2022—2023学年度上学期期中教学质量检测
高三数学试题参考答案
一、单选1.B 2.A 3.D 4.D 5.A 6.C 7.B 8.C
二、多选9.ABD 10.AB 11.ACD 12.BD
3,n=1 1
三、 1+填空13.43 14.5 15.an= 16.[e e,+∞)3·2n-2,n≥2
四、解答
17.解:(1)因为a>0且a≠1,设t(x)=2-ax,
则t(x)=2-ax 为减函数,x∈[0,1]时,t(x)的最小值为2-a,……………………… 2分
当x∈[0,1]时,f(x)恒有意义,即x∈[0,1]时,2-ax>0恒成立.
所以2-a>0.所以a<2.………………………………………………………………… 4分
又a>0且a≠1,所以a∈(0,1)∪(1,2).………………………………………………… 5分
(2)t(x)=2-ax,因为a>0,所以函数t(x)为减函数.
因为f(x)在区间[1,2]上为增函数,所以y=logat为减函数,所以0
当x∈[1,2]时,f(x)最大值为f(2)=loga(2-2a)=1 ……………………………… 8分
0故 2a= ,使得函数f(x)在区间[3 1
,2]上为增函数,并且最大值为1.………………… 10分
18.(1)由题意得:(an+1+3an)(an+1-2an)=0……………………………………………… 2分
a
∵a >0 ∴a =2a 即:n+1n n+1 n =2为常数 …………………………………………… 分a 4n
∴数列{an}是以2为首项,以2为公比的等比数列 ……………………………………… 5分
∴an=2n …………………………………………………………………………………… 6分
2n,n 为奇数
(2)bn= ……………………………………………………………………… 8分2n,n 为偶数
∴S2n+1=b1+b2+…+b2n+b2n+1
=(b1+b3+…+b2n+1)+(b2+b4+…+b2n)
(n+1)(2+4n+2) 4(1-4n)
= 2 + 1-4
2 4n+1
=2n2+4n+ + …………………………………………………………………… 分3 3 12
19.(1)法一:因为f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)是奇函数,
而y1=a+2cos2x 为偶函数,所以y2=cos(2x+θ)为奇函数,………………………… 2分
又θ∈(0,π),得
π
θ= . …………………………………………………………………… 3分2
高三数学试题参考答案第1页 (共4页 )
所以f(x)=-sin2x·(a+2cos2x)由 πf =0,得-(4 a+1)=0,即a=-1.……… 5分
f(0)=(a+2)cosθ=0
法二:由题意可得 π ………………………………………… 2分
f( )=(a+1)(4 -sinθ
)=0
因为θ∈(0,π),所以sinθ>0,可解得a=-1,
π
θ= …………………………………… 4分2
此时f(x)
1
=- ,为奇函数,符合题意,所以
π
2sin4x a=-1
,θ= …………………… 分2 5
(2)(
π π 1 3
g x)=4f(x+ )· () ( )· ( )·12 f x =sin4x+3 sin4x= 2sin4x+2cos4x sin4x
1 3 1
= sin24x+ · ( )
3
2 2cos4x sin4x=4 1-cos8x +4sin8x
1 3 1 1 1
= + sin8x- cos8x= + sin(
π
8x- )………………………………………… 分4 4 4 4 2 6 8
令 πz=8x- ,则6 y=sinz
的单调递减区间为 π 3π
2+2kπ
,
2+2kπ
,k∈Z
由π π 3π π 1 5π 1
2+2kπ≤8x- ≤ +2kπ
解得
6 2 12+4kπ≤x≤
, …………… 分
24+4kπk∈Z 11 .
所以 π 1 5π 1g(x)的单调递减区间为[ ,12+4kπ 24+4kπ
],k∈Z ………………………… 12分
20.解:(1)因为c2=b2+a2-2abcosC,b=2a,c=3
∴7a2=9,解得
37
a= ……………………………………………………………………7 2
分
1 1 9 3 93
∴S△ABC= absinC= ×2× × = …………………………………………… 分2 2 7 2 14 4
(2)因为b=2a,由正弦定理可得sinB=2sinA,代入2sinB-sinA=1
解得 1 2sinA= ,sinB= ,因为a1 22
3 3 A ∴cosA= 1-9=
……… 分
3 6
当 为锐角时, 4 5B cosB= 1-9=3
( ) 15 222 42+ 5∴sinC=sinA+B =sinAcosB+cosAsinB= + = …………… 分33 3 3 9 8
因为 c a
sinC=sinA
42- 5 , 82-25∴a= b= ,∴C△ABC=42- 5+3 ……………………………… 9分3 3
当B 为钝角时,
4 5
cosB=- 1-9=-3
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∴sinC=sin(
1 5 222 42- 5
A+B)=sinAcosB+cosAsinB= (3 -
)
3 + 3 3= 9
因为 c a
sinC=sinA
42+ 5 , 82+25∴a= b= ,∴C△ABC=42+ 5+3 …………………………… 11分3 3
综上:△ABC 的周长为42- 5+3或42+ 5+3.………………………………… 12分
( )[ ( )]
21.解:(1)f(x)定义域为(0,+∞), (
a+2 a+1 x-1 x- a+1
f'x)=1- x + 2 =x x2
,
令f'(x)=0,得x=1或x=a+1.……………………………………………………… 1分
当a+1≤0即a≤-1时:
x∈(0,1),f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
x∈(1,+∞),f'(x)>0,函数f(x)单调递增; ………………………………………… 2分
当0x∈(0,a+1),f'(x)>0,函数f(x)单调递增;
x∈(a+1,1),f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
x∈(1,+∞),f'(x)>0,函数f(x)单调递增; ………………………………………… 3分
当a+1=1即a=0时:
x∈(0,+∞),f'(x)≥0,函数f(x)单调递增; ………………………………………… 4分
当a+1>1即a>0时:
x∈(0,1),f'(x)>0,函数f(x)单调递增;
x∈(1,a+1),f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
x∈(a+1,+∞),f'(x)>0,函数f(x)单调递增;……………………………………… 5分
综上:当a≤-1时:单调递减区间有(0,1);单调递增区间有(1,+∞)
当-1当a=0时:单调递增区间有(0,+∞),无单调递减区间
当a>0时:单调递减区间有(1,a+1);单调递增区间有(0,1),(a+1,+∞)………… 6分
(2)当a=e2-1时,由(1)得函数f(x)在区间(1,e2)上单调递减,在区间(0,1),(e2,+∞)
上单调递增,从而函数f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(e2)=-e2-3. ……… 8分
即存在x2∈[1,+∞),使g(x )≤-e22 -3,
即存在x∈[1,+∞),使得ex+mx2-e2-3≤-e2-3
即 e
x ex
m≤- 2,令h(x)=- 2,x∈[1,+∞),则m≤h(x) ,………………………x x max
10分
ex(2-x)由h'(x)= 3 ,当x∈(1,2)时f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(2,+∞)时x f
'
2 2
(x)<0,函数f(x)单调递减,所以
e e
h(x) () ,max=h2 =- 所以4 m≤-
…………
4 12
分
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22.解:(1)
a 1 a x-a
h(x)=f(x)+g(x)=lnx+ ,x h'
(x)=x-x2
=
x2
所以x∈(0,a)时,h(x)<0,h(x)单调递减,x∈(a,+∞)时,h(x)>0,h(x)单调递增,
所以x=a 时,h(x)取最小值h(a)=lna+1 …………………………………………… 2分
又x→0,h(x)→+∞;x→+∞,h(x)→+∞
因为h(x)在(0,+∞)有两个不同的零点,所以h(a)=lna+1<0 …………………… 3分
所以 10( )
(2)F()
1 sinx-1
x = ( ( ))-f(x)= -lnx 在区间(0,1)上单调递减,gsinx-1 a
cos(即 () x-1
) 1
F'x = - ≤0在(0,1)上恒成立,……………………………………… 分a x 5
即a≥xcos(x-1)在(0,1)上恒成立. …………………………………………………… 6分
令φ(x)=xcos(x-1),φ'(x)=cos(x-1)-xsin(x-1),当x∈(0,1)时,
cos(x-1)>0,sin(x-1)<0所以φ(x)>0,即φ(x)在(0,1)上单调递增
所以当x∈(0,1)时φ(x)<φ(1)=1,所以a≥1………………………………………… 8分
(3)证明:由(2)知a=1时,F(x)=sin(x-1)-lnx>F(1)=0
所以sin(x-1)>lnx,即sin( )
1
1-x )………………………………… 10分
令 k 得 ( k ) 1 k+1x=k+1 sin1-1+k =sink+1所以 1 1 1 3sin +sin +…+sin n+1
2 3 n+1 2 +ln n
·34…n+1=ln2 =ln(n+1)23 n
n
即 1∑sink+1(n+1),n,k∈N*.…………………………………………………… 12分
k=1
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高三数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分。考试用时150分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,则
A. B. C. D.
2.已知复数满足,则
A. B. C. D.8
3.下列结论正确的是
A.若命题,则.
B.若,则“”是“”的必要不充分条件.
C.点在的终边上,则的一个充要条件是.
D..
4.已知函数,若函数在上有两个零点,则的取值范围是
A. B. C. D.
5.已知,则
A. B. C. D.
6.如图,此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法-商功》中,后人称为“三角为”.“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,.设第层有个球,从上往下层球的总数为,则
A. B.
C. D.
7.若函数使得数列为递增数列,则称函数为“数列保增函数”.已知函数为“数列保增函数”,则的取值范围为
A. B. C. D.
8.已知,下列说法正确的是
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知平面向量,则
A.若,则; B.若,则;
C.若与的夹角为锐角,则; D.的最小值为4.
10.下列结论正确的是
A.若且,则;
B.若,则的最小值为4;
C.函数的最小值为4;
D.已知各项均为正数的数列满足,则取最小值时,.
11.已知函数的部分图像如图所示,将该函数图象向右平移个单位后,再把所得曲线上点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,则下列选项中正确的有
A.
B.
C.是曲线的对称轴
D.直线是曲线的一条切线
12.在平面四边形中,的面积是面积的2倍,又数列满足,恒有,设的前项和为,则
A.为等比数列 B.为等差数列
C.为递增数列 D.
第II卷分
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知,若,则______,
14.在四边形中,,且,则的值为________.
15.设为数列的前项和,且,则_______.
16.已知函数在上单调递减,则的取值范围为________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知函数.
(1)当时,函数恒有意义,求实数的取值范围;
(2)是否存在这样的实数,使得函数在区间上为增函数,并且最大值为1 如果存在,试求出的值;如果不存在,请说明理由.
18.(12分)已知正项数列满足且.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前项的和.
19.(12分)已知函数为奇函数,且,其中,.函数.
(1)求的值
(2)求函数的单调递减区间;
20.(12分)已知中,、、所对边分别为、、,且.
(1)若,求的面积;
(2)若,求的周长.
21.(12分)已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)设,当时,对任意,存在,使,求实数的取值范围.
22.(12分)已知函数,其中.
(1)若在上有两个不同零点,求的取值范围.
(2)若在上单调递减,求的取值范围.
(3)证明:.