高中数学必修第一册人教A版（2019）5.6 《函数y＝Asin（ωx＋φ）》课时1 教学设计

《函数y=Asin(ωx+φ)》教学设计
课时1参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响及图象变换
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响及图象变换 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 直观想象 数学抽象 数学运算 数学建模 【考查内容】 主要考查函数y=Asin(ωx+φ)图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题,常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查,考查数形结合思想的应用意识 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象画法及模型应用 直观想象 数学运算 逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容研究三角函数,以单位圆上的匀速圆周运动引入函数,它们是刻画周期变化现象的基本数学模型,但它们是“标准化”的结果,其中,都有特定的实际意义,本节内容从实际案例——筒车的运动入手,经过数学建模,获得函数;再通过对函数的研究获得其图象与性质等相关结论;最后利用这些结论可以研究生活中更广泛的周期变化规律.通过周期性函数模型的建立,与实际应用的联系,体现出函数的作用及重要性,加强数学与现实生活的联系.
本节内容包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响及图象变换 2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象画法及模型应用 数学抽象 数学运算 数学建模 直观想象 逻辑推理 核心素养
二、学情整体分析
对于三角函数,学生并不陌生,以单位圆上的匀速圆周运动引入函数y=sinx,y=cosx,它们是刻画周期变化现象的“标准化”的基本数学模型,学生已具备它们的图象与性质以及研究函数的方法经验,借助此经验将单位圆上的运动进行扩展,也就是函数模型y=Asin(ωx+φ),难度是不太大,是学生比较好接受和理解的.由于本节内容涉及多参数的函数图象,需要分析圆周运动、解析式变换与图象变换之间的多重关联,有较大认知难度,要注意引导学生观察、归纳、抽象,理解参数A,ω,φ对函数图象的影响；另外从实际生活抽象出数学模型,再从数学模型解决实际问题,这个建模过程中,需要学生将生活现象数学化,注意让学生自主探寻运动变化中的常量和变量,以便更好地理解每一个字母的实际意义.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响及图象变换
2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象画法及模型应用
【教学目标设计】
1.了解函数的现实背景,经历匀速圆周运动的数学建模过程,进一步体会三角函数与现实世界的密切联系,发展数学建模素养.
2.掌握参数对函数图象的影响,理解参数在圆周运动中的实际意义,发展数学抽象、逻辑推理与直观想象的素养.
3.理解从正弦曲线到函数图象的变换过程,能用“五点(作图)法”画函数的图象.
4.会运用函数的图象与性质解决简单的数学问题和实际问题.
【教学策略设计】
遵循从特殊到一般的推广需要,以生活情境引出研究课题,引导学生经历数学建模的全过程,教学中可借助信息技术直接呈现筒车运动的实际影像,观察运动中的相关要素,明确相关的常量和变量.结合函数的实际意义,从正弦函数出发,依次考查对函数图象的影响,最终整合为对函数的整体考查,研究过程同时结合实际应用案例,在学习函数的整体图象和性质时,也在加强每一个参数所代表的实际意义,强化数学模型的应用.由于本节内容涉及多参数的函数图象以及图象变换,需要重视融合信息技术,给学生直观的印象和感受,有助于学生更好地理解函数图象与函数解析式和质点运动的关联性.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.用函数模型来刻画一般的匀速圆周运动.
2.参数对函数图象的影响.
3.函数图象的变换过程.
难点:
1.数学建模的过程与方法.
2.函数的图象变换与其解析式变换的内在联系.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件______________________________________________________
2.其他材料:________________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:在自然界,生活和生产实际及科学技术中,周期现象俯拾皆是,我们学过的正弦函数,余弦函数都是周期函数,它们是刻画周期变化现象的基本数学模型,但它们是“标准化”的结果,如果将单位圆上的运动进行扩展,即是“一般的匀速圆周运动”,其扩充点有圆的半径、起点位置、角速度等,那么能否找到一个数学模型来刻画这些现象 这个数学模型就是函数,其中,都有特定的实际意义,本节内容将从实际案例——筒车的运动入手,经过数学建模,获得函数)的图象和性质,再利用函数去实际应用.同学们,本节课大家将会看到数学建模的完整过程,首先我们进入一个实际案例——筒车.
【设计意图】
以日常生活中的“周期现象”开篇,引出做“匀速圆周运动”的筒车,激发学生学习兴趣,也引出了数学建模核心思想.
教学精讲
探究1 匀速圆周运动的数学模型
师:同学们,筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中使用.
【情境设置】
匀速圆周运动的数学模型
师:假定在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒距离水面的相对高度与时间的关系吗 在这里,将盛水筒视为质点,同学们可以结合物理运动规律与我们学过的函数模型,思考一下用什么样的函数模型可以恰当的描述这种运动
【学生积极思考,分组讨论交流】
师:因为是做匀速圆周运动,所以筒车上的盛水筒具有什么性质
生:周期性
师:很好!具有周期性的函数有哪些
生:三角函数
师:对!所以可以考虑用三角函数模型来刻画它的运动规律.同学们接下来继续思考:与盛水筒运动相关的量都有哪些 哪些是常量 哪些是变量 它们之间又是怎样的关系
【设情境,巧激趣】
以“筒车”引出研究的内容,激发学生探求知识的兴趣,又结合物理相关“匀速圆周运动”知识,逐步深入,引出函数模型,培养和发展直观想象、数学建模的核心素养.
【猜想探究能力】
通过师生问答,逐步启发学生思考,建立对实际问题建立模型的思考连贯性,增强对周期性问题本质的认识,提升猜想探究能力.
【情境设置】
匀速圆周运动的数学模型
【学生积极思考,分组讨论交流】
师:我们可以先将筒车抽象成一个几何图形,设经过时间后,盛水筒从点运动到点,由筒车的工作原理可知,这个盛水筒距离水面的高度为,都有哪些量会影响它
生:筒车转轮的中心到水面的距离,筒车的半径,筒车转动的角速度.
师:很好!当然还有盛水筒初始位置和所经过的时间.下面我们分析这些量的相互关系.以为原点,以与水平面平行的直线为轴建立直角坐标系,设时,盛水筒位于,以为始边,为终边的角设为,经过后运动到点,于是以为始边,为终边的角可以怎样表示
生:为.
师:此时点的纵坐标呢
生:.
师:所以盛水筒距离水面的高度与时间的关系就可以被表示为什么
生:.
师:好的,同学们,如此一来,这个具有周期性的函数模型就被建立出来了,只要将它的性质研究清楚,就能把握盛水筒的运动规律,这个式子里面,哪些是常量 哪些是变量
生:是常量,是变量.
师:正确!由于是常量,而又是连在一起的,所以我们只研究这个函数就可以了.
【情境学习】
由实际问题引发思考,将实际图示抽象为函数模型示意图,创建三角函数模型的设定情境.
【少教精教】
教师以问题引出探究的内容,以问题带动研究节奏,也让学生体会到思考的前提与结论,经过对所需参量的表示与明确,最终得到恰当的关系式.
探究2 探索对图象的影响
师:通过筒车这个实际案例,我们利用三角函数的知识建立了一个形如的函数,在这里令为自变量,为变量.这个函数由参数所确定,因此,只要了解了这些参数的意义,知道了它们的变化对函数图象的影响,就能把握住这个函数的性质.同学们,凭第一直觉,这个函数,它和哪个函数比较相像
生:正弦函数.
师:没错,而正弦函数恰就是函数在时的特殊情形.能否借助熟悉的正弦函数的图象与性质研究参数对函数的影响 如果可以的话,这里有三个参数,我们应该按照怎样的思路进行研究
生:可以采用控制变量法.
师:很好!有三个参数,我们可以先研究对函数的影响,因为的变化涉及函数图象的平移变换,同学们有一定的学习经验,那需要把剩下的两个变量都设为1,设动点在单位圆上以单位角速度按逆时针方向运动.
【情境设置】
探索对图象的影响
【推测解释能力】
通过对模型的分析,逐步明确研究的方向和范围,掌握研究函数的方法,即分步分析各个参数对函数的影响,提升推测解释能力.
【情境学习】
学生在教师创建的函数模型下,即单位圆以及匀速圆周运动,在具体问题情境中思考其中特定点的运动规律.
师:显然,如果动点以为起点,此时,经过后运动到点,那么点的纵坐标就等于,以为坐标描点,就可以得到的图象.
在单位圆上拖动起点,使点绕点旋转到,你发现图象有什么变化
生:当起点位于时,,可得函数的图象.
师:由此我们知道,在单位圆上,设两个动点分别以为起点同时开始运动,如果以为起点的动点到达圆周上点的时间为,以为起点的动点相继到达点的时间就为.这个规律反映如果是函数图象上任一点,那么点就是函数图象上的点,在这里,同学们注意,点的横坐标是,所以把点整体代入到上,得到的还是和的关系是不变的,图象的形状是不改变的,由此也可以验证点就是函数图象上的点.接下来,点的讨论扩展到整个函数图象上,可以总结出什么变化过程
生:把正弦函数上的所有点向左平移个单位长度,就得到了的图象.
师:很好!同样的道理,如果使点绕点旋转,或者旋转一个任意角呢
【学生积极思考,分组交流讨论】
生1:如果是旋转,也就是点在函数,把正弦函数上的所有点向右平移个单位长度,就得到了的图象.
生2:如果是旋转,也就是点在函数上,把正弦函数上的所有点向左平移个单位长度,就得到了的图象.
生3:如果是旋转,也就是点在函数上,把正弦函数上的所有点向右平移个单位长度,就得到了的图象.
师:很好!如果是旋转任意角度的话,对应的函数是,其中,也就是把正弦曲线上的所有点进行左右平移.当时向左平移个单位长度;当时向右平移个单位长度,就可以得到的图象了,变换过程中纵坐标保持不变.
【要点知识】
对图象的影响
【自主学习】
学生在教师的阐述下,自主思考,再不断理解点的运动规律,从而自主总结得到正弦函数上所有点的平移规律,即图象的平移变换的结论,增强自主思考能力.
【概括理解能力】
学生不断理解记忆教师阐述的平移变换规律,独立把改变数值的平移变换进行说明,归纳总结,熟练掌握,提升概括理解能力.
师:简单来说,对图象的影响就是图象的左右平移,由以上探究过程,同学们是否可以体会到图象平移的本质 图象平移实质上是图象上任意一点的平移,而点的平移实质上又是点的坐标的一种变换,坐标的变换最终又会反映在函数解析式的变化上.所以今后同学们涉及研究函数图象变换的问题时,不妨先去分析其中任意一点,由点的坐标的变换看是否能得到函数解析式的变化.
在这里,我们可以多角度理解,结合物理意义,代表什么
生:是初相.
师:所以看函数图象上的点与函数图象上的点之间的关系,实质上是质点运动的位置与时间之间的内在联系,这种关系的代数表达就是坐标变换公式.
【以学论教】
教师在和学生共同推导得出对图象的影响之后,将与物理知识进行联系,以学生的理解为中心,启发学生多角度思考,加深对的实际意义的理解,发展学生直观想象等核心素养.
探究3 探索对图象的影响
师:接下来角速度会对函数有怎样的影响呢 注意在这里,同样地,我们还是设圆的半径,为了研究方便,不妨令,当时得到的是的图象.
【情境设置】
对图象的影响
师:取时得到的是的图象.在这里怎样理解对函数的影响呢 我们还是在单位圆上,以点做一个参照点,设以为起点的动点,当时到达点的时间为,当时到达点的时间为,因为时动点的转速是时的2倍,所以.这样,设点是函数图象上一点,那么点就是函数图象上的相应点.这可以说明转速的变化可以影响函数图象的什么要素
生:说明当时,也就是把函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到的图象.
师:很好!而在三角函数里,用周期怎么描述这个变化过程呢
生:说明当时,也就是把函数的周期缩小到原来的倍,函数的周期为,函数的周期为.
师:很好!同理,当时,动点的转速是时的,还同样以为起点,到达点的时间是时的2倍.这样,也就是把函数图象上的所有点的横坐标都扩大为原来的2倍,就得到了函数的图象,的周期是,是的2倍.为了熟悉这个变化过程,接下来请同学们自主思考,如果当时的图象变换过程.
【学生独立思考,独立完成,教师总结】
生:当时,也就是把函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到的图象,周期也缩小到原来的,得到周期为.
生:当时,也就是把函数的图象上的所有点的横坐标扩大到原来的3倍,纵坐标不变,得到的图象,周期也扩大到原来的3倍,得到周期为.
师:非常好!可以总结得到:函数的周期是,把图象上的所有点的横坐标进行伸缩变换.当时,表示图象缩短到原来的;当时,表示图象伸长到原来的倍,最终得到的图象,变换过程中纵坐标保持不变.
【猜想探究能力】
教师将研究内容难度降级,说明现象,启发学生分析总结内在规律,自主探究出对图象的影响,加深学生印象,培养猜想探究能力.
【自主学习】
教师让学生自主探究时的图象变换过程,巩固所学知识,提高学生的自主学习能力.
【概括理解能力】
学生不断理解、记忆教师阐述的横坐标伸缩变换规律,独立把改变数值的伸缩变换进行说明,归纳总结,熟练掌握,提升概括理解能力.
【要点知识】
对图象的影响
【观察记忆能力】
通过改变ω,观察图象的变化,得出ω对函数图象的影响,提升学生观察记忆能力.
探究4 探索对图象的影响
师:同学们,以上探索的两个参数都是对于横坐标产生的影响,使得图象左右平移,使得横坐标进行伸缩变换.还有最后一个参数,为了研究方便,不妨令,当时,可得的图象.然后取,看图象如何变化,并把图象画在和同一坐标系下.这部分内容交给同学们自主研究完成,分成两组,限时讨论,时间到后请同学分享自己组内的思路和图象.
【活动学习】
学生在教师的启发下,分组学习,思考在和下的图象,在小组活动中加深对知识的理解,也增强自主探究意识和能力.
【情境设置】
对图象的影响
【学生积极思考,分组讨论交流,教师巡视并予以指导】
第一组学生:当时,得到的是函数的图象,建立在模型上,可以画一个以为圆心,2为半径的圆,设射线与大圆交于,如果单位圆上以为起点的动点,以的转速经过后到达圆周上点,那么点的纵坐标就是,相应地,点经过相同的时间到达点,点的纵坐标就是.这说明把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,就得到的图象.
师:很好!如果设是函数上任意一点,那么横坐标相同,纵坐标为2倍关系的点就在上.这个变化过程是纵坐标伸长,横坐标不变.
第二组学生:当时,得到的是函数的图象,建立在模型上,可以画一个以为圆心,为半径的圆,设是函数上任意一点,那么横坐标相同,纵坐标为关系的点就在上.这个变化过程是纵坐标缩短,横坐标不变.
【深度学习】
学生在具体的问题情境下,通过合作、交流,将结果完整的说明论证出来,思考推导A(A>0)对图象的影响,加深印象,达到深度学习的效果.
师:很好!同学们完成得都非常好!基本上是在模型基础上,把参数A对函数影响的过程阐述清楚了.如果还是以函数为基础,任意给定或,这个变换过程是不是都很清晰了
生1:当时,把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变,就得到的图象了.
生2:当时,把图象上所有点的纵坐标缩短到原来的,横坐标不变,就得到的图象了.
师:好的!那我们总结一下参数对函数图象的影响:把图象上的所有点的纵坐标进行伸缩变换.当时,表示图象伸长到原来的倍;当时,表示图象缩短到原来的倍,最终得到的图象,变换过程中横坐标保持不变.
【要点知识】
对图象的影响
【概括理解能力】
根据横坐标的平移和伸缩变换,学生不断理解纵坐标伸缩变换规律,把改变数值的伸缩变换进行说明,归纳总结,熟练掌握,提升概括理解能力.
师:图象的变换可以体现在点的变换上,而研究点的变换要着眼于点的坐标变换上,和的作用都是使函数图象的坐标大小发生变化,谓之伸缩变换,从而可以得到函数解析式的变化.结合物理学知识,和各自称做什么
生:和周期有关,代表振幅.
师:对,,周期和自变量时间有关,所以影响的是横坐标的大小,但是因为和是反比关系,所以的大小和横坐标的伸缩变化是相反的;代表振幅,所以影响的是纵坐标的大小.同学们在三角函数这一部分,可以多和物理的知识进行联系,也可以和之前学过的初等函数进行联系,多角度探究函数的图象和性质,及其内在联系.
【以学论教】
教师在和学生共同推导得出对图象的影响之后,将参数与物理知识进行联系,以学生的理解为中心,启发学生多角度思考,加深对参数的实际意义的理解,发展学生数学建模等核心素养.
探究5 探索函数图象变换过程
师:通过以上实验探究参数三个参数对于函数图象的影响,现在我们可以综合以上内容,总结提炼出图象变换规律,进而说明由正弦函数的图象通过图象变换得到图象的过程与方法:那也就是从正弦曲线出发,先进行相位变换,再进行周期变换,然后进行振幅变换,我们现在将这一过程步骤通过图象表现出来,以函数的图象为例.请两位同学到黑板上补全图象,其余同学在课本上完成画图.
【指定学生在黑板上完成作图,教师巡视检查学生的完成情况】
师:通过观察同学们刚才的作图过程,大家都完成得很好!一般地,函数的图象,可以用以下方法得到:先画出函数的图象,再把正弦曲线向左或向右平移个单位长度,可以记住“左加右减”,得到函数的图象;然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍,得到函数的图象;最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的倍,这时的曲线就是函数的图象.
师:从上述步骤可以清楚地看到,参数是如何对函数图象产生影响的.但是这个作图过程不唯一,也可以是先进行周期变换,再进行相位变换,然后再进行振幅变换.还可以是先进行周期变换,再进行振幅变换,然后再进行相位变换.
【归纳总结】
由函数的图象得到函数图象的途径
【说明论证能力】
学生通过作图说明论证整个图象的变换过程,整合三个参数对函数的影响,培养说明论证能力.
【先学后教】
教师与学生共同研究总结出三个参数对函数的影响之后,再综合三种变换,总结出三种变换过程,先学后教,提升数学建模、直观想象素养.
师:最终得到的结果是一致的,第一个式子就是我们已经联系过很多的“先相位,后周期,最后振幅”,后两个式子,请同学结合图象变换过程具体阐述一下.
生1:把函数的图象上各点的横坐标变为原来的,得到函数的图象;再向左平移个单位长度,得到函数的图象;最后把曲线各点的纵坐标变为原来的2倍,这时的曲线就是函数的图象.
师:很好,阐述的过程很清晰,但是同学们思考一下,刚刚这位同学说的结果有没有问题 关键是第二步向左平移,应该平移多少个单位长度呢
生2:应该平移的是个单位长度.因为第一步已经把横坐标缩短了,平移的是,而不是,所以平移的长度也要相应缩短为.
师:非常好!用解析式表示为的图象再向左平移个单位长度,得到函数的图象,也就是函数的图象.大家一定要注意区分清楚这里的不同,图象变换步骤变了,里面相应的细节也要注意到!还有第三个式子的变换过程,请同学说一下:
生3:把函数的图象上各点的横坐标变为原来的,得到函数的图象;再把曲线各点的纵坐标变为原来的2倍,得到函数的图象;最后向左平移个单位长度,这时的曲线就是函数的图象.
师:非常好,过程完整清晰,平移的单位长度也注意到了.只要左右平移这一步在横坐标伸缩这一步后面,我们在说明的时候,就一定要把平移的长度也做好相应的伸缩,注意先平移和先伸缩作图时平移的量不一样.一般做题来看,主要考查的也就是“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”这两种变换步骤,具体总结一下这部分知识.
【教学预设,效果生成】
“先伸缩,后平移”的图象变换过程属于一个易错点,教师有意请学生先回答,是为了引出错误结论,从而增强学生对这一部分知识的深刻印象,加深理解与体会.
【重点知识】
由函数的图象得到函数图象的途径
1.先平移后伸缩
的图象的图象的图象的图象.
2.先伸缩后平移
的图象的图象的图象的图象.
师:一般地,函数的图象,可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(时)或缩短时)到原来的倍(横坐标不变)而得到.从而函数的值域是,最大值是,最小值是.接下来,我们通过几个小问题,巩固一下所学知识.
【说明论证能力】
让学生完成函数的图象得到函数图象变换过程的说明论证,增强对函数图象变换的过程与方法的理解,灵活掌握,提升说明论证能力.
【分析计算能力】
由学生自己练习题目,根据三个参数对函数图象的影响,解决图象变换的问题,自主思考、分析,培养分析计算能力.
【巩固练习】
函数模型的图象变换过程
1.函数的图象与正弦曲线有什么关系
2.函数的图象与正弦曲线有什么关系
师:以上图象变换过程请同学回答一下:
生:先将正弦曲线上所有的点向右平行移动个单位长度,再在纵坐标保持不变的情况下将各点的横坐标伸长到原来的2倍,最后在横坐标保持不变的情况下将各点的纵坐标缩短到原来的,就可得到函数的图象.
生:把正弦曲线在区间的部分向左平行移动个单位长度,就可得到函数的图象.
【自主学习】
学生在充分理解相关知识、方法的基础上,独立完成课堂练习,当即巩固,加深对函数图象变换的过程与方法的理解,增强自主学习意识.
师:好的,同学们,接下来,我们把本节内容进行一下要点总结.
【课堂小结】
参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响及图象变换
【设计意图】
通过学习对函数图象的影响的教学内容,利用了设情境巧激趣、少教精教、先学后教、以学论教、教学预设效果生成的教学策略和深度学习、情境学习、活动学习、自主学习的学习策略,培养了学生的说明论证能力、概括理解能力、分析计算能力、猜想探究能力等学科能力,提升了学生的直观想象、数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养.
教学评价
通过本节课的学习,理解对函数的影响,掌握函数图象变换的方法、用“五点法”作函数图象的步骤,了解函数图象的性质,能够利用三角函数模型解决实际应用问题.
【设计意图】
教师引导学生思考,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,锻炼自己的学科能力(说明论证、概括理解、分析计算、推测解释、简单问题解决、综合问题解决),从而达到直观想象、数学运算、逻辑推理、数学建模的素养目标要求.
应用所学知识,完成下面各题:
1.(多项选择题)有四种变换:其中能使的图象变为的图象的是( )
A.向左平移个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的
B.向左平移个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的
C.各点横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度
D.各点横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度
解析:由的图象变为的图象有两种变换方式,第一种:先平移,后伸缩,向左平移个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的;第二种:先伸缩,后平移,各点横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度.
【推测解释能力】
练习1通过具体数值,结合图象变换的规律和方法,培养学生推测解释能力,提升直观想象、逻辑推理核心素养.
答案:
2.函数为常数,的部分图象如图所示,则__________.
解析:由图象可得,周期为,所以,将代入得,即,所以.
答案:
【分析计算能力】
练习2通过具体图象回推函数的参数,进而求值,应用数形结合思想,培养学生分析计算能力,提升直观想象、数学运算、逻辑推理核心素养.
3.已知函数.
(1)请用“五点法”画出函数在一个周期的闭区间上的简图.
(2)求函数的单调递增区间.
(3)是由经过怎样变换得到
解析:(1)列表如下:
0
0 1 0 -1 0
描点连线,图象如图所示.
(2)令,解得,所以函数的单调递增区间是.
(3)先将的图象向右平移个单位长度,再将所得函数图象的横坐标缩短为原来的,即可得到的图象.
【简单问题解决能力】
练习3通过“五点法”画图,进而通过图象描述变换过程,利用函数的性质得到单调性.主要培养学生简单问题解决能力,提升数学运算、逻辑推理、数学建模核心素养.
4.已知函数在一个周期内的图象如图所示.
(1)求函数的解析式.
(2)求方程的解的个数.
解析:(1)由题图,知,由函数图象过点,得,即,又,所以.易知点是五点作图法中的第五点,所以,所以.因此所求函数的解析式为.
(2)在同一平面直角坐标系中作函数和函数的图象如图所示.
因为的最大值为2,令,得,令,得.而,且,所以在区间内有31个形如的区间.
在每个区间上与的图象都有两个交点,故这两个函数的图象在上有(个)交点.另外两函数的图象在上还有一个交点,所以方程共有63个实数解.
【综合问题解决能力】
练习4属于应用函数的图象及性质解决综合问题,数形结合,主要培养综合问题解决能力,提升数学运算、逻辑推理、直观想象核心素养.
教学反思
本节课内容分为2课时,主要学习内容是函数的图象与性质,以及三角函数模型在数学问题、实际问题上的应用.本节教学设计结合筒车的圆周运动研究函数,联系实际,突出参数的物理意义,而且联系函数解析式、函数得图象,并充分揭示它们之间的内在逻辑关系.由于本节的教学重点即是用函数模型来刻画一般的匀速圆周运动的建模过程、参数对函数图象的影响,以及函数图象的变换过程,在教学中要注重多角度引发学生的思考,启发学生自主思考.
【以学定教】
教师要让学生理解并掌握参数函数对函数的影响,图象变换过程,并能在不同的具体情境中合理应用三角函数模型,可以利用图象性质综合解决一些问题.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出在教学过程中要多角度引发学生的思考.
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