a||b|）2=（a2+b2）（c2+d2）.
16.解：引入向量a=（x+a，b），b=（c-x，d），
则原函数变为f（x）=|a|+|b|.
∴ f（x）=|a|+|b|≥|a+b|==.
∴ 函数f（x）的最小值为.
17.解：（1）因为a=mb+nc,
所以（3，2）＝（-m+4n,2m+n）,
所以
（2）因为（a+kc）∥(2b-a),
又a+ k c=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
所以2（3+4k）+5（2+k）＝0，即k=-.
（3）因为d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),
又（d-c）∥(a+b),|d-c|=1，
所以
所以d=（）,或d=（）.
18.解：（1）∵ a⊥b，∴ a·b=0.
又x⊥y，∴ x·y=0，
即［a+（t-3）b］·（-ka+tb）=0，
-ka2-k（t-3）a·b+ta·b+t（t-3）b2=0.
将|a|=2，|b|=1代入上式得-4k+t2-3t=0，
即k=f（t）=（t2-3t）.
（2）由（1）知k=f（t）=（t2-3t）=（t-）2,
∴ 当t=时，k最小=.
19.解：如图，根据向量的平行四边形法则和解三角形知识可得| v1|2=| v |2+| v 2|2，
得| v|= =≈9.2（km/h）.
∵ cos（π-）===，∴ π-≈π，即≈π=114°，
时间t=≈=（h）,即约3.3 min.
答：v1与v 2的夹角约为114°时船才能垂直到达对岸B处，大约行驶3.3 min.