江西省临川县2022-2023学年高三上学期期中考试数学（文）试题（含答案）

临川县2022-2023学年高三上学期期中考试
文科数学试卷
卷面满分：150分考试时间：120分钟
1.若集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数（是虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
3.已知函数的图象经过点，则（ ）
A.2 B.3 C.4 D.9
4.（ ）
A. B. C. D.
5.在长方体中，，异面直线与所成的角为，则（ ）
A. B.3 C. D.
6.设命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.在等差数列中，，其前项和为，若，则（ ）
A.2021 B. C. D.2022
8.如图，在边长为2的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
9.已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数部分图象如图所示，且的面积是面积的2倍，则函数的单调递减区间为（ ）
A.
B.
C.
D.
11.已知，则方程的解的个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
12.已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，且，则向量与的夹角等于__________.
14.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为__________.
15.设为坐标原点，直线与拋物线交于两点，若，则的焦点坐标为__________.
16.在锐角中，角所对的边分别为为的面积，且，则的取值范围__________.
三 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
（一）必考题：共60分.
17.已知等比数列的公比与等差数列的公差相等，且，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18.如图，在四棱锥中，，且是棱上一点，且满足.
（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的体积是的面积是，求点到平面的距离.
19.2022年6月5日是世界环境日，十三届全国人大常委会第三十二次会议表决通过的《中华人民共和国噪声污染防治法》今起施行.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度（单位：）与声音能量（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度和声音能量的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图：
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度关于声音能量的回归模型？（能给出判断即可，不必说明理由）
（2）求声音强度关于声音能量的非线性经验回归方程（请使用题后参考数据作答）；
（3）假定当声音强度大于45时，会产生噪声污染，城市中某点处共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是和，且.已知点处的声音能量等于与之和，请根据（2）中的非线性经验回归方程，判断点处是否受到噪声污染，并说明理由.
参考数据：，，令，有，，，，，，，，.
20.已知椭圆的左 右焦点分别为，且焦距长为2，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好为.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，下顶点为，过点作一条与轴不重合的直线，该直线交椭圆于两点，直线分别交轴于，两点，为坐标原点.求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.
21.已知函数，.
（1）若在区间上存在极值点，求实数的取值范围；
（2）求证：当时，对任意，.
参考数据：
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.
已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，点的直角坐标为，求.
23.已知函数.
（1）当时，求的解集；
（2），若对，使得成立，求实数a的取值范围.
临川县2022-2023学年高三上学期期中考试
文科数学试题答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A A C D C C D B B C C
13. 14. 15. 16.
17.解：（1）设的公比为的公差为，
因，则，解得，
而，则，又，有，
所以的通项公式分别为.
（2）由（1）可知，，令数列的前项和为，
则.
18.（1）如图，在棱上取一点，使，连接.
，且，
又，且.
四边形是平行四边形，.
又平面平面，
平面.
（2）设点到平面的距离为，三棱锥的体积是的面积是
因为，解得
19.（1）解：散点图近似在一条曲线上，故更适合.
（2）解：令，，则，，，
即关于的回归方程是，
则关于的非线性经验回归方程是.
（3）解：设点处的声音能量为，则，
因为，，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以，
所以点处会受到噪声污染.
20.（1）由题意，，，故过且斜率为的直线的方程为，
令，得，由题意可得，解得，.
求椭圆的方程为；
（2）证明：由题意知，直线的斜率存在，设直线，
，，，，联立，得.
，，
由，得，
，
，
直线的方程为，令，解得，
则，，同理可得，，
与的面积之积为定值.
21.（1）由题意，在上有变号零点，
，令，则，
所以函数单调递增，∴，
∴，∴的取值范围为.
（2）时，，
，令，
则，当时，，单调递减；
此时，
，存在唯一的使
且当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
且，
，∴当时，，
当时，，单调递增，
且当时，，
∴时，，单调递增，
且注意到，
，
∴存在唯一的使，即，
且在上单调递减，上单调递增，
∴
，
令，
，在上单调递减，
∴
∴，综上：对有.
22.解：（1）因为直线的参数方程为（为参数），
所以直线的普通方程为，
由，得，因为，
所以曲线的直角坐标方程为，即；
（2）将直线的参数方程（为参数）代入，得，
则，所以.
23.（1）当时，，
当时，，解得，无解，
当时，，解得，则，
当时，，解得，则，
所以原不等式的解集为.
（2）当时，，当且仅当时取“=”，即，
而当时，，因此，
因为对，使得成立，从而得，
因为，则有，解得或，
所以实数a的取值范围为.