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5.4 三角函数的图象与性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性与奇偶性
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
注意点：
(1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立．
(2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期．
(3)满足条件：f(x＋a)＝－f(x)(a为常数且a≠0)的函数y＝f(x)是以2a为周期的周期函数．
(4)满足条件：f(x＋a)＝－(a为常数且a≠0)的函数y＝f(x)是以2a为周期的周期函数．
知识点二 正弦函数、余弦函数的周期性
由sin(x＋2kπ)＝sin x，cos(x＋2kπ)＝cos x(k∈Z)知y＝sin x与y＝cos x都是周期函数，2kπ (k∈Z且k≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.
注意点：
(1)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可．
(2)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期．
(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))(Aω≠0)是以为周期的周期函数．
知识点三 正弦、余弦函数的奇偶性
正弦曲线
余弦曲线
从函数图象看，正弦函数y＝sin x的图象关于原点对称，余弦函数y＝cos x的图象关于y轴对称；从诱导公式看，sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x均对一切x∈R恒成立，所以说，正弦函数是R上的奇函数，余弦函数是R上的偶函数．
注意点：
(1)判断函数的奇偶性必须优先考虑函数的定义域是否关于原点对称，正弦函数是R上的奇函数，余弦函数是R上的偶函数．
(2)不要思维定势，如果所给定义域不关于原点对称，正(余)弦函数不具备奇偶性．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是( )
答案：B
解析：由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.故选B.
2.函数y＝4sin(2x－π)的图象关于( )
A.x轴对称 B.原点对称 C.y轴对称 D.直线x＝对称
答案：B
解析：y＝4sin(2x－π)＝－4sin 2x是奇函数，其图象关于原点对称．
3.函数y＝sin的奇偶性是( )
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数也是偶函数
答案：B
解析：函数的定义域为R，关于原点对称，y＝sin＝sin＝cos ，故为偶函数．
4.函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，则φ的值可以是( )
A. B. C.π D.
答案：C
解析：要使函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，需φ＝kπ，k∈Z.故选C.
5.图象为如图的函数可能是( )
A.y＝x·cos x
B.y＝x·sin x
C.y＝x·|cos x|
D.y＝x·2x
答案：A
解析：根据图象可看到函数为奇函数，并且与x轴交点不止一个，而y＝x·sin x是偶函数，y＝x·2x非奇非偶，由此可排除B，D；当x＞0时，y＝x·|cos x|＞0，由此可排除C；故选A.
6.函数y＝f(x)＝xsin x的部分图象是( )
答案：A
解析：∵f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，∴函数是偶函数，排除B，D；当x取趋近于0的正数时，f(x)>0，故选A.
7.如果函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为( )
A.3 B.6 C.12 D.24
答案：B
解析：因为函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，所以T＝2×＝，由＝，解得ω＝6.
8.已知k∈Z，则“函数f(x)＝sin(2x＋θ)为偶函数”是“θ＝＋2kπ，k∈Z”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：B
解析：当f(x)＝sin(2x＋θ)为偶函数时，θ＝＋kπ，k∈Z；当θ＝＋2kπ，k∈Z时，f(x)＝sin＝cos 2x为偶函数；综上，“函数f(x)＝sin(2x＋θ)为偶函数”是“θ＝＋2kπ，k∈Z”的必要不充分条件．
9.设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f 的值等于( )
A.1 B. C.0 D.－
答案：B
解析：f ＝f ＝f ＝sin ＝.
10.已知函数f(x)＝sin ωx在上恰有4个零点，则正整数ω的值为( )
A.2或3 B.3或4 C.4或5 D.5或6
答案：C
解析：因为函数f(x)＝sin ωx在上恰有4个零点，所以×≤<2×，解得4≤ω<，所以正整数ω的值为4或5.
二、填空题
11.设函数f(x)＝x3cos x＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝________.
答案：－9
解析 令g(x)＝x3cos x，∴g(－x)＝(－x)3cos(－x)＝－x3cos x＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，又f(x)＝g(x)＋1，∴f(a)＝g(a)＋1＝11，g(a)＝10，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝－9.
12.奇函数f(x)满足f ＝f(x)，当x∈时，f(x)＝cos x，则f 的值为________．
答案：－
解析：∵f ＝f(x)，∴T＝，∴f ＝f ＝f ＝－f ＝－cos＝－cos ＝－.
13.已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(2 023)＝________.
答案：
解析：由题意得f(x＋6)＝＝f(x)，∴f(x)的周期为6，∴f(2 023)＝f(6×337＋1)＝f(1)＝.
14.关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下命题：①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；③存在φ，使f(x)是奇函数；④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．其中的假命题的序号是 ．
答案：①④
解析：易知②③成立，令φ＝，f(x)＝cos x是偶函数，①④都不成立．
15.设函数f(x)＝sin x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＝ .
答案：0
解析：∵f(x)＝sin x的周期T＝＝6.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)
＝335[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＋f(2014)＋f(2015)
＝335＋f(335×6＋1)＋f(335×6＋2)＋f(335×6＋3)＋f(335×6＋4)＋f(335×6＋5)
＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝sin ＋sin π＋sin π＋sin π＋sin π＝0.
三、解答题
解：
16.判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝sin；(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；(3)f(x)＝.
(4)f(x)＝sin；(5)f(x)＝lg(sin x＋)．
解：(1)显然x∈R，f(x)＝cos x，f(－x)＝cos＝cos x＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)由得－1∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z.
∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．
(4)函数的定义域为R，且f(x)＝sin＝sin＝cos 2x，
显然有f(－x)＝f(x)恒成立．
∴函数f(x)＝sin为偶函数．
(5)函数的定义域为R.
f(－x)＝lg(－sin x＋)＝lg＝－lg(sin x＋)＝－f(x)，
∴函数f(x)＝lg(sin x＋)为奇函数．
17.已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sin x，求当x∈时，f(x)的解析式．
解：x∈时，3π－x∈，
∵x∈时，f(x)＝1－sin x，∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x.
又∵f(x)是以π为周期的偶函数，∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
∴f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈.
18.判断函数f(x)＝ln(sin x＋)的奇偶性．
解：∵sin x＋≥sin x＋1≥0，
若两处等号同时取到，则sin x＝0且sin x＝－1矛盾，
∴对x∈R都有sin x＋>0.
∵f(－x)＝ln(－sin x＋)＝ln(－sin x)＝ln(＋sin x)－1
＝－ln(sin x＋)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
19.已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0)．
(1)求证：函数f(x)是周期函数；
(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．
(1)证明：∵f(x＋2)＝－，
∴f(x＋4)＝－＝－＝f(x)，
∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期，
(2)解：∵4是f(x)的一个周期．
∴f(5)＝f(1)＝－5，
∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝＝＝.
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5.4 三角函数的图象与性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性与奇偶性
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
注意点：
(1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立．
(2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期．
(3)满足条件：f(x＋a)＝－f(x)(a为常数且a≠0)的函数y＝f(x)是以2a为周期的周期函数．
(4)满足条件：f(x＋a)＝－(a为常数且a≠0)的函数y＝f(x)是以2a为周期的周期函数．
知识点二 正弦函数、余弦函数的周期性
由sin(x＋2kπ)＝sin x，cos(x＋2kπ)＝cos x(k∈Z)知y＝sin x与y＝cos x都是周期函数，2kπ (k∈Z且k≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.
注意点：
(1)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可．
(2)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期．
(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))(Aω≠0)是以为周期的周期函数．
知识点三 正弦、余弦函数的奇偶性
正弦曲线
余弦曲线
从函数图象看，正弦函数y＝sin x的图象关于原点对称，余弦函数y＝cos x的图象关于y轴对称；从诱导公式看，sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x均对一切x∈R恒成立，所以说，正弦函数是R上的奇函数，余弦函数是R上的偶函数．
注意点：
(1)判断函数的奇偶性必须优先考虑函数的定义域是否关于原点对称，正弦函数是R上的奇函数，余弦函数是R上的偶函数．
(2)不要思维定势，如果所给定义域不关于原点对称，正(余)弦函数不具备奇偶性．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是( )
2.函数y＝4sin(2x－π)的图象关于( )
A.x轴对称 B.原点对称 C.y轴对称 D.直线x＝对称
3.函数y＝sin的奇偶性是( )
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数也是偶函数
4.函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，则φ的值可以是( )
A. B. C.π D.
5.图象为如图的函数可能是( )
A.y＝x·cos x
B.y＝x·sin x
C.y＝x·|cos x|
D.y＝x·2x
6.函数y＝f(x)＝xsin x的部分图象是( )
7.如果函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为( )
A.3 B.6 C.12 D.24
8.已知k∈Z，则“函数f(x)＝sin(2x＋θ)为偶函数”是“θ＝＋2kπ，k∈Z”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f 的值等于( )
A.1 B. C.0 D.－
10.已知函数f(x)＝sin ωx在上恰有4个零点，则正整数ω的值为( )
A.2或3 B.3或4 C.4或5 D.5或6
二、填空题
11.设函数f(x)＝x3cos x＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝________.
12.奇函数f(x)满足f ＝f(x)，当x∈时，f(x)＝cos x，则f 的值为________．
13.已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(2 023)＝________.
14.关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下命题：①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；③存在φ，使f(x)是奇函数；④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．其中的假命题的序号是 ．
15.设函数f(x)＝sin x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＝ .
三、解答题
16.判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝sin；(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；(3)f(x)＝.
(4)f(x)＝sin；(5)f(x)＝lg(sin x＋)．
17.已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sin x，求当x∈时，f(x)的解析式．
18.判断函数f(x)＝ln(sin x＋)的奇偶性．
19.已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0)．
(1)求证：函数f(x)是周期函数；
(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．
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