永安市2022-2023学年高三上学期期中考试
数学
完卷时间120分钟； 满分150分；
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
2.直线与圆的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
3．已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则=( )
A． B． C． D．
4.已知向量a=(-3,2)，b=(4,)，若(a+3b)//(2a-b)共线，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
5.祖暅原理“幂势既同，则积不容异”，说的是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体．现有命题、的体积相等，命题、在等高处的截面积恒相等.根据祖暅原理可知，是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（ ）．
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7.已知a＝lg，b＝e0.2，c＝log3，d＝ln 0.2(其中e为自然对数的底数)，则下列不等式正确的是( )
A．d
8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，f(2)＝0，则不等式f(x－1)f(x)＜0的解集是( )
A．(－2，2) B．(－∞，－2)∪(1，2) C．(－∞，－1)∪(0，3) D．(－2，－1)∪(2，3)
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9.已知函数f(x)＝ax(a＞1)，g(x)＝f(x)－f(－x)，若x1≠x2，则
A．f(x1)f(x2)＝f(x1＋x2) B．f(x1)＋f(x2)＝f(x1x2)
C．x1g(x1)＋x2g(x2)＞x1g(x2)＋x2g(x1) D．g()≤
10.平行四边形中，，将三角形沿着翻折至三角形，则下列直线中有可能与直线垂直的是
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
11.数列的前项为，已知，下列说法中正确的是
A.为等差数列 B.可能为等比数列
C.为等差数列或等比数列 D.可能既不是等差数列也不是等比数列
12.如下图所示，B是AC的中点，，P是平行四边形BCDE内含边界的一点，且，以下结论中正确的是
A.当P是线段CE的中点时，，
B.当时，
C.若为定值时，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D.的最大值为
三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设复数z满足（其中是虚数单位），则__________.
14.已知，sin2θ＝，则cosθ＝ ．
15.已知函数，有三个不同的零点，，，且，则的范围是__________.
16.若指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是__________.
四、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明或演算步骤.
17．（10分）已知函数．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．
18（12分）.如图，在四边形中，，，，，.
（1）求； （2）求的长.
19（12分）已知等差数列满足，.
（1）求的通项公式； （2）设等比数列满足，设，数列的前n项和为，求的最大值.
20（12分）如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，，，。（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21（12分）．已知椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于、两点，过、作直线的垂线，垂足分别为、，点为线段的中点，为椭圆的左焦点．求证：四边形为梯形．
22.（12分）对于正实数有基本不等式：，其中，为的算术平均数，，为的几何平均数．现定义的对数平均数： (1)设，求证：：
(2)①证明不等式：：
②若不等式对于任意的正实数恒成立，求正实数的最大值．永安市2022-2023学年高三上学期期中考试
数学答案
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A C B A B B D D AC AB BD CD
三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. －
15. 16.
四、解答题:本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知函数．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．
【分析】（1）利用三角恒等变换公式整理条件可得f（x）＝sin（2x），结合正弦函数性质即可得到答案；
（2）利用正弦函数单调性即可求得函数在该区间上的最值．
【解答】解：（1），
令，则，
∴函数f（x）的单调递增区间为．
（2）∵，∴，
则，∴，
∴函数f（x）的最大值为1，最小值为．
18.（1）因为，，则、均为锐角，
所以，，，
，
，则，因此，； （5分）
（2）在中，由正弦定理可得，可得，
在中，由余弦定理可得，
因此，. （10分）
19.（1）设等差数列的公差为d，则，
又，得，解得，所以； （2分）
（2）设等比数列的公比为q，则，，所以，，
所以，，则， （4分）
所以， （6分）
令，则，
由于，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
且，，
所以当时，有最大值且最大值为. （12分）
20.选择①②：（1）因为，，，所以.
又因为，，所以平面.
（2）由（1）知，，因为四边形是正方形，所以.如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，.
设平面的一个法向量为，
则即，令，则，，所以.
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为. （8分）
21.(1)解：由已知得,解得,∴椭圆的方程. （3分）
(2)证明：由（1），椭圆的左焦点,设,则,.
，.
∵直线与椭圆交于、两点，∴
由于直线与直线不平行，
∴四边形为梯形的充分必要条件是，即，
即,即,
∵,∴上式又等价于，即（*）. （8分）
由,得,∴,
，
∴（*）成立，∴四边形为梯形. （12分）
22.(1)令，有
所以，得在上单调递减.
又，故当时，，因此，当时， （4分）
(2)（ⅰ）要证，只要证，
只要证，即证，
令，由（1）有，即得，因此， （6分）
（ⅱ）由恒成立，
得恒成立，即得恒成立，
令，有恒成立，
得恒成立，所以恒成立
令，有，（注：）
ⅰ当时，即时，易知方程有一根大于1，一根小于1，
所以在上单调递增，故有，不符；
ⅱ当时，有，
所以，从而在上单调递减，
故当时，恒有，符合．
由ⅰ、ⅱ可知，正实数的取值范围为，
因此，正实数的最大值为. （12分）