人教版（2019）数学选择性必修第一册 2.3直线的交点坐标与距离公式（1） 课件（共41张PPT）

(共41张PPT)
直线的交点坐标与距离公式(1)
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．
3.掌握两点间距离公式并会应用.
本节目标
课前预习
预习课本P70～74，思考并完成以下问题
1．怎样求两条直线的交点坐标？
2．怎样通过两条直线的交点个数判断两条直线的位置关系？
3．两点间距离公式是什么？
课前小测
1．直线x＝1与直线y＝2的交点坐标是(　　)
A．(1,2) B．(2,1)
C．(1,1) D．(2,2)
A
2．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
B
3．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为________．
1或－5
新知探究
一、两条直线的交点
两直线________，交点坐标为________．
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
前提条件
两直线组成的方程组
有唯一解.
结论
相交
(x0，y0)
二、两点间的距离公式
两点坐标 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
距离公式 |P1P2|＝___________________________
特例 若O(0,0)，P(x，y)，则|OP|＝_________
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　两直线交点问题
[例1]　求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．
由方程组, 解得,
即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．
∵直线过坐标原点，∴其斜率k＝ ＝－1.
故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.
方法一
题型一　两直线交点问题
[例1]　求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．
方法二
∵l2不过原点，
∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，
即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.
将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，
∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.
②运用过两直线交点的直线系方程
若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解．
两直线的交点问题有两种解法
①先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依其他条件求解．
解题策略
跟踪训练
1．求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
题型二　两点间距离公式
[例2]　(1)已知点A(－3,4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；
(2)已知点M(x，－4)与点N(2,3)间的距离为7，求x的值．
[例2]　(1)已知点A(－3,4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；
设点P的坐标为(x,0)，则有
|PA|＝ ＝ ，
|PB|＝ ＝ .
由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，
故所求点P的坐标为(－,0).
解得x＝－.
|PA|＝ ＝ .
[例2]　(2)已知点M(x,－4)与点N(2,3)间的距离为7，求x的值．
由|MN|＝7，
得|MN|＝＝7，
即x2－4x－45＝0，
解得x1＝9或x2＝－5.
故所求x的值为9或－5.
若已知两点的坐标P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求两点间的距离，可直接应用两点间的距离公式|P1P2|＝ .
若已知两点间的距离，求点的坐标，可设未知数，逆用两点间的距离公式列出方程，从而解决问题．
方法总结
跟踪训练
2．已知点A(－2，－1)，B(－4，－3)，C(0，－5)，求证：△ABC是等腰三角形．
∵|AB|＝＝2，
|AC|＝ ＝2，
|BC|＝ ＝2，
∴|AC|＝|BC|. 又∵点A，B，C不共线，
∴△ABC是等腰三角形．
题型三　直线恒过定点问题
[例3]　求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点．
取λ＝0，得到直线l1：2x＋y＋3＝0，
取λ＝1，得到直线l2：x＝－3，
故l1与l2的交点为P(－3,3)．
将点P(－3,3)代入方程左边，得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3，
∴点(－3,3)在直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上．
∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3,3)．
特殊值法
法一
题型三　直线恒过定点问题
[例3]　求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点．
分离参数法
法二
由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3，
整理，得(2x＋y＋3)＋λ(x－y＋6)＝0.
则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3通过直线2x＋y＋3＝0与x－y＋6＝0的交点．
由方程组得
∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3,3)．
给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值即为所求定点的坐标．
解决过定点问题常用的三种方法
特殊值法
点斜式法
将含参数的直线方程写成点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)．
方法总结
将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而此交点就是定点．
解决过定点问题常用的三种方法
分离参数法
比较这三种方法可知，方法一计算较烦琐，方法二变形较困难，方法三最简便因而也最常用．
方法总结
跟踪训练
3．已知直线λ：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)若使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．
题型四　对称问题
[例4]　(1)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．
1. 点关于点对称
[例4]　(1)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．
设l1与l的交点为A(a,8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，
所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
2. 点关于线对称
(2)点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是(　　)
A．(－2,1) B．(－2,5)
C．(2,－5) D．(4,－3)
设对称点坐标为Q(a，b)，
,
解得
即Q(－2,5)．
B
3. 线关于点对称
(3)与直线2x＋3y－6＝0关于点(1,－1)对称的直线方程是(　　)
A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0
由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，
则可设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0.
在直线2x＋3y－6＝0上任取一点(3,0)，关于点(1，－1)对称点为(－1，－2)，则点(－1，－2)必在所求直线上，
∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，C＝8.
∴所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.
D
4. 线关于线对称
(4)求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l：2x－3y＋1＝0的对称直线m′的方程．
在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点为M′(a，b)，则
，
解得M′ .
又∵m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)．
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
有关对称问题的两种主要类型
①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有
中心对称
轴对称
解题策略
跟踪训练
4．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2,－4)．
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．
4．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2,－4)．
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
x
y
O
4
－8
l
2
A
B
A′
P
4．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2,－4)．
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
则, 解得, 故A′(－2,8)．
因为P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
解得, 故所求的点P的坐标为(－2,3)．
4．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2,－4)．
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．
x
y
O
4
－8
l
2
A
B
P
4．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2,－4)．
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．
A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，
当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，
点P即是直线AB与直线l的交点，
又直线AB的方程为y＝x－2，
解得
故所求的点P的坐标为(12,10)．
随堂检测
1．从点(2,3)射出的光线沿与直线x－2y＝0平行的直线射到y轴上，则经y轴反射的光线所在的直线方程为____________．
由题意得，射出的光线方程为y－3＝(x－2)，
即x－2y＋4＝0，与y轴交点为(0,2)，
又(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，
∴反射光线所在直线过(0,2)，(－2,3)．
故方程为＝ ，即x＋2y－4＝0.
x＋2y－4＝0
x
(2,3)
x－2y＝0
y
2．若直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交点在第四象限，求m的取值范围．
3．求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．
由方程组,得
∵直线l和直线3x＋y－1＝0平行，
∴直线l的斜率k＝－3.
∴根据点斜式有y－()＝－3[x －()] ，
即所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.
1．方程组有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0. 直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2)．
本课小结
本课小结
2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法．
3．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ 与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.
通过本节课，你学会了什么？