(共38张PPT)
椭圆的简单几何性质
1.掌握椭圆的对称性、范围、顶点、离心率等简单性质.
2.能用椭圆的简单性质求椭圆方程.
3.能用椭圆的简单性质分析解决有关问题.
本节目标
课前预习
预习课本P109~112,思考并完成以下问题
1.椭圆有哪些几何性质?什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴?
2.什么是椭圆的离心率?随着离心率的变化椭圆的形状有何变化?
课前小测
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)椭圆=1(a>b>0)的长轴长等于a ( )
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c ( )
(3)椭圆的离心率e越小,椭圆越圆( )
×
√
√
2.椭圆25x2+9y2=225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A.5,3, B.10,6,
C.5,3, D.10,6,
B
25x2+9y2=225
=1
3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是( )
A. =1 B. + =1
C. + =1 D. + =1
D
4.若焦点在y轴上的椭圆+ =1的离心率为,则m的值为________.
新知探究
椭圆的简单几何性质
-a ≤ x ≤ a且-b ≤ y ≤ b
-b ≤ x ≤ b且-a ≤ y ≤ a
2a
2b
2c
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一 由标准方程研究几何性质
[例1] 求椭圆x2+9y2=81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
所以椭圆的长轴长2a=18,短轴长2b=6,离心率e= = .
两个焦点的坐标分别为F1(-6,0),F2(6,0),
四个顶点的坐标分别为A1(-9,0),A2(9,0),B1(0,-3),B2(0,3).
a=9, b=3, c= =6
(1)将椭圆方程化为标准形式;
(2)确定焦点位置;
(3)求出a,b,c;
(4)写出椭圆的几何性质.
[注意] 长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是a,b,c的两倍.
用标准方程研究几何性质的步骤
方法总结
跟踪训练
1.已知椭圆C1:=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;
(2)写出椭圆C2的方程,并研究其性质.
1.已知椭圆C1:=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;
由椭圆C1:+=1可得其
长半轴长为10,
短半轴长为8,
焦点坐标(6,0),(-6,0),
离心率e=.
1.已知椭圆C1:=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.
(2)写出椭圆C2的方程,并研究其性质.
椭圆C2:+=1,
性质:①范围:-8≤x≤8,-10≤y≤10;
②对称性:关于x轴、y轴、原点对称;
③顶点:长轴端点(0,10),(0,-10),短轴端点(-8,0),(8,0);
④焦点:(0,6),(0,-6);
⑤离心率:e= .
题型二 利用几何性质求标准方程
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是10,离心率是;
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6.
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是10,离心率是;
设椭圆的方程为+=1(a>b>0)或+ =1(a>b>0).
由已知得2a=10,a=5.
又∵e== ,∴c=4.
∴b2=a2-c2=25-16=9.
∴椭圆方程为+ =1或+ =1.
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6.
依题意可设椭圆方程为+=1(a>b>0).
如图所示,△A1FA2为一等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),
且|OF|=c,|A1A2|=2b,
则c=b=3,a2=b2+c2=18,
故所求椭圆的方程为+=1.
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,通常采用待定系数法,其步骤是:
(1)确定焦点位置;
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程);
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数.列方程(组)时常用的关系式有b2=a2-c2,e= 等.
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
方法总结
跟踪训练
(1)长轴长与短轴长的和为18,焦距为6;
(2)过点(3,0),离心率e= ;
(3)过点M(1,2),且与椭圆+=1有相同离心率.
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)长轴长与短轴长的和为18,焦距为6;
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
因为不确定焦点在哪个坐标轴上,
所以所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,
由题意可知
2a + 2b=18
2c = 6
a2 + b2=c2
解得a=5,b=4.
(2)过点(3,0),离心率e= ;
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
当椭圆的焦点在x轴上时,
设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),
由题意,得a=3,
因为e= ,所以c=,
从而b2=a2-c2=3,
所以椭圆的标准方程为+=1;
当椭圆的焦点在y轴上时,
设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),
由题意,得b=3,
因为e= ,所以= ,
把b=3代入,得a2=27,
所以椭圆的标准方程为+=1.
综上可知,所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
(3)过点M(1,2),且与椭圆+=1有相同离心率.
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
设所求椭圆方程为+=k1(k1>0)或+=k2(k2>0),
将点M的坐标代入可得+=k1或+=k2,
解得k1=,k2=,故+=或+= ,
即所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
题型三 求椭圆的离心率
[例3] 设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
由题意可设|PF2|=m,
结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|= m,
故离心率e== = = = .
法一
D
[例3] 设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
法二
D
由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c,
将x=c代入椭圆方程可解得y=±,所以|PF2|=.
又由∠PF1F2=30°可得|F1F2|=|PF2|,
故2c=·,变形可得(a2-c2)=2ac,
等式两边同除以a2,得(1-e2)=2e,
解得e= 或e=-(舍去).
变式1 设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点, ∠PF2F1=75°,∠PF1F2=45°,求C的离心率.
多维探究
在△PF1F2中,
∵∠PF1F2=45°,∠PF2F1=75°,∴∠F1PF2=60°,
设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,椭圆的长轴长为2a,
则在△PF1F2中,有,
∴ = ,
∴e=== = .
变式2 设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点, C上存在点P,使∠F1PF2为钝角,求C的离心率的取值范围.
由题意,知c>b,∴c2>b2.
又b2=a2-c2,∴c2>a2-c2,即2c2>a2.
∴e2=> ,∴e>.
故C的离心率的取值范围为(,1).
(2)方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或范围.
求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法:若已知a,c可直接利用e=求解.若已知a,b或b,c可借助于a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=求解.
方法总结
随堂检测
1.(辽宁大连模拟)焦点在x轴上的椭圆方程为+=1(a>b>0),短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形,该三角形内切圆的半径为,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
C
2.(河南六市一模)已知点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为( )
A. B. C. D.
A
3.(四川德阳模拟)设P为椭圆C: +=1上一点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,且△PF1F2的重心为G,若|PF1|∶|PF2|=3∶4,那么△GPF1的面积为( )
A.24 B.12 C.8 D.6
C
4.(湖南湘东五校联考)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形,且60°<∠PF1F2<120°,则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.(,1) B.(,)
C.(,1) D.(0,)
B
(1)椭圆的焦点决定了椭圆的位置.在a>b>0时,
方程+=1的焦点在x轴上,
方程+=1的焦点在y轴上.
本课小结
(2)椭圆的范围决定了椭圆的大小,即椭圆+=1位于四条直线x=±a,y=±b围成的矩形内.
本课小结
(3)椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度,具体影响如下.
本课小结
(4)椭圆是轴对称与中心对称图形,具体如下.
本课小结
(5)椭圆的长轴和短轴都是线段,并不是直线,所以它们有长度,长轴长是2a,短轴长是2b.
(6)在椭圆中,a,b,c都具有实际的具体意义,其中,
a——长半轴长,b——短半轴长,c——半焦距.
它们之间的关系是a2-b2=c2.
通过本节课,你学会了什么?