人教版（2019）数学选择性必修第一册 3.2.2双曲线的简单几何性质 课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
双曲线的简单几何性质
1．掌握双曲线的简单几何性质．
2．了解双曲线的渐近性及渐近线的概念．
3．能区别椭圆与双曲线的性质．
本节目标
课前预习
预习课本P121～124，思考并完成以下问题
1．双曲线有哪些几何性质？
2．双曲线的顶点、实轴、虚轴分别是什么？
3．双曲线的渐近线、等轴双曲线的定义分别是什么？
课前小测
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)双曲线＝1的焦点在y轴上(　　)
(2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔(　　)
(3)以y＝±2x为渐近线的双曲线有2条(　　)
×
√
×
2．双曲线－y2＝1的顶点坐标是(　　)
A．(4,0)，(0,1) B．(－4,0)，(4,0)
C．(0,1)，(0,－1) D．(－4,0)，(0,－1)
B
3．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是(　　)
A. ＝1 B. － ＝1或－ ＝1
C. － ＝1 D. － ＝1或－ ＝1
B
4．(全国卷Ⅲ)双曲线＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝ x，则a＝________.
5
新知探究
双曲线的几何性质
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
|F1F2|＝2c
坐标轴
原点
2a
2b
a
b
等轴双曲线
实轴和虚轴______的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是_________，离心率为e＝______.
等长
y＝±x
对双曲线的简单几何性质的几点认识
(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置；
(2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．
知识点睛　
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
[例1] 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．
题型一　已知方程求其几何性质
[例1] 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．
将9y2－4x2＝－36变形为＝1，即＝1，
∴a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，
离心率e＝＝，
渐近线方程y＝±x.作草图如图所示．
归纳总结
由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤
跟踪训练
1．已知双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(，0)，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±4x
C．y＝±x D．y＝±2x
D
双曲线方程化为x2－ ＝1，由题意可得，1＋＝5，解得k＝，即双曲线方程为x2－ ＝1，则其渐近线方程为y＝±2x.
题型二　利用几何性质求双曲线的标准方程
[例2] 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：
(1)双曲线过点(3, 9)，离心率e＝；
(2)与双曲线x2－2y2＝2有共同的渐近线，且经过点(2，－2)；
(3)过点P(2，－1)，渐近线方程是y＝±3x.
[例2] 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：
(1)双曲线过点(3, 9)，离心率e＝；
由e2＝，得＝，
设a2＝9k(k>0)，则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.
设所求双曲线方程为＝1①或＝1②.
把(3,9)代入①，得k＝－161，与k>0矛盾，无解；
把(3,9)代入②，得k＝9.
故所求双曲线方程为＝1.
[例2] 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：
(2)与双曲线x2－2y2＝2有共同的渐近线，且经过点(2，－2)；
设所求双曲线方程为x2－2y2＝k.③
由于双曲线过点(2，－2)，
将(2，－2)代入③，得k＝22－2·(－2)2＝－4.
故所求双曲线方程为x2－2y2＝－4，即＝1.
[例2] 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：
由渐近线方程可设所求双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)．④
将点P(2，－1)代入④，得λ＝35，
故所求的双曲线方程为－ ＝1.
(3)过点P(2，－1)，渐近线方程是y＝±3x.
归纳总结
待定系数法求双曲线标准方程的步骤
根据渐近线方程求双曲线方程
(1)若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可表示为－ ＝λ(λ≠0)．
(2)与双曲线－ ＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线方程可表示为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0)；与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线方程可表示为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
技巧点拨
跟踪训练
2. 双曲线－ ＝1(a>0，b>0)的离心率为2，原点到直线AB的距离为，其中A(0,－b)，B(a,0)，求该双曲线的标准方程．
∵e＝2，∴1＋ ＝4，∴b2＝3a2.①
又∵AB的方程为bx－ay－ab＝0，
由点到直线的距离公式，可得＝ ，②
由①②联立，可解得a2＝1，b2＝3，
∴双曲线方程为x2－ ＝1.
[例3]　(1)已知双曲线＝1(a>)的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D．2
题型三　双曲线的离心率、渐近线
A
[例3]　(1)已知双曲线＝1(a>)的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D．2
A
双曲线＝1(a>)的两条渐近线方程为y＝±x.
由a>，得0< <1，
∴直线y＝ x的倾斜角小于.
∴ ＝tan ＝ ，解得a＝.
又c2＝a2＋2＝8，∴c＝2，∴e＝ ＝ .
(2)若F1，F2是双曲线－ ＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1的共同的左、右焦点，点P是两曲线的一个交点，且△PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是(　　)
A．3x±y＝0 B. x±3y＝0
C．3x± y＝0 D. x±3y＝0
D
又双曲线的焦点在x轴上，故所对应的渐近线方程为y＝±x，
(2)若F1，F2是双曲线－ ＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1的共同的左、右焦点，点P是两曲线的一个交点，且△PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是(　　)
A．3x±y＝0 B. x±3y＝0
C．3x± y＝0 D. x±3y＝0
由题意得F1(－4,0)，F2(4,0)，故双曲线中c＝4，
如图所示，若△PF1F2为等腰三角形，
则需满足|PF1|＝|F1F2|＝8，
化为一般式方程为x±3y＝0.
依据椭圆与双曲线的定义应有
|PF1| ＋ |PF2|=10
|PF1| － |PF2|=2a
解得a＝3，
故b＝＝ ，
D
(3)设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(＋)· ＝0(O为坐标原点)，且||＝ ||，则该双曲线的离心率为________．
∵(＋ )· ＝0，∴OB⊥PF2，且B为PF2的中点．
又O是F1F2的中点，∴OB∥PF1，∴PF1⊥PF2.
∵|PF1|－|PF2|＝2a，又∵| |＝ ||，
∴|PF2|＝(＋1)a，|PF1|＝(＋3)a.
∴由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得(12＋6)a2＋(4＋2)a2＝4c2，
∴e2＝4＋2，∴e＝＋1.
②利用e＝ 求解；
(1)①依据条件求出a，c，利用e＝求解；
③依据条件，建立关于a，b，c的齐次关系式，消去b转化为离心率e的方程求解．
(2)求离心率的范围，常结合已知条件构建关于a，b，c的不等关系．
求双曲线离心率的常见方法
方法总结
方法总结
求双曲线渐近线方程的两种方法
跟踪训练
3．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线上且不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A.若|OA|＝b，则该双曲线的离心率为________．
如图所示，延长F2A交PF1于点B.
依题意可得|BF1|＝|PF1|－|PF2|＝2a.
又因为点A是BF2的中点，所以|OA|＝|BF1|，
所以b＝a.所以c＝a.所以离心率为.
随堂检测
1．(全国新课标Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝± x
C．y＝±x D．y＝±x
因为双曲线－＝1的焦点在x轴上，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
又离心率e＝＝ ＝ ＝ ，所以＝ ，
所以双曲线的渐近线方程为y＝± x.
C
2．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是(　　)
A. －＝1 B. －＝1
C. －＝1 D. －＝1
由题意可知c＝3，a＝2，b＝ ＝ ＝ ，
故双曲线的方程为－＝1.
B
3．已知0<θ< ，则双曲线C1： ＝1与C2： － ＝1的(　　)
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
D
4．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ ab，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D．3
B
依题意得|PF1|－|PF2|＝±2a，又|PF1|＋|PF2|＝3b，
(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|－|PF2|)2＝9b2－4a2，即有4|PF1|·|PF2|＝9b2－4a2，
又4|PF1|·|PF2|＝9ab，因此有9b2－4a2＝9ab，
即9－－4＝0，( ＋1) (－4) ＝0， ＝ ，
该双曲线的离心率e＝＝ .
(1)双曲线的范围反映了其图象是两支，且在范围内向两方无限延伸．
(2)双曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形，(0,0)为对称中心，坐标轴为对称轴．
(3) 双曲线的离心率e＝反映了双曲线开口的大小，e越大，双曲线的开口就越大.
(4) 双曲线的渐近线是两条直线，当x，y趋向于无穷大时，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点．
本课小结
对双曲线的几何性质的四点说明
本课小结
双曲线与椭圆的六点不同
双曲线 椭圆
曲线 两支曲线 封闭的曲线
顶点 两个顶点 四个顶点
轴 实轴、虚轴 长轴、短轴
渐近线 有渐近线 无渐近线
离心率 e>1 0a，b，c关系 a2＋b2＝c2 a2－b2＝c2
通过本节课，你学会了什么？