2.5 向量的应用（数学苏教版必修4）检测及答案解析
文档属性
| 名称 | 2.5 向量的应用（数学苏教版必修4）检测及答案解析 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 63.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-12-04 17:14:31 | ||
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文档简介
2.5 向量的应用（数学苏教版必修4）
建议用时
实际用时
满分
实际得分
45分钟
100分
一、填空题（每小题5分，共30分）
1.已知O为△ABC所在平面内的一点，| |2+ | |2=| |2+| |2=| |2+| |2，则O为△ABC的 .
2. O是平面ABC内的一定点，P是平面ABC内的一动点，若(-)·(+)=(-)·(+)=0，则O为△ABC的 .
3.已知在△ABC中，·=·=·，则O为△ABC的 .
4.已知O为△ABC内一点，且满足(+)⊥(-),(+)⊥(-),则O为△ABC的 .
5. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（-1，3），若点C满足=+，其中、∈R，且 + =1，则点C的轨迹方程为 .
6. 在△ABC中，已知向量与满足( + )·=0且 · =，则△ABC为 三角形.
二、解答题(共70分)
7.（15分）如图，M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB.求证：四边形PMQN为矩形.
8.（20分）已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块在力F的作用下在动摩擦系数=0.02的水平平面上运动了20 m,问力F和摩擦力f做的功分别是多少？
9. （15分）已知一只蚂蚁在地面上的一个三角形区域ABC内爬行，试探究当蚂蚁爬到这个三角形区域的什么位置时，它到这个三角形三个顶点间的距离的平方和最小？
10. （20分）以原点O和A(4，2)为两个顶点作等腰Rt△OAB，∠OBA=90°,求点B的坐标和向量.
2.5 向量的应用（数学苏教版必修4）
答题纸
得分：
一、填空题
1． 2． 3． 4． 5． 6．
二、解答题
7.
8.
9.
10.
2.5 向量的应用（数学苏教版必修4）
答案
一、填空题
1. 垂心 解析：由| |2+| |2=| |2+| |2，得2-2=2-2，
即(-)·(+)=(-)·(+)，
所以·(+-+)=0，·2=0，
即O在AB的垂线上.同理，O在AC的垂线上.
所以O为△ABC的垂心.
2. 外心 解析：由(-)·(+)=0知·2=0(其中D为CB的中点)，所以O在BC的中垂线上.同理，O在AC的中垂线上，故O为△ABC的外心.
3. 垂心 解析：由·=·，知·-·=0.
则·(-)= ·=0.
故⊥,即OB⊥CA.同理OC⊥AB,OA⊥BC.
故O为△ABC的垂心.
4. 外心 解析：由(+)⊥(-)得(+)·(-)=0.
故2-2=0，即||=||.
同理，由(+)⊥(-),可得||=||.
故A、B、C三点分别与点O的距离相等，故O为△ABC外接圆的圆心，即O为△ABC的外心.
5. x+2y-5=0 解析：设=（x，y）,=（3，1）, =（-1，3）,
∵ = + ,
∴ （x，y）=（3，1）+（-1，3）.
∴ ①
又 + =1,与①联立可得x+2y-5=0.
6. 等边 解析：设∠BAC的角平分线为AD，则 + =λ.由已知AD⊥BC,∴ △ABC为等腰三角形.又cos A=,∴ A=60°,
∴ △ABC为等边三角形.
二、解答题
7.证明：设=a，=b,
由M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB，|a|=|b|,得 =a-b, =a-b,
故=，即NA∥CM.
又=a+b, =a+b,
所以=，即BM∥ND.
从而四边形PMQN是平行四边形.
又由·=(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,
故⊥，即BM⊥NA.
所以四边形PMQN为矩形.
8.解：设木块位移为s,则
F·s=|F||s|cos 30°=50×20×=500.
将力F分解，它在铅垂线方向上的分力的大小为
|F1|=|F|sin 30°=25,
所以|f|=|G-F1|=0.02×(8×10-25)=1.1,
f·s=|f||s|cos 180°=-22.
故F和f做的功分别为5 00 J和-22 J.
9.解：由题意知，原题可转化为在△ABC内求一点P，使得AP2+BP2+CP2最小.设=a, =b, =t,
则= -=t-a, = -=t-b,
2+2+2=t2+(t-a)2+(t-b)2
=3(t-)2+ (a2+b2)- a·b,
所以当=t=,即P为△ABC的重心时，AP2+BP2+CP2最小.
10.解：设B点坐标为(x,y),则
=(x,y), =(x-4,y-2).
∵ ∠OBA=90°,∴ ⊥,即·=0.
∴ x(x-4)+y(y-2)=0，即x2+y2-4x-2y=0.①
设OA的中点为C，则点C(2，1)，=(2，1)，=(x-2,y-1).
在等腰Rt△AOB中，⊥,
∴ 2(x-2)+y-1=0,即2x+y-5=0.②
解①②，得或
故B点的坐标为(1，3)或(3，-1).
当B点坐标为(1，3)时，=(-3，1)；
当B点坐标为(3，-1)时，=(-1，-3).
建议用时
实际用时
满分
实际得分
45分钟
100分
一、填空题（每小题5分，共30分）
1.已知O为△ABC所在平面内的一点，| |2+ | |2=| |2+| |2=| |2+| |2，则O为△ABC的 .
2. O是平面ABC内的一定点，P是平面ABC内的一动点，若(-)·(+)=(-)·(+)=0，则O为△ABC的 .
3.已知在△ABC中，·=·=·，则O为△ABC的 .
4.已知O为△ABC内一点，且满足(+)⊥(-),(+)⊥(-),则O为△ABC的 .
5. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（-1，3），若点C满足=+，其中、∈R，且 + =1，则点C的轨迹方程为 .
6. 在△ABC中，已知向量与满足( + )·=0且 · =，则△ABC为 三角形.
二、解答题(共70分)
7.（15分）如图，M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB.求证：四边形PMQN为矩形.
8.（20分）已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块在力F的作用下在动摩擦系数=0.02的水平平面上运动了20 m,问力F和摩擦力f做的功分别是多少？
9. （15分）已知一只蚂蚁在地面上的一个三角形区域ABC内爬行，试探究当蚂蚁爬到这个三角形区域的什么位置时，它到这个三角形三个顶点间的距离的平方和最小？
10. （20分）以原点O和A(4，2)为两个顶点作等腰Rt△OAB，∠OBA=90°,求点B的坐标和向量.
2.5 向量的应用（数学苏教版必修4）
答题纸
得分：
一、填空题
1． 2． 3． 4． 5． 6．
二、解答题
7.
8.
9.
10.
2.5 向量的应用（数学苏教版必修4）
答案
一、填空题
1. 垂心 解析：由| |2+| |2=| |2+| |2，得2-2=2-2，
即(-)·(+)=(-)·(+)，
所以·(+-+)=0，·2=0，
即O在AB的垂线上.同理，O在AC的垂线上.
所以O为△ABC的垂心.
2. 外心 解析：由(-)·(+)=0知·2=0(其中D为CB的中点)，所以O在BC的中垂线上.同理，O在AC的中垂线上，故O为△ABC的外心.
3. 垂心 解析：由·=·，知·-·=0.
则·(-)= ·=0.
故⊥,即OB⊥CA.同理OC⊥AB,OA⊥BC.
故O为△ABC的垂心.
4. 外心 解析：由(+)⊥(-)得(+)·(-)=0.
故2-2=0，即||=||.
同理，由(+)⊥(-),可得||=||.
故A、B、C三点分别与点O的距离相等，故O为△ABC外接圆的圆心，即O为△ABC的外心.
5. x+2y-5=0 解析：设=（x，y）,=（3，1）, =（-1，3）,
∵ = + ,
∴ （x，y）=（3，1）+（-1，3）.
∴ ①
又 + =1,与①联立可得x+2y-5=0.
6. 等边 解析：设∠BAC的角平分线为AD，则 + =λ.由已知AD⊥BC,∴ △ABC为等腰三角形.又cos A=,∴ A=60°,
∴ △ABC为等边三角形.
二、解答题
7.证明：设=a，=b,
由M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB，|a|=|b|,得 =a-b, =a-b,
故=，即NA∥CM.
又=a+b, =a+b,
所以=，即BM∥ND.
从而四边形PMQN是平行四边形.
又由·=(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,
故⊥，即BM⊥NA.
所以四边形PMQN为矩形.
8.解：设木块位移为s,则
F·s=|F||s|cos 30°=50×20×=500.
将力F分解，它在铅垂线方向上的分力的大小为
|F1|=|F|sin 30°=25,
所以|f|=|G-F1|=0.02×(8×10-25)=1.1,
f·s=|f||s|cos 180°=-22.
故F和f做的功分别为5 00 J和-22 J.
9.解：由题意知，原题可转化为在△ABC内求一点P，使得AP2+BP2+CP2最小.设=a, =b, =t,
则= -=t-a, = -=t-b,
2+2+2=t2+(t-a)2+(t-b)2
=3(t-)2+ (a2+b2)- a·b,
所以当=t=,即P为△ABC的重心时，AP2+BP2+CP2最小.
10.解：设B点坐标为(x,y),则
=(x,y), =(x-4,y-2).
∵ ∠OBA=90°,∴ ⊥,即·=0.
∴ x(x-4)+y(y-2)=0，即x2+y2-4x-2y=0.①
设OA的中点为C，则点C(2，1)，=(2，1)，=(x-2,y-1).
在等腰Rt△AOB中，⊥,
∴ 2(x-2)+y-1=0,即2x+y-5=0.②
解①②，得或
故B点的坐标为(1，3)或(3，-1).
当B点坐标为(1，3)时，=(-3，1)；
当B点坐标为(3，-1)时，=(-1，-3).