高中数学必修第一册人教A版（2019）5.7 《三角函数的应用》名师课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
复习引入
人教A版同步教材名师课件
三角函数的应用
学习目标
学 习 目 标 核心素养
了解三角函数是描述周期性变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题. 数学抽象
通过观察、分析已知数据,能建立三角函数模型来刻画并解决实际问题. 数学建模
体会三角函数模型在实际生活中的应用，建立三角函数模型是处理周期性问题的重要方法之一. 逻辑推理
学习目标
课程目标
1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．
2．实际问题抽象为三角函数模型．
数学学科素养
1.逻辑抽象：实际问题抽象为三角函数模型问题；
2.数据分析：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型；
3.数学运算：实际问题求解；
4.数学建模：体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，提高学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.
问题１　某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中，时间(单位:s)与位移(单位:mm)之间的对应数据如下表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．
探究新知
振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移随时间的变化规律可以用函数来刻画．
根据已知数据作出散点图，如图所示．
探究新知
由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为，因此；振子振动的周期为，即= 0.6 解得 ＝；再由初始状态振子的位移为，可得，因此．所以振子位移关于时间的函数解析式为:
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．
探究新知
在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数表示，其中描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关.
探究新知
问题２　如图 (1)所示的是某次实验测得的交变电流(单位:Ａ)随时间(单位:ｓ)变化的图象．将测得的图象放大，得到图 (２)．
(１)求电流随时间变化的函数解析式；
(２)当, , , 时，求电流．
探究新知
由交变电流的产生原理可知，电流随时间的变化规律可用 =来刻画，其中表示频率，表示振幅， 表示初相．
由图 (2)可知，电流最大值为5Ａ，因此A＝5；电流变化的周期为s，频率为50Hz,即＝50，解得ω＝100π；再由初始状态(t＝０)的电流约为4.33Ａ，可得sinφ =0.866，因此 φ 约为．
所以电流i随时间t变化的函数解析式是: i=5sin(100t+),
当t=时，
当t=时，
当t=时，
当t=时，
当t=时，　
探究新知
T/℃
10
20
30
o
t/h
6
10
14
1.求这一天6～14时的最大温差是多少;
2.写出这段曲线的函数解析式.
例1、如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数：
典例讲解
思考1：这一天6～14时的最大温差是多少？
思考2：函数式中A、b的值分别是多少？
30°－10°=20°
A=10，b=20.
T/℃
10
20
30
o
t/h
6
10
14
1.求这一天6～14时的最大温差是多少;
2.写出这段曲线的函数解析式.
例1、如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数：
典例讲解
思考4：这段曲线对应的函数是什么？
思考3：如何确定函数式中和的值？
例2、 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻 0.0 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00 21.00 24.00
水深（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系．
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船大约何时能进入港口？在港口大约能呆多久？
（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域．
典例讲解
x
y
O
3
6
9
12
15
18
21
24
2
4
6
以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在直角坐标系中描出各点，并用平滑的曲线连接．
根据图象，可以考虑用函数刻画水深与时间的关系．
（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系．
典例讲解
解析
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船大约何时能进入港口？在港口大约能呆多久？
典例讲解
（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域．
考虑到两个函数的变化趋势，货船最好在6.5时之前停止卸货，将船驶向较深的水域．
Ｅ
典例讲解
例3、如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
则此函数第1次取得最大值，
(1)可以用余弦型函数来表示该函数的关系式，由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，
由周期为12分钟可知当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，
典例讲解
解析
所以6ω=，即.
所以y＝40.5－40cos t(t≥0).
例3、如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
典例讲解
解析
所以t＝8分钟时，第2次距地面60.5米，
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，
故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
由60.5＝40.5－40cos 得40cos
或,解得4或8.
解三角函数应用问题的基本步骤
方法归纳
1.某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数解析式；
(2)画出种群数量y关于时间t变化的草图．(其中t以年初以来经过的月份数为计量单位)
(1)设表示该曲线的函数为y＝Asin(ωt＋a)＋b(A＞0，ω＞0，|a|＜π)，
由已知平均数为800，最高数与最低数差为200，数量变化周期为12个月，
变式训练
故振幅
又7月种群数量达到最高，所以.
因为|a|＜π ，所以a = .
故种群数量y关于时间的函数解析式为y=800+100sin .
解析
(2)种群数量关于时间变化的草图如右图所示．
(1)给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题．
(2)给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题．
(3)整理一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题．
1、三角函数应用题的三种模式
素养提炼
(1)一般地，所求出的函数模型只能近似地刻画实际情况，因此应特别注意自变量的取值范围．
(2)应用数学知识解决实际问题时，应注意从背景中提取基本的数学关系，并利用相关知识来理解．
2、三角函数模型应用注意点
素养提炼
当堂练习
如图所示,一个单摆以 为始边， 为终边的角 与时间 满足函数解析式 则当 时,角 的大小及单摆频率是 ( )
A、 B 、 C、 D、
A
当堂练习
如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过 周期后,乙的位置将传播至 ( )
A、 B 、 C 、 D、
C
当堂练习
如图为一半径为 3m 的水轮,水轮圆心 距离水面 2 m,已知水轮自点 开始 1 min旋转4圈,水轮上的点 到水面距离 与时间 满足函数关系 ，则有 ( )
A、 B、
C、 D 、
A
当堂练习
用作调频无线电信号的载波以 为模型,其中 的单位是秒,则此载波的周期为__________s频率为__________Hz
如图是一弹簧振子做简谐运动的图象,横轴表示运动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子的位移关于时间的函数解析式是_______________________
归纳小结
三角函数的应用
简谐运动的相关概念
解题的基本步骤
振幅
周期
相位
初相
审题
建模
解模
还原评价
作 业
P249：2