第三章 圆锥曲线的方程 单元测试（含解析）
文档属性
| 名称 | 第三章 圆锥曲线的方程 单元测试（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 912.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-13 06:35:42 | ||
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文档简介
圆锥曲线的方程测试(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线的焦点坐标是( )
A． B． C． D．
2．已知直线双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为( )
A． B．2 C． D．
3．已知是的定直径，过上的动点作切线与过点的切线分别交于点，连接交于点，则点的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．抛物线的一段 D．线段
4．已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为( )
A． B． C． D．
5．抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两点，且，且中点到准线的距离为3，则线段的中点到准线的距离为( )
A．1 B．2 C． D．3
6．已知椭圆，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，若椭圆内一点A(1,1)，则的最小值为( )
A．3 B． C． D．
7．已知双曲线的渐近线夹角为，离心率为e，则等于( )
A．e B． C． D．
8．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则m的值是( )
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知椭圆：，：，则（ ）
A．，的焦点都在轴上 B．，的焦距相等
C．，没有公共点 D．离心率比离心率小
10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点Q．下列说法正确的是（ ）．
A．若，则
B．若，则
C．若，则PB平分
D．若，延长AO交直线于点M，则M，B，Q三点共线
11．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则（ ）
A．点P的轨迹是一条线段
B．点P的轨迹与直线：是没有交汇的轨迹（即两个轨迹没有交点）
C．不是“最远距离直线”
D．是“最远距离直线”
12．已知椭圆的左 右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ）
A．椭圆的离心率的取值范围是
B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C．存在点使得
D．的最小值为1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．椭圆的焦距为4，则m＝______．
14．已知椭圆：的焦点为，．过且倾斜角为60°的直线交椭圆的上半部分于点，以，（为坐标原点）为邻边作平行四边形，点恰好也在椭圆上，则______．
15．设椭圆的两个焦点是，过的直线与交于P，Q两点，若，且，则椭圆的离心率为_____________．
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，，分别交y轴于P，Q两点，若的周长为16，则当双曲线的实轴长为______时，取得最大值______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．根据下列已知条件求曲线方程.
（1）求与双曲线共渐近线且过，点的双曲线方程；
（2）求与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆方程.
18．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，已知行车道总宽度米，那么车辆通过隧道的限制高度是多少米？
19．抛物线：上有不同的两个点，.
（1）若，求证：；
（2）判断：若，则是否成立 并说明理由.
20．已知为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于轴的直线，并在轴上方交双曲线于点，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）过圆上任意一点作圆的切线，交双曲线于两个不同的点，的中点为，证明：．
21．已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N.
（1）求抛物线C的方程；
（2）求直线的斜率的取值范围；
（3）设O为原点，，求证：为定值.
22．已知抛物线T：（）和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段的中垂线交椭圆C于M，N两点.
（1）若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；
（2）若恰好被平分，求面积的最大值
参考答案
1【答案】D
【解析】由题可知：双曲线的焦点在轴上，且，
所以
所以双曲线的焦点坐标为
故选：D
2【答案】A
【解析】双曲线的渐近线为，所以，
所以离心率为，
故选：A
3【答案】B
【解析】设圆的半径为1，以圆心O为原点直径AB为x轴建立直角坐标系：
则，圆的方程为，
设，则切线MN的方程为，
直线AM的方程为，直线BN的方程为，
所以，
则直线AN的方程为 ，
直线BM的方程为，
两式相乘得，
即，
当点P恰为A或B时，四边形ABNM变为线段AB，不符合题意，
所以轨迹不包括A，B两点，所以T的轨迹为椭圆，
故选：B
4【答案】A
【解析】抛物线上一点到焦点的距离为，
由抛物线的定义知，即，所以，所以，
抛物线的焦点坐标为，
故选：A.
5【答案】D
【解析】抛物线方程为，则，
由于中点到准线的距离为3，结合抛物线的定义可知，
即，
所以线段的中点到准线的距离为.
故选：D
6【答案】A
【解析】设椭圆的右焦点为，，，
又，，
当三点共线时取等号，的最小值为3(取最小值时是射线与椭圆的交点)，
故选：A.
7【答案】C
【解析】取双曲线方程为，易得离心率，
故选：C.
8【答案】D
【解析】解析：显然双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2.
∴ m2＝1，即m＝±1.
故选：D.
9【答案】BCD
【解析】因为椭圆的标准方程为，所以的焦点在y上，所以A不正确；
因为椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以B正确；
联立椭圆，的方程，消除，得，所以无解，故椭圆，没有公共点，所以C正确；
因为椭圆的离心率为，的离心率为，所以，所以D正确．
故选：BCD.
10【答案】ACD
【详解】对于选项，若，则抛物线,的焦点为,
由已知条件得，直线的方程为，可得，，选项正确；
对于选项,若，则抛物线,的焦点为,
由已知条件得，直线的方程为，可得，
，选项不正确；
对于选项,时，∵，∴，
又∵，∴平分，选项正确；
对于选项，若，则抛物线,的焦点为,
延长交直线于点，则，由选项可知，则M，B，Q三点共线，故正确；
故选：．
11【答案】BCD
【解析】由点P到点M的距离比到直线l的距离小1，可得点P到点M的距离等于到直线：的距离，故点P的轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，其方程是，故A错误．由上述可知点P的轨迹与直线没有交点，即两者是没有交汇的轨迹，故B正确．易知“最远距离直线”与抛物线有交点，把代入抛物线方程，消去y并整理得．因为，方程无解，所以不是“最远距离直线”，故C正确．把代入抛物线方程，消去y并整理得．因为，方程有解，所以是“最远距离直线”，故D正确．
故选：BCD．
12【答案】BCD
【解析】解：由题意得，又点在椭圆外，则，解得，
所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故A不正确；
当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确；
设椭圆的上顶点为，，，由于，
所以存在点使得，故C正确；
，
当且仅当时，等号成立，
又，
所以，故D正确．
故选：BCD
13【答案】9或17
【解析】解：因为表示椭圆，所以且，
又椭圆的焦距为4，所以，即，
当椭圆的焦点在轴上时，，所以，即
；
当椭圆的焦点在轴上时，，所以，即；
故答案为：9或17.
14【答案】
【解析】依题意可知，设，，
因为四边形为平行四边形，所以，又因为，，所以，
因为，且直线的倾斜角为60°，所以，所以，，，所以，
将其代入，得，又因为，所以，．
故答案为：
15【答案】
【解析】设椭圆
设 由椭圆的定义可得 ， 可得
取 的中点 ，连接 ，则
由勾股定理可得 即为将带入上式化简可得，
所以，所以，
所以或者，所以或（舍），
所以 .
故答案为：．
16【答案】 4 4
【解析】因为的周长为16，且，所以的周长为32，
将代入双曲线得，解得，所以，
因为①，②，所以①-②得，
所以，所以，
则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当双曲线的实轴长为4时，取得最大值4，
故答案为：4；4
17．（1）（2）或
【解析】（1）设与双曲线共渐近线的双曲线方程为：点，在双曲线上，
所求双曲线方程为：，即.
（2）若焦点在轴上，设所求椭圆方程为，将点代入，得，故所求方程为.
若焦点在轴上，设方程为代入点，得，
.
18．3.25米
【解析】取隧道截面抛物线的顶点为原点，如下图：
对称轴为轴，建立直角坐标系，，设抛物线方程，将点代入抛物线方程得，
抛物线方程为，行车道总宽度，
将代入抛物线方程，，
限度为．
故答案为：3.25米．
19．（1）证明见详解.（2）不一定，理由见详解
【解析】（1）由题意可得，，
即 所以，
由，，
所以
解得，即证.
（2），，
，
所以或，
当时，，
当时，与不垂直，
所以，不一定成立.
20．（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意，设，的坐标分别为，，，，
因为点在双曲线上，所以，即，所以，
在中，，，所以，
由双曲线的定义可知：，
故双曲线的方程为：．
（2）证明：由题意，即证：．
设，，，，切线的方程为：，
①当时，切线的方程代入双曲线中，化简得：，
所以：，，
又，
所以；
②当时，易知，所以也成立；
综上，，即，
所以．
21．
（1）（2）（3）定值为2
【解析】（1）因点在抛物线上，则，解得，所以抛物线C的方程为.
（2）令直线的斜率为k，则直线方程为：，
由消去y并整理得：，
因直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，则，解得且，又直线PA，PB与相交，而点(1，-2)在抛物线C上，则直线不能过点(1，-2)，否则PA或PB之一平行于y轴，矛盾，因此，综上得：，且，
所以直线的斜率的取值范围.
（3）设点，，，而，则，同理，设，由(2)知，直线方程：，即，则，令，得，同理，于是得
，
所以为定值2.
22．（1）4（2）．
【解析】（1）在椭圆中，， 所以，；
（2）设直线方程为，代入抛物线方程得，
设，中点为，则，，
，，
设，则，两式相减得，
所以，，，
所以，解得，
点在椭圆内部，所以，得，
因为，所以或，
，
时，，时，，
所以面积的最大值为．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线的焦点坐标是( )
A． B． C． D．
2．已知直线双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为( )
A． B．2 C． D．
3．已知是的定直径，过上的动点作切线与过点的切线分别交于点，连接交于点，则点的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．抛物线的一段 D．线段
4．已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为( )
A． B． C． D．
5．抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两点，且，且中点到准线的距离为3，则线段的中点到准线的距离为( )
A．1 B．2 C． D．3
6．已知椭圆，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，若椭圆内一点A(1,1)，则的最小值为( )
A．3 B． C． D．
7．已知双曲线的渐近线夹角为，离心率为e，则等于( )
A．e B． C． D．
8．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则m的值是( )
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知椭圆：，：，则（ ）
A．，的焦点都在轴上 B．，的焦距相等
C．，没有公共点 D．离心率比离心率小
10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点Q．下列说法正确的是（ ）．
A．若，则
B．若，则
C．若，则PB平分
D．若，延长AO交直线于点M，则M，B，Q三点共线
11．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则（ ）
A．点P的轨迹是一条线段
B．点P的轨迹与直线：是没有交汇的轨迹（即两个轨迹没有交点）
C．不是“最远距离直线”
D．是“最远距离直线”
12．已知椭圆的左 右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ）
A．椭圆的离心率的取值范围是
B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C．存在点使得
D．的最小值为1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．椭圆的焦距为4，则m＝______．
14．已知椭圆：的焦点为，．过且倾斜角为60°的直线交椭圆的上半部分于点，以，（为坐标原点）为邻边作平行四边形，点恰好也在椭圆上，则______．
15．设椭圆的两个焦点是，过的直线与交于P，Q两点，若，且，则椭圆的离心率为_____________．
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，，分别交y轴于P，Q两点，若的周长为16，则当双曲线的实轴长为______时，取得最大值______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．根据下列已知条件求曲线方程.
（1）求与双曲线共渐近线且过，点的双曲线方程；
（2）求与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆方程.
18．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，已知行车道总宽度米，那么车辆通过隧道的限制高度是多少米？
19．抛物线：上有不同的两个点，.
（1）若，求证：；
（2）判断：若，则是否成立 并说明理由.
20．已知为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于轴的直线，并在轴上方交双曲线于点，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）过圆上任意一点作圆的切线，交双曲线于两个不同的点，的中点为，证明：．
21．已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N.
（1）求抛物线C的方程；
（2）求直线的斜率的取值范围；
（3）设O为原点，，求证：为定值.
22．已知抛物线T：（）和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段的中垂线交椭圆C于M，N两点.
（1）若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；
（2）若恰好被平分，求面积的最大值
参考答案
1【答案】D
【解析】由题可知：双曲线的焦点在轴上，且，
所以
所以双曲线的焦点坐标为
故选：D
2【答案】A
【解析】双曲线的渐近线为，所以，
所以离心率为，
故选：A
3【答案】B
【解析】设圆的半径为1，以圆心O为原点直径AB为x轴建立直角坐标系：
则，圆的方程为，
设，则切线MN的方程为，
直线AM的方程为，直线BN的方程为，
所以，
则直线AN的方程为 ，
直线BM的方程为，
两式相乘得，
即，
当点P恰为A或B时，四边形ABNM变为线段AB，不符合题意，
所以轨迹不包括A，B两点，所以T的轨迹为椭圆，
故选：B
4【答案】A
【解析】抛物线上一点到焦点的距离为，
由抛物线的定义知，即，所以，所以，
抛物线的焦点坐标为，
故选：A.
5【答案】D
【解析】抛物线方程为，则，
由于中点到准线的距离为3，结合抛物线的定义可知，
即，
所以线段的中点到准线的距离为.
故选：D
6【答案】A
【解析】设椭圆的右焦点为，，，
又，，
当三点共线时取等号，的最小值为3(取最小值时是射线与椭圆的交点)，
故选：A.
7【答案】C
【解析】取双曲线方程为，易得离心率，
故选：C.
8【答案】D
【解析】解析：显然双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2.
∴ m2＝1，即m＝±1.
故选：D.
9【答案】BCD
【解析】因为椭圆的标准方程为，所以的焦点在y上，所以A不正确；
因为椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以B正确；
联立椭圆，的方程，消除，得，所以无解，故椭圆，没有公共点，所以C正确；
因为椭圆的离心率为，的离心率为，所以，所以D正确．
故选：BCD.
10【答案】ACD
【详解】对于选项，若，则抛物线,的焦点为,
由已知条件得，直线的方程为，可得，，选项正确；
对于选项,若，则抛物线,的焦点为,
由已知条件得，直线的方程为，可得，
，选项不正确；
对于选项,时，∵，∴，
又∵，∴平分，选项正确；
对于选项，若，则抛物线,的焦点为,
延长交直线于点，则，由选项可知，则M，B，Q三点共线，故正确；
故选：．
11【答案】BCD
【解析】由点P到点M的距离比到直线l的距离小1，可得点P到点M的距离等于到直线：的距离，故点P的轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，其方程是，故A错误．由上述可知点P的轨迹与直线没有交点，即两者是没有交汇的轨迹，故B正确．易知“最远距离直线”与抛物线有交点，把代入抛物线方程，消去y并整理得．因为，方程无解，所以不是“最远距离直线”，故C正确．把代入抛物线方程，消去y并整理得．因为，方程有解，所以是“最远距离直线”，故D正确．
故选：BCD．
12【答案】BCD
【解析】解：由题意得，又点在椭圆外，则，解得，
所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故A不正确；
当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确；
设椭圆的上顶点为，，，由于，
所以存在点使得，故C正确；
，
当且仅当时，等号成立，
又，
所以，故D正确．
故选：BCD
13【答案】9或17
【解析】解：因为表示椭圆，所以且，
又椭圆的焦距为4，所以，即，
当椭圆的焦点在轴上时，，所以，即
；
当椭圆的焦点在轴上时，，所以，即；
故答案为：9或17.
14【答案】
【解析】依题意可知，设，，
因为四边形为平行四边形，所以，又因为，，所以，
因为，且直线的倾斜角为60°，所以，所以，，，所以，
将其代入，得，又因为，所以，．
故答案为：
15【答案】
【解析】设椭圆
设 由椭圆的定义可得 ， 可得
取 的中点 ，连接 ，则
由勾股定理可得 即为将带入上式化简可得，
所以，所以，
所以或者，所以或（舍），
所以 .
故答案为：．
16【答案】 4 4
【解析】因为的周长为16，且，所以的周长为32，
将代入双曲线得，解得，所以，
因为①，②，所以①-②得，
所以，所以，
则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当双曲线的实轴长为4时，取得最大值4，
故答案为：4；4
17．（1）（2）或
【解析】（1）设与双曲线共渐近线的双曲线方程为：点，在双曲线上，
所求双曲线方程为：，即.
（2）若焦点在轴上，设所求椭圆方程为，将点代入，得，故所求方程为.
若焦点在轴上，设方程为代入点，得，
.
18．3.25米
【解析】取隧道截面抛物线的顶点为原点，如下图：
对称轴为轴，建立直角坐标系，，设抛物线方程，将点代入抛物线方程得，
抛物线方程为，行车道总宽度，
将代入抛物线方程，，
限度为．
故答案为：3.25米．
19．（1）证明见详解.（2）不一定，理由见详解
【解析】（1）由题意可得，，
即 所以，
由，，
所以
解得，即证.
（2），，
，
所以或，
当时，，
当时，与不垂直，
所以，不一定成立.
20．（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意，设，的坐标分别为，，，，
因为点在双曲线上，所以，即，所以，
在中，，，所以，
由双曲线的定义可知：，
故双曲线的方程为：．
（2）证明：由题意，即证：．
设，，，，切线的方程为：，
①当时，切线的方程代入双曲线中，化简得：，
所以：，，
又，
所以；
②当时，易知，所以也成立；
综上，，即，
所以．
21．
（1）（2）（3）定值为2
【解析】（1）因点在抛物线上，则，解得，所以抛物线C的方程为.
（2）令直线的斜率为k，则直线方程为：，
由消去y并整理得：，
因直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，则，解得且，又直线PA，PB与相交，而点(1，-2)在抛物线C上，则直线不能过点(1，-2)，否则PA或PB之一平行于y轴，矛盾，因此，综上得：，且，
所以直线的斜率的取值范围.
（3）设点，，，而，则，同理，设，由(2)知，直线方程：，即，则，令，得，同理，于是得
，
所以为定值2.
22．（1）4（2）．
【解析】（1）在椭圆中，， 所以，；
（2）设直线方程为，代入抛物线方程得，
设，中点为，则，，
，，
设，则，两式相减得，
所以，，，
所以，解得，
点在椭圆内部，所以，得，
因为，所以或，
，
时，，时，，
所以面积的最大值为．