2.1 向量的概念及表示（数学苏教版 必修4）检测及答案解析

2.1 向量的概念及表示（数学苏教版必修4）
建议用时
实际用时
满分
实际得分
45分钟
100分
一、填空题（每小题5分，共30分）
1.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功.其中不是向量的有 个.
2.下列说法：①单位向量都平行；②零向量与任意向量都平行；③0是唯一没有方向的向量;④||=||.其中正确的是 .
3. 给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若｜a｜=|b|,则a=b;
③若=，则ABCD是平行四边形；
④平行四边形ABCD中，一定有=；
⑤若m=n,n=k,则m=k;
⑥若a∥b,b∥c，则a∥c.
其中不正确的命题的个数为 .
4. 已知下列命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中假命题为 .
5.如图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出 个互不相等的非零向量.
6.下列四个命题：①若|a|=0,则a=0；②若|a|=|b|，则a=b或a=-b；③若a∥b,则|a|=|b|;④若a=0，则-a=0，其中正确命题有 .
二、解答题(共70分)
7.(20分)如图，四边形ABCD与ABDE都是平行四边形.
(1)用有向线段表示与向量相等的向量；
(2)用有向线段表示与向量共线的向量.
8.(15分) 如图，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.
求证：＝.
9.(15分)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，F，G分别是AB，AC上的点，且AF∶AB＝1∶4，AG∶GC＝1∶3，求证：向量和共线.
10.(20分)如图，线段AE的四等分点分别是B、C、D，写出以A、B、C、D、E中的两点为起点和终点，且分别满足下列条件的向量：
(1)与共线且长度为||的所有向量；
(2)与相等的所有向量.

2.1 向量的概念及表示（数学苏教版必修4）
答题纸
得分：
一、填空题
1． 2． 3． 4． 5． 6．
二、解答题
7.
8.
9.
10.

2.1 向量的概念及表示（数学苏教版必修4）
答案
一、填空题
1. 4 解析：日常生活中，常用到两类量，一类量是只有大小而没有方向，如质量、路程、密度、温度、功等，这类量叫作数量，它是一个代数量，可以进行代数运算；另一类量是既有大小又有方向，如速度、位移、力、加速度等，这类量叫作向量.
2. ②④ 解析：①错误，长度等于1个单位长度的向量叫作单位向量，单位向量有无数多个且每个都有确定的方向，故单位向量不一定平行；②正确，零向量的方向是任意的，故零向量与任意向量都平行；③错误，0有方向，只不过它的方向是任意的.④正确.故只有②④正确.
3. 4 解析：两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量相等；但两个向量相等，却不一定起点相同，终点相同，故①不正确.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确.③也不正确，因为A，B，C，D可能落在同一条直线上.零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中若b=0,则a与c就不一定平行了，因此⑥也不正确.
4. ②④⑤⑥ 解析：①真命题.
②假命题.若a与b中有一个为零向量，则其方向是不确定的.
③真命题.
④假命题.终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反.
⑤假命题.共线向量所在的直线可以重合，也可以平行.
⑥假命题.向量是用有向线段来表示的，但向量并不是有向线段.
5. 6 解析：可设AD的长度为3，那么长度为1的向量有6个，其中==，==；长度为2的向量有4个，其中=，=；长度为3的向量有2个，分别是和，所以最多可以写出6个互不相等的向量.
6. ④ 解析：①中忽略了0和0的区别，由|a|=0知a=0, 但a≠0.②中是把两个向量的模相等和两个实数相等混淆了，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，并不意味着它们的方向是相同或相反.③中是对两个平行向量的意义理解不透，两个向量平行，只是说明这两个向量的方向相同或相反，而它们的模却不一定相等.④中零向量的相反向量仍为零向量.
二、解答题
7. 解：(1) 、；
(2) 、、、、、、.
8.证明：∵ ＝，∴ ｜｜＝｜｜且AB∥CD，∴ 四边形ABCD为平行四边形.
∴ ｜｜＝｜｜且DA∥CB.
又∵ 与的方向相同，∴ =.
∵ ＝，∴ ||=||且CN∥MA,∴ 四边形CNAM是平行四边形.
∴ ||=||且CM∥NA.
又∵ 与的方向相同，∴ =.∴ =.
9. 证明：∵ D,E分别是边AB,AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，从而DE∥BC.①
又∵ AF∶AB=1∶4,∴ AF∶FB=1∶3.
又AG∶GC=1∶3,∴ AF∶FB=AG∶GC,∴ FG∥BC.②
由①②可知，DE∥FG,∴ 向量与共线.
10.解：(1) 、、、、;(2) 、.