唐山市 开滦部分中学 2022-2-2023 学年度高三第一学期期中考试
数学试题
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合 A x Z 3 x 2 ， B x x 2 3x 4 0 ，则 A B （ ）
A． 1,0 B． 2, 1,0 C． x 3 x 2 D． x 2 x 1
2
2. 已知复数 z ，复数 z是复数 z的共轭复数，则 （ ）1 i z z
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2
3.在等差数列{an}中，已知 a4 a8 16，则该数列前 11 项和 S11＝( )
A．58 B．88 C．143 D．176
3
4．（1 2x2 )(1 x)4 的展开式中 x 的系数为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
5. 抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件 A：出现的点数为质数，事件 B：出现的点数不小
于 3，则事件 A 与事件 B（ ）
A. 相互独立 B. 对立 C. 互斥但不对立 D. 概率相等
0.2
6.已知a log5 2,b log8 3,c 3 ，则下列判断正确的是（ ）
A． c b a B．b a c C． a c b D． a b c
2 2
7.已知圆 x y 1 2与抛物线 y 2px p 0 交于 A，B两点，与抛物线的准线交于
C，D两点，若四边形 ABCD是矩形，则 p等于（ ）
5 2 5 2 2 5
A. B. C. D.
2 5 2 5
8. “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党
的十九大精神为主要内容，立足全体党员 面向全社会的优质平台，现日益成为人们了解
国家动态，紧跟时代脉搏的热门 APP.该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个
学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块.某人在学
习过程中，将六大板块各完成一次，则“挑战答题”板块与其他三个答题板块在完成顺
序上均不相邻的学习方法种数为（ ）
A. 72 B. 144 C. 96 D. 36
高三数学期中考试试卷第 1页，共 4页
二 多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9．下列关于函数 y sin x 的说法正确的是（ ）
3
5
A.在区间 , 上单调递增 6 6
B.最小正周期是
2
C.图象关于点 ，0 中心对称
3
5
D.图象关于直线 x 轴对称
6
x2 y2
10. 已知双曲线C : 2 1(a 0)的左 右焦点分别为 F1,F2 ，离心率为 2,P为C上a 3
一点，则（ ）
A. 双曲线C的实轴长为 2
B. 双曲线C的一条渐近线方程为 y 3x
C. PF1 PF2 2
D. 双曲线C的焦距为 4
3 2
11．已知函数 f x x 3x 4，则（ ）
A． f x 的极小值为 2
B． f x 有三个零点
C．点 1,2 是曲线 y f x 的对称中心
D．直线 y 3x 5是曲线 y f x 的切线
12. 如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，E，F，G分别为 AB，AD，B1C1
的中点，以下说法正确的是（ ）
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A．三棱锥C EFG的体积为 1
B． A1C 平面 EFG
2
C．异面直线 EF 与 AG 所成的角的余弦值为
3
D．过点 E，F ，G作正方体的截面，所得截面的面积是3 3
三、填空题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分．
13.已知随机变量 服从正态分布 N , 2 ，若P 3 P 1 ，则 _____
14. 已知向量 a,b满足 | a | 1,| b | 2，且 | a b | | a b |，则 | 2a b | _________
5 sin 2 1
15.已知 为锐角，且 tan tan( ) ，则 ___________.
4 3 cos 2
16. 已知正三棱柱 ABC A,B1C1的侧面积为6 3，则该正三棱柱外接球的体积的最小
值为________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（10 分）
已知 an 是公差不为 0 的等差数列，满足 a3 3，且 a2， a4， a8成等比数列.
（1）求数列 an 的通项公式 an ；
1
（2）设bn ，求数列 bn 的前n项和T .an a nn 2
18. （12 分）.在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，且
(sin A sinC) 2 sin 2 B sin AsinC
（1）求 sinB；
（2）若 a 2c，且 ABC的面积为 2 3，求 ABC 的周长.
19．(12 分).在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，c 2，面积为 S，
且bcos A S .
2
高三数学期中考试试卷第 3页，共 4页
（1）求角 A的大小.
b c
（2）求 a 的取值范围.
20．(12 分) 如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为正方形，
PA AB 2,PC 2 3，平面 PAD 平面
ABCD，M，N 分别为线段 PB和 AD的中点．
（1）证明：MN / /平面 PDC ；
（2）求平面DMN 与平面CMN 夹角的余弦值．
21. (12 分)“斯诺克（Snooker）”是台球比赛的一种，意思是“阻碍、障碍”，所以斯
诺克台球有时也被称为障碍台球，是四大“绅士运动”之一，随着生活水平的提高，“斯
诺克”也成为人们喜欢的运动之一．现甲、乙两人进行比赛比赛采用 5局 3 胜制，各局
比赛双方轮流开球（例如：若第一局甲开球，则第二局乙开球，第三局甲开球……），没
1
有平局已知在甲的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为 ，在乙的“开球局”，甲
3
1
获得该局比赛胜利的概率为 2 ，并且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权．
（1）求甲以 3∶1赢得比赛的概率；
（2）设比赛的总局数为 ，求 E( )．
2
22.(12 分)已知函数 f (x) ax bx c ln x (（x 0) )在 x 1处取得极值,其中 a,b
为常数.
(1)若 a 1,求函数 f (x)的单调区间;
(2)若 a 0 ,且函数有 f (x)两个不相等的零点 x1, x2 ,证明: x1 x2 2
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高三年级第一学期期中考试
数学参考答案
一．选择题：
1－4 BCBA 5－8 ADDB
二．选择题：
9．ACD 10．ABD 11．CD 12．ABD
三．填空题：
13．2 14． 2 8 2 15．－3 16．
3
四．解答题：
17．解：
2 2
（1） a4 a2a8 （3 d ) (3 d )(3 5d )
d 0(舍去）或d 1 …3分
a 3 3, a1 1 a n n …5分
b 1 1 1 1（2） n ( ) …7分n(n 2) 2 n n 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （ )
2 3 2 4 3 n -1 n 1 n n 2
1 (1 1 1 1 )
2 2 n 1 n 2
3 2n 3
4 2(n 1)(n 2)
…10分
18.sin2 A 2sin AsinC sin2 C sin2 B sin AsinC
即a2 2ac c2 b2 ac
整理得a2 c2 b2 ac
…2分
a2 c2 b2 1 cosB 1
2ac 2 2
0 B 3
…4分
B sin B
3 2
…6分
高三数学参考答案 第 1 页
S 1 ac sin B,a 2c
2
1
2c2 3 2 3,解得c 2,a 4
2 2
由余弦定理得：b2 a2 c2 2ac cosB 12
b 2 3, 周长 6 2 3 …12分
19．解：（1）
bcos A S bcos A 1 bc sin A, c 2
2 2 2
A
cos sin A cos A 2sin A cos A
2 2 2 2
sin A 1 , 0 A A A
2 2 2 6 3
......5分
2 b c sin B sinC 2 3（ ） (sin B sinC)
a sin A 3
2 3
[sin B sin(B A)]
3
2 3
[sin B sin(B )]
3 3
2 3
[sin B 1 sin B 3 cosB]
3 2 2
2sin(B )
6 .....10分
0 B 2 B 5
3 6 6 6
1
sin(B ) 1 b c (1,2]
2 6 a .....12分
高三数学参考答案 第 2 页
20. 如图，取 PC中点 Q，连接MQ,DQ，因为 M，Q分别为 PB和PC的中点，
MQ BC ND 1 1故 ∥ ∥ ，且MQ BC AD ND，
2 2
所以四边形 NMQD为平行四边形，所以MN∥DQ．
又MN 平面 PDC,DQ 平面 PDC ，
所以MN //平面 PDC ． ......4 分
由题，平面 PAD 平面 ABCD，平面PAD 平面 ABCD AD,AB AD，
所以 AB 平面 PAD，所以 AB PA．
又 AB//CD，所以CD 平面 PAD，故CD PD．
因为CD 2,PC 2 3，可得 PD 2 2，
所以 PD2 PA2 AD2 ，故 PA AD ．......6 分
以 A为坐标原点， AB, AD, AP所在直线分别为 x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
高三数学参考答案 第 3 页
则D(0,2,0),M (1,0,1),N (0,1,0),C(2,2,0)，则DM (1, 2,1),DN (0, 1,0)，
设平面DMN 的一个法向量为m (x1, y1, z1)，
m DM x1 2y z 1 1
0
则 ，令 x1 1，得 y1 0， z1 1，
m DN y1 0
所以m (1,0, 1)， ......8 分
MN ( 1,1, 1),NC (2,1,0)，
设平面CMN 的一个法向量为 n (x2 , y2 , z2 )，
n MN x 2
y2 z2 0
则 ，令 x2 1，得 y2 2， z2 3，
n NC 2x2 y2 0
所以 n (1, 2, 3) ......10 分
cos m,n m n 1 3 2 7 ，
|m | | n | 2 14 7
因为平面DMN与平面CMN 夹角为锐角，
2 7
所以平面DMN与平面CMN 夹角的余弦值为 ．......12 分
7
21.设事件甲在第 i局比赛获胜为 Ai， i 1,2,3,4,5，由已知可得 P(A
1
1) ，3
P(A2 )
1 1 1 1
，P(A3) ， P(A4 ) ， P(A ) ，2 3 2 5 3
事件甲以 3∶1赢得比赛，则前 3局中甲赢得了 2局且第 4局甲获胜，
所以事件甲以 3∶1赢得比赛可表示为 A1A2A3A4 A1A2A3A4 A1A2 A3A4，
其中 A1A2A3A4，A1A2A3A4，A1A2 A3A4互斥， A1, A2 , A3 , A4 , A5相互独立，
所以
高三数学参考答案 第 4 页
P A1A2A3A4 A1A2A3A4 A1A2 A3A4 P A1 A2 A3 A4 P A1 A2 A3 A4 P A1 A2 A3 A4
P A1 P A2 P A3 P A4 P A1 P A2 P A3 P A4 P A1 P A2 P A3 P A4
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 5
， ......4 分
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 36
5
所以甲以 3∶1赢得比赛的概率为 ；
36
的可能取值为 3，4，5，
设甲获胜的概率为 P1，乙获胜的概率为 P2，
P ( 3) 1 1 1 1 P ( 3) 2 1 2 21 ；3 2 3 18 2
3 2 3 9
； P( 3) 1 2 5 ......6 分
18 9 18
P ( 4) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 51 ；3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 36
P ( 4) 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 22 ；3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 9
P( 4) 5 2 13 ；.....8 分
36 9 36
P( 5) 1 P( 3) P( 4) 1 5 13 13 ，.....10 分
18 36 36
所以 E( ) 5 13 3 4 5 13 49 ．.....12 分
18 36 36 12
22（. 1）代入a 1, f (x) x2 bx c ln x
f '(x) 2x 1 b
x
f '(1) 1 b 0 b 1
f '(x) 2x 1 2x
2 x 1 (x 1)(2x 1)
1
x x x
0 x 1, f '(x) 0
x 1, f '(x) 0
函数f (x)的单调递增区间（1， ），函数f (x)的单调递减区间（0，1）
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....5分
(2)
..
....5分
.
...12分
高三数学参考答案 第 6 页
