人教版（2019）数学选择性必修第一册 3_1_2椭圆的简单几何性质 课件（共38张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教版（2019）数学选择性必修第一册 3_1_2椭圆的简单几何性质 课件（共38张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-12 14:16:58 | ||
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文档简介
(共38张PPT)
椭圆的简单几何性质
1．掌握椭圆的对称性、范围、顶点、离心率等简单性质．
2．能用椭圆的简单性质求椭圆方程．
3．能用椭圆的简单性质分析解决有关问题．
本节目标
课前预习
预习课本P109～112，思考并完成以下问题
1．椭圆有哪些几何性质？什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴？
2．什么是椭圆的离心率？随着离心率的变化椭圆的形状有何变化？
课前小测
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆＝1(a>b>0)的长轴长等于a ( )
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c ( )
(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆( )
×
√
√
2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5,3, B．10,6,
C．5,3, D．10,6,
B
25x2＋9y2＝225
＝1
3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A. ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
D
4．若焦点在y轴上的椭圆＋ ＝1的离心率为，则m的值为________．
新知探究
椭圆的简单几何性质
－a ≤ x ≤ a且－b ≤ y ≤ b
－b ≤ x ≤ b且－a ≤ y ≤ a
2a
2b
2c
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一 由标准方程研究几何性质
[例1] 求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝ ＝ .
两个焦点的坐标分别为F1(－6，0)，F2(6，0)，
四个顶点的坐标分别为A1(－9,0)，A2(9,0)，B1(0,－3)，B2(0,3)．
a＝9, b＝3, c＝ ＝6
(1)将椭圆方程化为标准形式；
(2)确定焦点位置；
(3)求出a，b，c；
(4)写出椭圆的几何性质．
[注意] 长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．
用标准方程研究几何性质的步骤
方法总结
跟踪训练
1．已知椭圆C1：＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
1．已知椭圆C1：＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
由椭圆C1：＋＝1可得其
长半轴长为10，
短半轴长为8，
焦点坐标(6,0)，(－6,0)，
离心率e＝.
1．已知椭圆C1：＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
椭圆C2：＋＝1，
性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0,10)，(0,－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；
④焦点：(0,6)，(0,－6)；
⑤离心率：e＝ .
题型二 利用几何性质求标准方程
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是10，离心率是；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是10，离心率是；
设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)或＋ ＝1(a>b>0)．
由已知得2a＝10，a＝5.
又∵e＝＝ ，∴c＝4.
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴椭圆方程为＋ ＝1或＋ ＝1.
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1)确定焦点位置；
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝ 等．
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
方法总结
跟踪训练
(1)长轴长与短轴长的和为18，焦距为6；
(2)过点(3,0)，离心率e＝ ；
(3)过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率．
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长与短轴长的和为18，焦距为6；
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
因为不确定焦点在哪个坐标轴上，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
由题意可知
2a + 2b=18
2c = 6
a2 + b2=c2
解得a＝5，b＝4.
(2)过点(3,0)，离心率e＝ ；
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
当椭圆的焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得a＝3，
因为e＝ ，所以c＝，
从而b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的标准方程为＋＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得b＝3，
因为e＝ ，所以＝ ，
把b＝3代入，得a2＝27，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(3)过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率．
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，
将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，
解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝ ，
即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
题型三 求椭圆的离心率
[例3] 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
由题意可设|PF2|＝m，
结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ m，
故离心率e＝＝ ＝ ＝ ＝ .
法一
D
[例3] 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
法二
D
由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，
将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.
又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，
故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，
等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，
解得e＝ 或e＝－(舍去)．
变式1 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点， ∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°，求C的离心率.
多维探究
在△PF1F2中，
∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，∴∠F1PF2＝60°，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，椭圆的长轴长为2a，
则在△PF1F2中，有，
∴ ＝ ，
∴e＝＝＝ ＝ .
变式2 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点， C上存在点P，使∠F1PF2为钝角，求C的离心率的取值范围.
由题意，知c>b，∴c2>b2.
又b2＝a2－c2，∴c2>a2－c2，即2c2>a2.
∴e2＝> ，∴e>.
故C的离心率的取值范围为(,1).
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
方法总结
随堂检测
1．(辽宁大连模拟)焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
C
2．(河南六市一模)已知点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )
A． B． C． D．
A
3．(四川德阳模拟)设P为椭圆C： ＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为( )
A．24 B．12 C．8 D．6
C
4．(湖南湘东五校联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60°<∠PF1F2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A．(，1) B．(，)
C．(，1) D．(0，)
B
(1)椭圆的焦点决定了椭圆的位置．在a>b>0时，
方程＋＝1的焦点在x轴上，
方程＋＝1的焦点在y轴上．
本课小结
(2)椭圆的范围决定了椭圆的大小，即椭圆＋＝1位于四条直线x＝±a，y＝±b围成的矩形内．
本课小结
(3)椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，具体影响如下．
本课小结
(4)椭圆是轴对称与中心对称图形，具体如下．
本课小结
(5)椭圆的长轴和短轴都是线段，并不是直线，所以它们有长度，长轴长是2a，短轴长是2b.
(6)在椭圆中，a，b，c都具有实际的具体意义，其中，
a——长半轴长，b——短半轴长，c——半焦距．
它们之间的关系是a2－b2＝c2.
通过本节课，你学会了什么？
椭圆的简单几何性质
1．掌握椭圆的对称性、范围、顶点、离心率等简单性质．
2．能用椭圆的简单性质求椭圆方程．
3．能用椭圆的简单性质分析解决有关问题．
本节目标
课前预习
预习课本P109～112，思考并完成以下问题
1．椭圆有哪些几何性质？什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴？
2．什么是椭圆的离心率？随着离心率的变化椭圆的形状有何变化？
课前小测
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆＝1(a>b>0)的长轴长等于a ( )
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c ( )
(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆( )
×
√
√
2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5,3, B．10,6,
C．5,3, D．10,6,
B
25x2＋9y2＝225
＝1
3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A. ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
D
4．若焦点在y轴上的椭圆＋ ＝1的离心率为，则m的值为________．
新知探究
椭圆的简单几何性质
－a ≤ x ≤ a且－b ≤ y ≤ b
－b ≤ x ≤ b且－a ≤ y ≤ a
2a
2b
2c
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一 由标准方程研究几何性质
[例1] 求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝ ＝ .
两个焦点的坐标分别为F1(－6，0)，F2(6，0)，
四个顶点的坐标分别为A1(－9,0)，A2(9,0)，B1(0,－3)，B2(0,3)．
a＝9, b＝3, c＝ ＝6
(1)将椭圆方程化为标准形式；
(2)确定焦点位置；
(3)求出a，b，c；
(4)写出椭圆的几何性质．
[注意] 长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．
用标准方程研究几何性质的步骤
方法总结
跟踪训练
1．已知椭圆C1：＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
1．已知椭圆C1：＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
由椭圆C1：＋＝1可得其
长半轴长为10，
短半轴长为8，
焦点坐标(6,0)，(－6,0)，
离心率e＝.
1．已知椭圆C1：＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
椭圆C2：＋＝1，
性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0,10)，(0,－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；
④焦点：(0,6)，(0,－6)；
⑤离心率：e＝ .
题型二 利用几何性质求标准方程
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是10，离心率是；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是10，离心率是；
设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)或＋ ＝1(a>b>0)．
由已知得2a＝10，a＝5.
又∵e＝＝ ，∴c＝4.
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴椭圆方程为＋ ＝1或＋ ＝1.
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1)确定焦点位置；
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝ 等．
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
方法总结
跟踪训练
(1)长轴长与短轴长的和为18，焦距为6；
(2)过点(3,0)，离心率e＝ ；
(3)过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率．
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长与短轴长的和为18，焦距为6；
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
因为不确定焦点在哪个坐标轴上，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
由题意可知
2a + 2b=18
2c = 6
a2 + b2=c2
解得a＝5，b＝4.
(2)过点(3,0)，离心率e＝ ；
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
当椭圆的焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得a＝3，
因为e＝ ，所以c＝，
从而b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的标准方程为＋＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得b＝3，
因为e＝ ，所以＝ ，
把b＝3代入，得a2＝27，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(3)过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率．
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，
将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，
解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝ ，
即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
题型三 求椭圆的离心率
[例3] 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
由题意可设|PF2|＝m，
结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ m，
故离心率e＝＝ ＝ ＝ ＝ .
法一
D
[例3] 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
法二
D
由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，
将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.
又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，
故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，
等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，
解得e＝ 或e＝－(舍去)．
变式1 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点， ∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°，求C的离心率.
多维探究
在△PF1F2中，
∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，∴∠F1PF2＝60°，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，椭圆的长轴长为2a，
则在△PF1F2中，有，
∴ ＝ ，
∴e＝＝＝ ＝ .
变式2 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点， C上存在点P，使∠F1PF2为钝角，求C的离心率的取值范围.
由题意，知c>b，∴c2>b2.
又b2＝a2－c2，∴c2>a2－c2，即2c2>a2.
∴e2＝> ，∴e>.
故C的离心率的取值范围为(,1).
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
方法总结
随堂检测
1．(辽宁大连模拟)焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
C
2．(河南六市一模)已知点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )
A． B． C． D．
A
3．(四川德阳模拟)设P为椭圆C： ＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为( )
A．24 B．12 C．8 D．6
C
4．(湖南湘东五校联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60°<∠PF1F2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A．(，1) B．(，)
C．(，1) D．(0，)
B
(1)椭圆的焦点决定了椭圆的位置．在a>b>0时，
方程＋＝1的焦点在x轴上，
方程＋＝1的焦点在y轴上．
本课小结
(2)椭圆的范围决定了椭圆的大小，即椭圆＋＝1位于四条直线x＝±a，y＝±b围成的矩形内．
本课小结
(3)椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，具体影响如下．
本课小结
(4)椭圆是轴对称与中心对称图形，具体如下．
本课小结
(5)椭圆的长轴和短轴都是线段，并不是直线，所以它们有长度，长轴长是2a，短轴长是2b.
(6)在椭圆中，a，b，c都具有实际的具体意义，其中，
a——长半轴长，b——短半轴长，c——半焦距．
它们之间的关系是a2－b2＝c2.
通过本节课，你学会了什么？