人教版（2019）数学选择性必修第一册 1.3空间向量及其运算的坐标表示 课件（共39张PPT）

(共39张PPT)
空间向量及其运算的坐标表示
1.了解空间直角坐标系，理解空间向量的坐标表示.
2.掌握空间向量运算的坐标表示.
3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用.
4.掌握空间向量的模、夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题.
本节目标
课前预习
预习课本P16～21，思考并完成以下问题
(1) 空间直角坐标系该如何建立的？空间中任意一点M如何用坐标表示呢？
(2) 空间直角坐标系中，点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则||如何表示？
课前小测
1. 若a=3i+2j-k，且{i， j， k}为空间的一个单位正交基底，则a的坐标为____________.
(3， 2， -1)
2．已知a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则b＝(　　)
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
B
3．与向量m＝(0，1，－2)共线的向量是(　　)
A．(2，0，－4) B．(3，6，－12)
C．(1，1，－2) D．(0， ， － 1)
D
4．已知a＝(2，1，3)，b＝(－4，5，x)，若a⊥b，则x＝_____.
1
新知探究
在空间选定一点O和一个单位正交基底，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个__________________， O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面.
空间直角坐标系Oxyz
一、空间直角坐标系与坐标表示
1.空间直角坐标系
O
x
y
z
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使=xi+yj+zk. 在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作___________，其中x叫做点A的_______，y叫做点A的________，z叫做点A的_________.
2.点的坐标
A(x，y，z)
横坐标
纵坐标
竖坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作=a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a=xi+yj+zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记_____________.
a=(x，y，z)
3.向量的坐标
1.画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°. 三个坐标平面把空间分成八个部分.
2.在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
知识点睛
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
1. a＋b＝__________________________；
2. a－b＝__________________________；
3. λa＝________________(λ∈R)；
4. 若b≠0，则a∥b a＝λb(λ∈R) ________，_______，_______.
二、空间向量的加减和数乘运算的坐标表示
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(λa1，λa2，λa3)
a1＝λb1
a2＝λb2
a3＝λb3
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
1. a·b＝________________；
2. |a|＝＝______________；
三、空间向量数量积的坐标表示及夹角公式
a1b1＋a2b2＋a3b3
3. cos〈a，b〉＝ ＝ ；
4. a⊥b ___________________ .
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)．
1. ＝________________________；
2. dAB＝||＝_______________________________.
四、空间中向量的坐标及两点间的距离公式
(a2－a1，b2－b1，c2－c1)
(1)类比平面向量坐标运算
空间向量的加法、减法、数乘和数量积与平面向量的类似，学习中可以类比推广．推广时注意向量的坐标表示，即向量在平面上是用唯一确定的有序实数对表示，即a＝(x，y)，而在空间中则表示为a＝(x，y，z)．
(2)运算结果
空间向量的加法、减法、数乘坐标运算结果依然是一个向量；空间向量的数量积坐标运算的结果是一个实数．
对空间向量坐标运算的两点说明
知识点睛
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　空间向量的坐标表示
[例1] 在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB=，AO=4，BO=2，AA1=4，D为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求的坐标.
建立以方向上的单位向量i，j，k为正交基底的空间直角坐标系Oxyz，如图，则=4i，=2j，=4k，
=-=-()=-
==2ij4k，故的坐标为(2，1，4).
()=
=4i+2j4k，故的坐标为(4，2，4) .
即(2，1，4)，= (4，2，4).
用坐标表示空间向量的步骤如下
解题策略
跟踪训练
1. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以{}为基底，则向量的坐标为　　　　　，向量的坐标为　　　　　，向量的坐标为　　　　　.
(1，1，1)
题型二　空间向量的坐标运算
[例2]　已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)．求点P的坐标，使：
(1) ＝(－)
＝(2，6，－3)， ＝(－4，3，1)，
∴ － ＝(6，3，－4)．
＝ (6，3，－4)＝ ，
则点P的坐标为.
题型二　空间向量的坐标运算
[例2]　已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)．求点P的坐标，使：
(2) ＝(－)．
设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)，
∵ (－ )＝＝，
∴x＝5，y＝ ，z＝0，
则点P的坐标为.
(1)空间向量进行坐标运算的规律
首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算括号里，后算括号外．
(2)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用．
空间向量坐标运算的规律及注意点
方法总结
跟踪训练
2. 已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2)，设p＝，q＝ .
求：(1)p＋2q；(2)3p－q；(3)(p－q)·(p＋q)．
p＝ ＝(2，1，3)，q＝＝(2，0，－6)．
(1)p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(2，1，3)＋(4，0，－12)＝(6，1，－9)．
(2)3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6)＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15)．
(3)(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26.
题型三　空间向量的平行与垂直
[例3]　正方体ABCD -A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝ ，若PQ⊥AE， ＝λ，求λ的值．
多维探究
变式1 (变条件)正方体ABCD -A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝ ，若B1Q⊥EQ， ＝λ，求λ的值．
变式2 (变条件，变设问)正方体ABCD -A1B1C1D1中，若G是A1D的中点，点H在平面xOy上，且GH∥BD1，试判断点H的位置．
G
(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．
例如，设向量a＝(x，y，z)．
(2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数．
例如，已知a∥b，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解．
(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．　
解决空间向量垂直、平行问题的思路
解题思路
题型四　利用坐标运算解决夹角、距离问题
[例4] 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC -A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
[例4] 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC -A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长；
如图，以 ，， 为单位正交基底建立空间直角坐标系C -xyz.
依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
∴||＝＝ ，
∴线段BN的长为.
[例4] 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC -A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
∴ ＝(1，－1，2)， ＝(0，1，2)，
∴ ·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝ ＝ .
故A1B与B1C所成角的余弦值为.
1．利用数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤
(1) 建立适当的空间直角坐标系；
(2) 写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；
(3)利用数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．
方法总结
方法总结
2．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出线段端点的坐标；
(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．　　　　　　
跟踪训练
4. 在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝ CD，H为C1G的中点．
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值；
(3)求FH的长．
随堂检测
A.(2，1，-3) B.(-1，2，-3)
C.(1，-8，9) D.(-1，8，-9)
1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=1，AA1=3，已知向量a在基底{}下的坐标为(2，1，-3). 若分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则a的空间直角坐标为(　　)
D
a=2-3=2-3=8j-i-9k=(-1，8，-9).
2.已知向量a=(1，0，1)，b=(2，0，-2)，若(ka+b)·(a+kb)=2，则k的值等于(　　)
A.1 B. C. D.
D
由已知得|a|=，|b|=2，a·b=0，
所以由(ka+b)·(a+kb)=2可得k|a|2+k|b|2+(k2+1)a·b=2，即2k+8k=2，解得k=.
3.已知点A(1-t，1-t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点的距离的最小值为(　　)
因为点A(1-t，1-t，t)，B(2，t，t)，
所以|AB|2=(1+t)2+(2t-1)2+(t-t)2=5t2-2t+2，
A. B. C. D.
C
由二次函数性质易知，当t=时，取得最小值为.
∴的最小值为.
4. 已知向量a=(2，-1，-2)，b=(1，1，-4).
(1)计算2a-3b和|2a-3b|. (2)求.
2a-3b=2(2，-1，-2)-3(1，1，-4)
=(4，-2，-4)-(3，3，-12)
=(1，-5，8).
|2a-3b|==3.
cos=，
又∈[0，π]，
故=.
1.向量的坐标恰好是终点P的坐标，这就实现了空间基底到空间坐标系的转换.
2.空间向量的坐标运算注意以下几点
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.
(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键.
(3)运用公式可以简化运算:(a±b)2=a2±2a·b+b2；(a+b)·(a-b)=a2-b2.
本课小结
本课小结
3.利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.
解题时要注意：
①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a=λb)，建立关于参数的方程;②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
4.利用坐标运算解决空间向量夹角与长度的计算问题，关键是建立恰当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标，然后利用夹角与模的计算公式进行求解