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5.4 三角函数的图象与性质
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 正弦函数的图象
1.正弦曲线的定义
正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线．
2.正弦函数图象的画法
(1)几何法：
①利用单位圆上点T(x0，sin x0)画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象；
②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
(2)五点法：
①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接；
②将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
注意点：
(1)正弦函数的图象向左右是无限伸展的．
(2)正弦函数y＝sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，(k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同．
知识点二 余弦函数的图象
1.余弦曲线的定义
余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线．
2.余弦函数图象的画法
(1)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可，这是由于cos x＝sin.
(2)用“五点法”：画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．
注意点：
(1)余弦函数同正弦函数一样，图象向左右是无限伸展的．
(2)函数y＝sin x的图象向右平移个单位得到函数y＝cos x的图象．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.函数y＝－sin x，x∈的简图是( )
答案：D
2.在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象( )
A.重合 B.形状相同，位置不同 C.关于y轴对称 D.形状不同，位置不同
答案：B
解析：根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同．
3.不等式2sin x－1≥0，x∈[0,2π]的解集为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：因为2sin x－1≥0，所以sin x≥.在同一平面直角坐标系下，作出函数y＝sin x，x∈[0,2π]以及直线y＝的图象，如图，
由函数的图象知，sin ＝sin ＝.所以根据图象可知，sin x≥的解集为.
4.方程sin x＝的根的个数是( )
A.7 B.8 C.9 D.10
答案：A
解析：在同一坐标系内画出y＝和y＝sin x的图象如图所示：
根据图象可知方程有7个根．
5.在[0,2π]上，函数y＝的定义域是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：依题意得2sin x－≥0，即sin x≥.作出y＝sin x在[0,2π]上的图象及直线y＝，如图所示．由图象可知，满足sin x≥的x的取值范围是.
6.若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )
A.4 B.8 C.2π D.4π
答案：D
解析：作出函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象，函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分．利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又∵OA＝2，OC＝2π，∴S阴影部分＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.
7.函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大致图象为( )
答案：D
解析：由题意得y＝显然只有D合适．
8.如图所示，函数y＝cos x|tan x|(0≤x<且x≠)的图象是( )
答案：C
解析：当0≤x<时，y＝cos x·|tan x|＝sin x；当当π9.设0≤x≤2π，使sin x≥且cos x＜同时成立的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：因为0≤x≤2π，由正弦曲线得sin x≥时，x∈，由余弦曲线得cos x＜时，x∈，因为∩＝，所以使sin x≥且cos x＜同时成立的x的取值范围是.
10.(多选)下列在(0,2π)上的区间能使cos x>sin x成立的是( )
A. B. C. D.∪
答案：AC
解析：在同一平面直角坐标系中，画出正、余弦函数的图象，如图，在(0,2π)上，当cos x＝sin x时，x＝或x＝，结合图象可知满足cos x>sin x的是和.
二、填空题
11.函数f(x)＝lg sin x＋的定义域为 ；f(x)＝lg cos x＋的定义域为 .
答案：[－4，－π)∪(0，π) ∪∪
解析：f(x)＝lg sin x＋ 的x满足不等式组即作出y＝sin x的图象，如图所示．
结合图象可得定义域：x∈[－4，－π)∪(0，π)．
f(x)＝lg cos x＋的x满足不等式组，即作出y＝cos x的图象，如图所示．
结合图象可得定义域：x∈∪∪.
12.关于x的不等式答案：
解析：在同一坐标系下作出正弦函数y＝sin x在[0,2π]上的图象和直线y＝和y＝的图象，如图所示．
由图可知，在[0,2π]上，当13.方程x2－cos x＝0的实数解的个数是________，所有的实数解的和为________．
答案：2 0
解析：作出函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，由图象可知，两函数图象有两个交点，且两个交点关于y轴对称，故原方程有两个实数解，且两个实数解之和为0.
14.已知f(x)是定义在(0,3)上的函数，图象如图所示，则不等式f(x)cos x<0的解集是________．
答案：∪
解析：由题意知或可得或所以f(x)cos x<0的解集为∪.
15.已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝sin x＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为________．(用“＜”连接)
答案：a＜c＜b
解析：函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝sin x＋x的零点转化为y＝ex，y＝ln x，y＝sin x与y＝－x的图象的交点的横坐标，因为零点分别为a，b，c，在同一坐标系中画出y＝ex，y＝ln x，y＝sin x与y＝－x的图象如图，
可知a＜0，b＞0，c＝0，满足a＜c＜b.
三、解答题
16.用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0,2π]的简图．
解：(1)取值列表如下：
x 0 π π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
＋sin x －
(2)描点、连线，如图所示．
17.分别作出下列函数的图象．
(1)y＝|sin x|，x∈R；(2)y＝sin|x|，x∈R.
解：(1)y＝|sin x|＝ (k∈Z)．
其图象如图所示，
(2)y＝sin|x|＝
其图象如图所示，
18.求方程sin x＋2|sin x|－|log2x|＝0的解的个数．
解：由方程sin x＋2|sin x|－|log2x|＝0，得sin x＋2|sin x|＝|log2x|.
令f(x)＝sin x＋2|sin x|＝k∈Z，
g(x)＝|log2x|，
在同一平面直角坐标系内，作出f(x)＝sin x＋2|sin x|和g(x)＝|log2x|的图象，如图所示，易知f(x)与g(x)的图象有四个交点，故原方程有四个解．
19.讨论函数f(x)＝1＋cos x，x∈的图象与直线y＝t(t为常数)的交点个数.
解析 在同一个坐标系内作出f(x)＝1＋cos x，x∈的图象与直线y＝t的图象如图所示：
根据图象，进行判断：
当t>2时，函数f(x)＝1＋cos x，x∈与直线y＝t无交点；
当t＝2或t＝0或≤t≤2时，函数f(x)＝1＋cos x，x∈与直线y＝t有1个交点；
当0当t<0时，函数f(x)＝1＋cos x，x∈与直线y＝t无交点；
综上所述，当t>2或t<0时，函数f(x)＝1＋cos x，x∈与直线y＝t无交点；
当t＝2或t＝0或≤t≤2时，函数f(x)＝1＋cos x，x∈与直线y＝t有1个交点；
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5.4 三角函数的图象与性质
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
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知识点一 正弦函数的图象
1.正弦曲线的定义
正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线．
2.正弦函数图象的画法
(1)几何法：
①利用单位圆上点T(x0，sin x0)画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象；
②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
(2)五点法：
①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接；
②将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
注意点：
(1)正弦函数的图象向左右是无限伸展的．
(2)正弦函数y＝sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，(k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同．
知识点二 余弦函数的图象
1.余弦曲线的定义
余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线．
2.余弦函数图象的画法
(1)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可，这是由于cos x＝sin.
(2)用“五点法”：画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．
注意点：
(1)余弦函数同正弦函数一样，图象向左右是无限伸展的．
(2)函数y＝sin x的图象向右平移个单位得到函数y＝cos x的图象．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.函数y＝－sin x，x∈的简图是( )
2.在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象( )
A.重合 B.形状相同，位置不同 C.关于y轴对称 D.形状不同，位置不同
3.不等式2sin x－1≥0，x∈[0,2π]的解集为( )
A. B. C. D.
4.方程sin x＝的根的个数是( )
A.7 B.8 C.9 D.10
5.在[0,2π]上，函数y＝的定义域是( )
A. B. C. D.
6.若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )
A.4 B.8 C.2π D.4π
7.函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大致图象为( )
8.如图所示，函数y＝cos x|tan x|(0≤x<且x≠)的图象是( )
9.设0≤x≤2π，使sin x≥且cos x＜同时成立的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.(多选)下列在(0,2π)上的区间能使cos x>sin x成立的是( )
A. B. C. D.∪
二、填空题
11.函数f(x)＝lg sin x＋的定义域为 ；f(x)＝lg cos x＋的定义域为 .
12.关于x的不等式13.方程x2－cos x＝0的实数解的个数是________，所有的实数解的和为________．
14.已知f(x)是定义在(0,3)上的函数，图象如图所示，则不等式f(x)cos x<0的解集是________．
15.已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝sin x＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为________．(用“＜”连接)
三、解答题
16.用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0,2π]的简图．
17.分别作出下列函数的图象．
(1)y＝|sin x|，x∈R；(2)y＝sin|x|，x∈R.
18.求方程sin x＋2|sin x|－|log2x|＝0的解的个数．
19.讨论函数f(x)＝1＋cos x，x∈的图象与直线y＝t(t为常数)的交点个数.
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