海南省东方市西南大学东方实验中学2022-2023学年高三上学期期中数学综合复习卷二（含解析）
文档属性
| 名称 | 海南省东方市西南大学东方实验中学2022-2023学年高三上学期期中数学综合复习卷二（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-12 14:13:11 | ||
图片预览
文档简介
西大东实高三数学期中综合复习卷二
一、单选题
1．已知集合，，若满足，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
2．已知命题，，若是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
4．天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展．10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作．比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形ABCD测得一座山的高（如图①），再于山顶T处悬一直径为SP且可以转动的圆环（如图②），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得．由此可以算得地球的半径（ ）
A． B． C． D．
5．函数f（x）＝|ax－a|(a>0且a≠1)的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
6．函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，函数图象与x轴交于，与y轴交于P，其最高点为.若，则A的值等于（ ）
A． B． C． D．2
8．若关于x的不等式对于任意恒成立，则整数k的最大值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
二、多选题
9．（多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
10．下列选项中，正确的有（ ）
A．已知命题，则
B．若角的终边过点且，则；
C．若扇形的周长为，半径为，则其圆心角的大小为弧度
D．若，则
11．已知函数的图像关于点对称，将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．
C．的最小正周期为1 D．是函数图像的一个对称中心
12．已知奇函数的定义域为，若对，有，且当时，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．函数是周期函数，且周期为2
C．函数在区间上的零点个数是7个
D．对，
三、填空题
13．已知，则____________．
14．函数在处的切线与坐标轴围成的面积为________.
15．函数的最小值为_________．
16．如图，四边形中，，，，，则的长度的取值范围是__．
四、解答题
17．Sn为正项数列{an}的前n项和，已知an2+an＝2Sn+2．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn，求数列{bn}的前n项和．
18．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，.
(1)证明：B＝2A；
(2)若a＝3，，求.
19．在如图所示的五面体中，面是边长为的正方形，面，，且，分别为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
20．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，且直线过定点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)记（1）中求得的图形的圆心为，
（i）若直线与圆相切，求直线的方程；
（ii）若直线与圆交于，两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．
中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018年7月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都在以上．某部门研究成果认为，房租支出超过月收入的租户“幸福指数”低，房租支出不超过月收入的租户“幸福指数”高．为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，随机抽取甲、乙两小区的租户各100户进行调查．甲小区租户的月收入以 (单位：千元)分组的频率分布直方图如图所示．乙小区租户的月收入(单位：千元)的频数分布表如下：
月收入
户数 38 27 24 9 2
(1)设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记M表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元，乙小区租户的月收入不低于6千元”，把频率视为概率，求M的概率；
(2)利用频率分布直方图，求所抽取的甲小区100户租户的月收入的中位数；
(3)若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元、1千元．请根据条件完成下面的 列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数与租住的小区”有关．
幸福指数低 幸福指数高 总 计
甲小区租户
乙小区租户
总 计
0.10 0.010 0.001
k 2.706 6.635 10.828
附：临界值表
参考公式：
22．已知函数
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若，且，证明: .
参考答案：
1．D 2．A 3．C 4．A 5．C
6．B【详解】函数存在与直线平行的切线，即在上有解，
而，所以，因为，所以，所以．
所以的取值范围是．
当直线就是的切线时，设切点坐标，
可得，解得．
所以实数的取值范围是：．
7．B
8．C【详解】对于任意恒成立
等价于对于任意恒成立
令，则
令，则
所以在上单调递增，又
所以在有且仅有一个根，满足，即
当时，，即，函数单调递减，
时，，即，函数单调递增，
所以
由对勾函数可知，即
因为，即，，
所以.
9．AC 10．AC
11．BD【详解】由
由，
所以为偶函数错误，故A项错误
又，所以，且，所以， B项正确；
由B项，，
所以的最小正周期为，C项错误；
令，解得，
当时，，所以是函数图像的一个对称中心，D项正确．
12．BCD【详解】解：由，令得：
， ． ∵为奇函数， ，
， ， 所以选项A错误，选项B正确；
函数在区间上的零点个数等价为的左右两函数的交点个数，
分别作出与的图像如下所示：
由图像易知有7个交点，故选项C正确；
对于选项D，对，由对称性可知：关于对称，
所以，
又大于0，，小于0，，
所以，
所以选项D正确．
13． 14．2
15．2【详解】令，则，令，解得，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
故，则.
因为，所以
当且仅当时等号成立，因此的最小值为2．
【详解】设，
显然，
，
（其中，
，
，
综上的长度的取值范围是.
17．(1)an＝n+1；(2)Tn
18．【详解】（1）证明：由题，则
，故
由余弦定理得，
由正弦定理：，
则，注意到
即
得，因为三角形内角，
则（排除）
或，得.
（2）由已知及正弦定理得，得.
由余弦定理：，解得或3.
当时，，结合（1）得，与矛盾，故舍去，∴.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，由可证得结论；
（2）根据点到平面距离的向量求法可直接求得结果.
【详解】（1）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，；
平面，平面的一个法向量为，
，，则平面外直线平面.
（2）设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
点到平面的距离.
20．(1)
(2)（i）或；（ii）有最大值为，此时直线的方程为或．
【分析】（1）设点，即可表示出点坐标，再将点坐标代入圆的方程，即可得解；
（2）（i）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出参数的值，即可求出切线方程；
（ii）依题意直线的斜率一定存在且不为，设直线，表示出点到直线的距离，利用面积公式及基本不等式求出面积最大值及此时直线的方程；
（1）
解：设点，由的坐标是，且是线段的中点知，
点在圆上运动，点坐标满足圆的方程，
即，整理得．
（2）
解：（i）由（1）知点的轨迹方程是以点为圆心，2为半径的圆，
①若直线的斜率不存在，则直线，符合题意；
②若直线的斜率存在，设直线，即为，由直线与圆相切知，圆心到直线的距离等于半径，
即，解得．此时直线为．
由①②知直线的方程为或．
（ii）若直线与圆相交于，两点，则直线的斜率一定存在且不为，
设直线，
即直线，则圆心到直线的距离．
又，
当且仅当，即时，“”成立，
时，有最大值为，此时，
解得或，
故有最大值为，此时直线的方程为或．
21．(1)0.231
(2)5
(3)列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数与租住的小区”有关．
【分析】（1）根据题意分别求得事件“甲小区租户的月收入低于6千元”和事件“乙小区租户的月收入不低于6千元”的概率，根据相互独立事件的概率公式即可求得答案.
（2）利用频率分布直方图结合中位数的计算公式即可求得答案;
（3）由题意可得列联表，进而求得 的观测值，与临界值表比较，可得结论.
（1）
记A表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元”，记B表示事件“乙小区租户的月收入不低于6千元”，
甲小区租户的月收入低于6千元的频率为 ，
故 的估计值为0.66．
乙小区租户的月收入不低于6千元的频率为，
故的估计值为0.35．
因为甲、乙两小区租户的月收入相互独立，
事件M的概率的估计值为 ．
（2）
因为前两组的频率之和为，
故中位数的值位于第二组，
设甲小区所抽取的100户的月收入的中位数为t，
则 ，
解得t＝5．
（3）
设H0：幸福指数与租住的小区无关，由题意可得列联表：
幸福指数低 幸福指数高 总 计
甲小区租户 66 34 100
乙小区租户 38 62 100
总 计 104 96 200
根据 列联表中的数据，
得到 的观测值，
所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数与租住的小区”有关．
22．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，分，两种情况，分别研究的正负，即可得到的单调性；（2）将已知的方程两边同时取对数，得到，由进行分析，利用（1）中的结论，不妨令，分或两种情况求解，构造函数，利用导数研究其性质，结合不等式的性质及基本不等式，即可证明.
（1） 当时，， ， 所以单调递增；， ， 所以单调递减；当时，， 所以单调递减；， 所以单调递增；
（2）证明： ， ∴ ， 即当时，由（1）可知，此时是的极大值点，因此不妨令要证，即证：①当时，成立；②当时先证此时 要证，即证：，即，即即： ①令 ，∴ ∴在区间上单调递增∴，∴①式得证.
∴∵，
∴ ∴ ∴
一、单选题
1．已知集合，，若满足，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
2．已知命题，，若是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
4．天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展．10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作．比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形ABCD测得一座山的高（如图①），再于山顶T处悬一直径为SP且可以转动的圆环（如图②），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得．由此可以算得地球的半径（ ）
A． B． C． D．
5．函数f（x）＝|ax－a|(a>0且a≠1)的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
6．函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，函数图象与x轴交于，与y轴交于P，其最高点为.若，则A的值等于（ ）
A． B． C． D．2
8．若关于x的不等式对于任意恒成立，则整数k的最大值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
二、多选题
9．（多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
10．下列选项中，正确的有（ ）
A．已知命题，则
B．若角的终边过点且，则；
C．若扇形的周长为，半径为，则其圆心角的大小为弧度
D．若，则
11．已知函数的图像关于点对称，将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．
C．的最小正周期为1 D．是函数图像的一个对称中心
12．已知奇函数的定义域为，若对，有，且当时，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．函数是周期函数，且周期为2
C．函数在区间上的零点个数是7个
D．对，
三、填空题
13．已知，则____________．
14．函数在处的切线与坐标轴围成的面积为________.
15．函数的最小值为_________．
16．如图，四边形中，，，，，则的长度的取值范围是__．
四、解答题
17．Sn为正项数列{an}的前n项和，已知an2+an＝2Sn+2．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn，求数列{bn}的前n项和．
18．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，.
(1)证明：B＝2A；
(2)若a＝3，，求.
19．在如图所示的五面体中，面是边长为的正方形，面，，且，分别为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
20．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，且直线过定点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)记（1）中求得的图形的圆心为，
（i）若直线与圆相切，求直线的方程；
（ii）若直线与圆交于，两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．
中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018年7月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都在以上．某部门研究成果认为，房租支出超过月收入的租户“幸福指数”低，房租支出不超过月收入的租户“幸福指数”高．为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，随机抽取甲、乙两小区的租户各100户进行调查．甲小区租户的月收入以 (单位：千元)分组的频率分布直方图如图所示．乙小区租户的月收入(单位：千元)的频数分布表如下：
月收入
户数 38 27 24 9 2
(1)设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记M表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元，乙小区租户的月收入不低于6千元”，把频率视为概率，求M的概率；
(2)利用频率分布直方图，求所抽取的甲小区100户租户的月收入的中位数；
(3)若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元、1千元．请根据条件完成下面的 列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数与租住的小区”有关．
幸福指数低 幸福指数高 总 计
甲小区租户
乙小区租户
总 计
0.10 0.010 0.001
k 2.706 6.635 10.828
附：临界值表
参考公式：
22．已知函数
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若，且，证明: .
参考答案：
1．D 2．A 3．C 4．A 5．C
6．B【详解】函数存在与直线平行的切线，即在上有解，
而，所以，因为，所以，所以．
所以的取值范围是．
当直线就是的切线时，设切点坐标，
可得，解得．
所以实数的取值范围是：．
7．B
8．C【详解】对于任意恒成立
等价于对于任意恒成立
令，则
令，则
所以在上单调递增，又
所以在有且仅有一个根，满足，即
当时，，即，函数单调递减，
时，，即，函数单调递增，
所以
由对勾函数可知，即
因为，即，，
所以.
9．AC 10．AC
11．BD【详解】由
由，
所以为偶函数错误，故A项错误
又，所以，且，所以， B项正确；
由B项，，
所以的最小正周期为，C项错误；
令，解得，
当时，，所以是函数图像的一个对称中心，D项正确．
12．BCD【详解】解：由，令得：
， ． ∵为奇函数， ，
， ， 所以选项A错误，选项B正确；
函数在区间上的零点个数等价为的左右两函数的交点个数，
分别作出与的图像如下所示：
由图像易知有7个交点，故选项C正确；
对于选项D，对，由对称性可知：关于对称，
所以，
又大于0，，小于0，，
所以，
所以选项D正确．
13． 14．2
15．2【详解】令，则，令，解得，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
故，则.
因为，所以
当且仅当时等号成立，因此的最小值为2．
【详解】设，
显然，
，
（其中，
，
，
综上的长度的取值范围是.
17．(1)an＝n+1；(2)Tn
18．【详解】（1）证明：由题，则
，故
由余弦定理得，
由正弦定理：，
则，注意到
即
得，因为三角形内角，
则（排除）
或，得.
（2）由已知及正弦定理得，得.
由余弦定理：，解得或3.
当时，，结合（1）得，与矛盾，故舍去，∴.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，由可证得结论；
（2）根据点到平面距离的向量求法可直接求得结果.
【详解】（1）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，；
平面，平面的一个法向量为，
，，则平面外直线平面.
（2）设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
点到平面的距离.
20．(1)
(2)（i）或；（ii）有最大值为，此时直线的方程为或．
【分析】（1）设点，即可表示出点坐标，再将点坐标代入圆的方程，即可得解；
（2）（i）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出参数的值，即可求出切线方程；
（ii）依题意直线的斜率一定存在且不为，设直线，表示出点到直线的距离，利用面积公式及基本不等式求出面积最大值及此时直线的方程；
（1）
解：设点，由的坐标是，且是线段的中点知，
点在圆上运动，点坐标满足圆的方程，
即，整理得．
（2）
解：（i）由（1）知点的轨迹方程是以点为圆心，2为半径的圆，
①若直线的斜率不存在，则直线，符合题意；
②若直线的斜率存在，设直线，即为，由直线与圆相切知，圆心到直线的距离等于半径，
即，解得．此时直线为．
由①②知直线的方程为或．
（ii）若直线与圆相交于，两点，则直线的斜率一定存在且不为，
设直线，
即直线，则圆心到直线的距离．
又，
当且仅当，即时，“”成立，
时，有最大值为，此时，
解得或，
故有最大值为，此时直线的方程为或．
21．(1)0.231
(2)5
(3)列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数与租住的小区”有关．
【分析】（1）根据题意分别求得事件“甲小区租户的月收入低于6千元”和事件“乙小区租户的月收入不低于6千元”的概率，根据相互独立事件的概率公式即可求得答案.
（2）利用频率分布直方图结合中位数的计算公式即可求得答案;
（3）由题意可得列联表，进而求得 的观测值，与临界值表比较，可得结论.
（1）
记A表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元”，记B表示事件“乙小区租户的月收入不低于6千元”，
甲小区租户的月收入低于6千元的频率为 ，
故 的估计值为0.66．
乙小区租户的月收入不低于6千元的频率为，
故的估计值为0.35．
因为甲、乙两小区租户的月收入相互独立，
事件M的概率的估计值为 ．
（2）
因为前两组的频率之和为，
故中位数的值位于第二组，
设甲小区所抽取的100户的月收入的中位数为t，
则 ，
解得t＝5．
（3）
设H0：幸福指数与租住的小区无关，由题意可得列联表：
幸福指数低 幸福指数高 总 计
甲小区租户 66 34 100
乙小区租户 38 62 100
总 计 104 96 200
根据 列联表中的数据，
得到 的观测值，
所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数与租住的小区”有关．
22．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，分，两种情况，分别研究的正负，即可得到的单调性；（2）将已知的方程两边同时取对数，得到，由进行分析，利用（1）中的结论，不妨令，分或两种情况求解，构造函数，利用导数研究其性质，结合不等式的性质及基本不等式，即可证明.
（1） 当时，， ， 所以单调递增；， ， 所以单调递减；当时，， 所以单调递减；， 所以单调递增；
（2）证明： ， ∴ ， 即当时，由（1）可知，此时是的极大值点，因此不妨令要证，即证：①当时，成立；②当时先证此时 要证，即证：，即，即即： ①令 ，∴ ∴在区间上单调递增∴，∴①式得证.
∴∵，
∴ ∴ ∴
同课章节目录