人教版（2019）数学选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 章末复习课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
空间向量与立体几何章末复习
本章知识结构
本章知识结构
空间向量与立体几何
空间向量及其运算
空间向量中的向量方法
空间向量的加减运算
空间向量的数乘运算
空间向量的数量积运算
空间向量的坐标运算
直线的方向向量与平面的法向量
用空间向量证平行于垂直问题
求空间角
求空间距离
共线向量
共面向量
空间向量基本定理
平行与垂直的条件
向量夹角与距离
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　空间向量及其运算
空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算．空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致．
空间向量的运算是其应用的主要途径，尤其是两个向量的数量积是应用的重点．空间向量运算的坐标表示是立体几何中的证明、计算转化成代数问题的惟一通道，尤其是立体几何中的开放性问题可转化成代数中的解方程问题，从而得到简单的解答．
[例1]　(1)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若＝x＋2y－3z，则x＋y＋z＝(　　)
A．1 B. C. D.
B
(2)已知向量a＝(0,－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ的值为________．
3
由|λa＋b|＝ ，得
λ2|a|2＋ |b|2＋2λa·b＝29，　①
又|a|＝ ＝ ，
|b|＝ ＝ ，
a·b＝(0,－1,1)·(4,1,0)
＝0×4＋(－1)×1＋1×0
＝－1
代入①得2λ2－2λ＋17＝29，
即λ2－λ－6＝0，
解得λ＝3或λ＝－2，
又λ>0，
∴λ＝3.
法一
(2)已知向量a＝(0,－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ的值为________．
3
法二
由于a＝(0,－1,1)，b＝(4,1,0)．
所以λa＋b＝λ(0,－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ, λ)，
又|λa＋b|＝，
∴42＋(1－λ)2＋λ2＝29，
整理得λ2－λ－6＝0，
解得λ＝3或λ＝－2，
又∵λ>0，∴λ＝3.
题型二　空间向量与线面位置关系
用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法
线线平行
证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．
线线垂直
证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直．
用向量证明线面平行的方法主要有：
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量．
线面平行
线面垂直
用向量证明线面垂直的方法主要有：
①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；
②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．
面面平行
面面垂直
①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；
②转化为线面平行、线线平行问题．
①证明两个平面的法向量互相垂直；
②转化为线面垂直、线线垂直问题．
[例2] (1)如图所示，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°.
①求证：EF⊥平面BCE；
②设线段CD，AE的中点分别为P，M，求证：PM∥平面BCE.
(2)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2.
①若点E，F分别在棱PB，AD上，且＝4，＝4 ，求证：EF⊥平面PBC；
②若点G在线段PA上，且三棱锥G－PBC的体积为，试求线段PG的长．
题型三　空间向量与空间角
若异面直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，它们所成的角为θ，则cos θ＝|cos|.
异面直线所成角
题型三　空间向量与空间角
利用空间向量求直线与平面所成的角，可以有两种方法
分别求出斜线和它在平面内的射影所在直线的方向向量，将问题转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，则其余角就是斜线和平面所成的角．
直线与平面所成角
题型三　空间向量与空间角
二面角
利用空间向量求二面角也可以有两种方法
分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；
通过平面的法向量来求，设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于(或π－)．
利用空间向量求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角．
[例3]　如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．
运用向量法求空间的角(异面直线所成的角、线面角、二面角)，都是转化为求两向量的夹角，其计算公式是两向量的数量积，体现了转化与化归的数学思想．
技法点拨
题型四　空间向量与空间距离
空间中的距离包括点点距、点线距、点面距、线线距、线面距、面面距，其中以点点距和点面距较为常见，其他的可转化为点点距、点面距来求，求解方法有传统的几何法、等积法和向量法．
专题介绍
[例4]　(1) 已知矩形ABCD中，AB＝，AD＝1，将△ABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上，E，F，G分别为BD，AD，AB的中点．
①求证：DA⊥平面ABC；
②求点C到平面ABD的距离．
利用向量法求点面距时，注意d＝ ，即求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得出距离．
方法总结