高中数学必修第一册人教A版（2019）5.6 《函数y＝Asin（ωx＋φ）》课时2 教学设计

《函数y=Asin(ωx+φ)》教学设计
课时2函数y=Asin(ωx+φ)的图象画法及模型应用
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响及图象变换 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 直观想象 数学抽象 数学运算 数学建模 【考查内容】 主要考查函数y=Asin(ωx+φ)图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题,常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查,考查数形结合思想的应用意识 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象画法及模型应用 直观想象 数学运算 逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容研究三角函数,以单位圆上的匀速圆周运动引入函数,它们是刻画周期变化现象的基本数学模型,但它们是“标准化”的结果,其中,都有特定的实际意义,本节内容从实际案例——筒车的运动入手,经过数学建模,获得函数;再通过对函数的研究获得其图象与性质等相关结论;最后利用这些结论可以研究生活中更广泛的周期变化规律.通过周期性函数模型的建立,与实际应用的联系,体现出函数的作用及重要性,加强数学与现实生活的联系.
本节内容包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响及图象变换 2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象画法及模型应用 数学抽象 数学运算 数学建模 直观想象 逻辑推理 核心素养
二、学情整体分析
对于三角函数,学生并不陌生,以单位圆上的匀速圆周运动引入函数y=sinx,y=cosx,它们是刻画周期变化现象的“标准化”的基本数学模型,学生已具备它们的图象与性质以及研究函数的方法经验,借助此经验将单位圆上的运动进行扩展,也就是函数模型y=Asin(ωx+φ),难度是不太大,是学生比较好接受和理解的.由于本节内容涉及多参数的函数图象,需要分析圆周运动、解析式变换与图象变换之间的多重关联,有较大认知难度,要注意引导学生观察、归纳、抽象,理解参数A,ω,φ对函数图象的影响；另外从实际生活抽象出数学模型,再从数学模型解决实际问题,这个建模过程中,需要学生将生活现象数学化,注意让学生自主探寻运动变化中的常量和变量,以便更好地理解每一个字母的实际意义.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响及图象变换
2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象画法及模型应用
【教学目标设计】
1.了解函数的现实背景,经历匀速圆周运动的数学建模过程,进一步体会三角函数与现实世界的密切联系,发展数学建模素养.
2.掌握参数对函数图象的影响,理解参数在圆周运动中的实际意义,发展数学抽象、逻辑推理与直观想象的素养.
3.理解从正弦曲线到函数图象的变换过程,能用“五点(作图)法”画函数的图象.
4.会运用函数的图象与性质解决简单的数学问题和实际问题.
【教学策略设计】
遵循从特殊到一般的推广需要,以生活情境引出研究课题,引导学生经历数学建模的全过程,教学中可借助信息技术直接呈现筒车运动的实际影像,观察运动中的相关要素,明确相关的常量和变量.结合函数的实际意义,从正弦函数出发,依次考查对函数图象的影响,最终整合为对函数的整体考查,研究过程同时结合实际应用案例,在学习函数的整体图象和性质时,也在加强每一个参数所代表的实际意义,强化数学模型的应用.由于本节内容涉及多参数的函数图象以及图象变换,需要重视融合信息技术,给学生直观的印象和感受,有助于学生更好地理解函数图象与函数解析式和质点运动的关联性.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.用函数模型来刻画一般的匀速圆周运动.
2.参数对函数图象的影响.
3.函数图象的变换过程.
难点:
1.数学建模的过程与方法.
2.函数的图象变换与其解析式变换的内在联系.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件______________________________________________________
2.其他材料:________________________________________________________________
四、教学活动设计
教学精讲
师:函数是刻画匀速圆周运动的重要数学模型,把握了对函数图象的影响,就能把握函数的性质,进一步把握现实世界中圆周运动的规律.首先我们来看下例1.
【典型例题】
画函数图象
例1 画出函数的简图.
师:由前面所学内容,我们知道了图象变换规律,在这里可以从正弦曲线出发,通过变换方法完成作图,请同学说明一下具体过程.
【以学定教】
教师利用具体问题,由已学得的图象变换规律,提出新的方法应用,利用图象变换也可以完成作图,加深学生对知识和方法的理解.
生:先画出函数的图象;再把正弦曲线向右平移个单位长度,得到函数的图象;然后使曲线上各点的横坐标变为原来的,得到函数的图象;最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍,这时的曲线就是函数的图象,如图所示.
【典例解析】
利用图象变化画函数图象
师:很好!除了采用图象变换作图以外,还有什么办法 联系之前学过的三角函数的图象和性质一节,是不是还可以用“五点法”作图 请同学具体描绘一下是哪五点
生:.
师:很好!用“五点法”画函数在一个周期内的图象,令,则结果.再依次令,可得相对应值,注意其函数最大值为2,最小值为.
【典例解析】
画函数图象
下面用“五点法”画函数在一个周期内的图象.
令,则.列表,描点画图.
0
0 2 0 -2 0
【分析计算能力】
学生在具体问题中,回顾“五点法”作图,通过计算练习,完成图象,提高分析计算能力.
【推测解释能力】
结合所学的“五点法”作图,与图象变换方法进行联系,加深学生对三角函数图象的理解与掌握,培养推测解释能力.
师:好的,同学们,通过上述内容,大家要会用两种方法作图,一种是图象变换,一种是“五点法”,分析一个函数,了解了它的图象之后,再就是分析其性质,一般地,性质可以从如下几个方面研究:定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等,从图象上我们也可以总结得到函数的如下性质.
【要点知识】
函数性质
定义域
值域
周期
奇偶性 当时为奇函数
当时为偶函数
当时为非奇非偶函数
图象的 对称轴 直线 求法:令可求
图象的 对称中心 对称中心: 求法:令可求
单调性 令可求单调递增区间
令可求单调递减区间
【意义学习】
教师引导学生回顾函数的研究方法,和前边学过的三角函数的图象和性质进行联系,对其中重点内容作分析、总结,加深对函数性质的理解,形成前后知识的联系.
师:同学们,接下来我们会利用三角函数模型解决一道实际问题.
【典型例题】
函数模型的实际应用
例2 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色,如图,某摩天轮最高点距离地面高度为,转盘直径为,设置有48个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一周大约需要.
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱,开始转动后距离地面的高度为,求在转动一周的过程中,关于的函数解析式.
(2)求游客甲在开始转动后距离地面的高度.
(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里,在运行一周的过程中,求两人距离地面的高度差(单位:)关于的函数解析式,并求高度差的最大值(精确到).
【情境学习】
学生在实际问题情境下,结合教师的启发与自己的生活经验,自主探究思考,有助于形成思考探究的学习意识,在实际生活情境中可以更深入地理解三角函数模型.
师:摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转.在旋转过程中,游客距离地面的高度呈现周而复始的变化,因此可以考虑用三角函数来刻画.
对于这道问题,可以建立如下模型,设座舱距离地面最近的位置为,以轴心为原点,与地面平行地直线为轴建立直角坐标系.
【分析计算能力】
通过教师讲授例题的解题思路,根据课堂学习效果,学生解答题目,提升分析计算能力.
【典例解析】
函数模型的实际应用
师:建立函数模型,因为当时,游客甲位于点,所以,以为终边的角为,所以,根据摩天轮转一周约需要,可知座舱转动的角速度约为,最后因为轴心距离地面高度为65,所以要表示摩天轮上任一点距离地面的高度,还需加65.故函数解析式可写为.注意时间的限制.由此,第二问是不是直接代入数值可求得
【整体设计,分步落实】
教师首先把问题需要研究的情境条件设定好,逐步引导思考,逐步提出问题,学生结合具体问题可以自主思考,逐步实现将实际问题数学化,灵活应用三角函数模型.
生:当时,.所以,游客甲在开始转动后距离地面的高度约为.
师:很好！第三问需要大家深度思考一下:我们可以把相邻两个座舱里的甲、乙两人的位置分别用点表示,要求甲、乙两人高度差的最大值,需要先把两人的高度用解析式表示出来,请同学回答:
生经过后,甲距离地面的高度为.
师:好的,又因为一共48个座位,所以每相邻两个座位夹角为,即,所以乙的高度怎么表示
生经过后,乙距离地面的高度为.
师:则甲、乙距离地面的高度差
,
怎么化简这个式子呢 结合前面所学的三角恒等变换,和差化积公式,
生:利用,可得
当(或),即(或)时,的最大值为.
所以,甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为.
【综合问题解决能力】
学生将实际问题数学化,应用三角函数模型解决匀速圆周运动,其间需要灵活调用三角函数解析式以及图象和性质解决问题,数形结合,培养学生的综合问题解决能力.
师:同学们,通过这道综合题目,可以巩固数学建模的过程与方法,注意和最开始的筒车相联系,其中本题第三问,求函数的最值,需要三角恒等变换等知识的综合应用,大家要进一步体会转化的思想.接下来,我们做一下课堂练习.
【巩固练习】
函数的图象画法以及模型应用
1.画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图,并用信息技术检验:
(1).(2).(3).(4).
2.如图,一个水轮的半径为,水轮圆心距离水面,已知水轮每分钟转动5圈,如果水轮上点从水中浮现时(图中点)开始计算时间.
(1)将点距离水面的高度2(单位:)表示为时间(单位:)的函数.
(2)点第一次到达最高点需要多长时间
【学生积极练习,教师巡视检查、批改】
师:好的,同学们,第一题的图象看到大家都画好了,画图可以用函数图象变换也可以用“五点法”,大家看下黑板,和自己的答案进行订正.
【巩固练习】
函数的图象画法以及模型应用
1.解:
2.解:(1)如图所示建立直角坐标系,设角是以为始边,为终边的角.每秒所转过的角,则在时间内所转过的角为.
由题意可知水轮逆时针转动,
得.当时,,得,即.故所求的函数关系式为.
(2)令,得,令,得4,故点第一次到达最高点需要.
【深度学习】
学生在教师的启发下,完成一次完整的数学建模过程,本例题恰与开篇“筒车”案例呼应,使学生熟悉数学建模的原理与过程,进一步体会转化的数学思想,强化掌握,活学活用.
【以学定教】
教师让学生独立练习,目的使学生建立对知识,方法,题型的全面认识,以学生的理解为中心,加深学生对函数的图象、性质以及应用的理解和掌握.
【分析计算能力】
通过充分的题目练习,加深学生对函数的图象与性质的掌握,培养分析计算能力.
师:同学们完成得都很好！接下来我们再把本节课的要点梳理回顾一下.
【课堂小结】
函数的图象画法及模型应用
1.用“五点法”作函数图象的步骤
第一步:列表.
第二步:在同一坐标系中描出各点.
第三步:用光滑曲线连接这些点,得到一个周期内的图象.
2.解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行,根据实际问题的意义,得出实际问题的解.
【设计意图】
通过学习“五点法”作函数的图象、函数的性质及简单应用,利用了先学后教、以学定教、整体设计分步落实的教学策略和深度学习、情境学习、意义学习策略,培养了学生分析计算能力、推测解释能力、综合问题解决能力,提升了学生的数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养.
教学评价
通过本节课的学习,理解对函数的影响,掌握函数图象变换的方法、用“五点法”作函数图象的步骤,了解函数图象的性质,能够利用三角函数模型解决实际应用问题.
【设计意图】
教师引导学生思考,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,锻炼自己的学科能力(说明论证、概括理解、分析计算、推测解释、简单问题解决、综合问题解决),从而达到直观想象、数学运算、逻辑推理、数学建模的素养目标要求.
应用所学知识,完成下面各题:
1.(多项选择题)有四种变换:其中能使的图象变为的图象的是( )
A.向左平移个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的
B.向左平移个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的
C.各点横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度
D.各点横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度
解析:由的图象变为的图象有两种变换方式,第一种:先平移,后伸缩,向左平移个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的;第二种:先伸缩,后平移,各点横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度.
【推测解释能力】
练习1通过具体数值,结合图象变换的规律和方法,培养学生推测解释能力,提升直观想象、逻辑推理核心素养.
答案:
2.函数为常数,的部分图象如图所示,则__________.
解析:由图象可得,周期为,所以,将代入得,即,所以.
答案:
【分析计算能力】
练习2通过具体图象回推函数的参数,进而求值,应用数形结合思想,培养学生分析计算能力,提升直观想象、数学运算、逻辑推理核心素养.
3.已知函数.
(1)请用“五点法”画出函数在一个周期的闭区间上的简图.
(2)求函数的单调递增区间.
(3)是由经过怎样变换得到
解析:(1)列表如下:
0
0 1 0 -1 0
描点连线,图象如图所示.
(2)令,解得,所以函数的单调递增区间是.
(3)先将的图象向右平移个单位长度,再将所得函数图象的横坐标缩短为原来的,即可得到的图象.
【简单问题解决能力】
练习3通过“五点法”画图,进而通过图象描述变换过程,利用函数的性质得到单调性.主要培养学生简单问题解决能力,提升数学运算、逻辑推理、数学建模核心素养.
4.已知函数在一个周期内的图象如图所示.
(1)求函数的解析式.
(2)求方程的解的个数.
解析:(1)由题图,知,由函数图象过点,得,即,又,所以.易知点是五点作图法中的第五点,所以,所以.因此所求函数的解析式为.
(2)在同一平面直角坐标系中作函数和函数的图象如图所示.
因为的最大值为2,令,得,令,得.而,且,所以在区间内有31个形如的区间.
在每个区间上与的图象都有两个交点,故这两个函数的图象在上有(个)交点.另外两函数的图象在上还有一个交点,所以方程共有63个实数解.
【综合问题解决能力】
练习4属于应用函数的图象及性质解决综合问题,数形结合,主要培养综合问题解决能力,提升数学运算、逻辑推理、直观想象核心素养.
教学反思
本节课内容分为2课时,主要学习内容是函数的图象与性质,以及三角函数模型在数学问题、实际问题上的应用.本节教学设计结合筒车的圆周运动研究函数,联系实际,突出参数的物理意义,而且联系函数解析式、函数得图象,并充分揭示它们之间的内在逻辑关系.由于本节的教学重点即是用函数模型来刻画一般的匀速圆周运动的建模过程、参数对函数图象的影响,以及函数图象的变换过程,在教学中要注重多角度引发学生的思考,启发学生自主思考.
【以学定教】
教师要让学生理解并掌握参数函数对函数的影响,图象变换过程,并能在不同的具体情境中合理应用三角函数模型,可以利用图象性质综合解决一些问题.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出在教学过程中要多角度引发学生的思考.
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