2.4 向量的数量积（数学苏教版必修4）检测及答案解析

2.4 向量的数量积（数学苏教版必修4）
建议用时
实际用时
满分
实际得分
45分钟
100分
一、填空题（每小题5分，共30分）
1. 已知a=（1，2），b=（-3，2），若ka+b与a-3b垂直，则k的值为 .
2. 已知向量a=（2cos ，2sin ），∈(，π)，b=（0，-1），则a与b的夹角为 .
3. 设a、b是非零向量，若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图象是一条直线，则必有 .（填正确的序号）
a⊥b； a∥b；|a|=|b|； |a|≠|b|.
4. 如果向量a与b的夹角为，那么我们称a×b为向量a与b 的“向量积”，a×b是一个向量，它的长度为|a×b|=|a||b|sin .如果|a|=5,|b|=1,a·b=-3,则|a×b|= .
5.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴，b=(2,-1)，则a= .
6. 设a=（4，-3），b=（2，1），若a+tb与b的夹角为45°，则t的值为 .
二、解答题(共70分)
7.（15分）已知a=（-2，2），b=（5，m），若|a+b|不超过5，求m的取值范围.
8.（20分）已知a=（2，3），b=（-3，5），求a在b方向上的投影.
9. （15分）已知a=（-4，-3），b=（-3，-2），c=2a+ b，d=-a+2b，当实数为何值时，向量c-d与a垂直？
10. （20分）四边形ABCD中，=a，=b，=c，=d，且a·b=b·c=c·d=d·a，试问四边形ABCD是什么图形？


2.4 向量的数量积（数学苏教版必修4）
答题纸
得分：
一、填空题
1． 2． 3． 4． 5． 6．
二、解答题
7.
8.
9.
10.

2.4 向量的数量积（数学苏教版必修4）
答案
一、填空题
1. 19 解析：ka+b=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），
a-3b=（1，2）-3×（-3，2）=（10，-4）.
又ka+b与a-3b垂直，故（ka+b）·（a-3b）=0，
即（k-3）·10+（2k+2）·（-4）=0，得k=19.
2. - 解析：设a与b的夹角为，则
cos ===-sin =cos(+).
∵ ∈（，π），∈［0，π］，
∴ cos =cos(+)=cos(-).∴ =-.
3. 解析： f(x)=(xa+b)·(a-xb)=- a·bx2+(a2-b2)x+a·b,
若函数f(x)的图象是一条直线，则其二次项系数为0，∴ a·b=0,∴ a⊥b.
4. 4 解析：由于|a|=5，|b|=1，a·b=|a||b|cos =-3,所以cos =-.
又因为为向量a与b的夹角，所以sin =,
所以|a×b|=|a||b|sin =4.
5. (-1,1)或（-3，1） 解析：设a=(x,y),
则a+b=(x+2,y-1),
由题意得?
∴ a=(-1,1)或（-3，1）.
6.1 解析：∵ a=（4，-3），b=（2，1），
∴ a+tb=（4+2t，-3+t）.
∵ a+tb与b的夹角为45°,
∴ （a+tb）·b=|a+tb|·|b|·cos 45°，
∴ （4+2t）×2+（-3+t）=，
∴ 5t+5=.
∴ =（t+1）.①
将①式两边平方得t2+2t-3=0，解得t=1或t=-3.
而t=-3时①式无意义，∴ t=-3舍去，取t=1.
二、解答题
7.解：由a+b=（3，2+m），|a+b|≤5，
得9+（2+m）2≤25.解得-6≤m≤2.
8.解：∵ a·b=2×（-3）+3×5=9，
|b|==，
∴ |a|cos ==.
9.解：因为c=2a+b，d=-a+2b，
所以c-d=（2a+b）-（-a+2b）=3a-b.
又a=（-4，-3），b=（-3，-2），
所以c-d=3（-4，-3）-（-3，-2）=（-12+3，-9+2）.
又（c-d）⊥a，所以（-12+3）×（-4）+（-9+2）×（-3）=0.解得=.
10.解：因为a+b+c+d=0，
所以a+b=-（c+d）.所以（a+b）2=（c+d）2.
即|a|2+2a·b+|b|2=|c|2+2c·d+|d|2.
由于a·b=c·d，
所以|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.①
同理，有|a|2+|d|2=|c|2+|b|2.②
由①②可得|a|=|c|，且|b|=|d|，
即四边形ABCD两组对边分别相等.
所以四边形ABCD是平行四边形.
又由a·b=b·c得b·（a-c）=0.
而由平行四边形ABCD的性质得a=-c，
代入上式得b·（2a）=0，即a·b=0.
所以a⊥b.亦即AB⊥BC.
综上所述，四边形ABCD是矩形.