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5.4 三角函数的图象与性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第2课时 单调性与最值
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 正弦、余弦函数的定义域、值域
观察下图中的正弦曲线和余弦曲线的分布范围：
正弦曲线 余弦曲线
由正弦、余弦曲线可以看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，值域都是[－1,1]．
对于正弦函数y＝sin x，x∈R有：当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1；当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.
对于余弦函数y＝cos x，x∈R有：当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.
知识点二 正弦、余弦函数的单调性
正弦函数和余弦函数都是周期函数，且最小正周期都是2π，首先研究它们在一个周期区间上函数值的变化情况，再推广到整个定义域．
(1)函数y＝sin x，x∈的图象如图所示：
观察图象可知：
当x∈时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x的值由－1增大到1；
当x∈时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得：
当x∈(k∈Z)时，正弦函数y＝sin x是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈(k∈Z)时，正弦函数y＝sin x是减函数，函数值由1减小到－1.
(2)函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图象如图所示：
观察图象可知：
当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由－1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得：
当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是减函数，函数值由1减小到－1.
知识点三 正弦函数、余弦函数的性质整合记忆
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1]
对称性 对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)； 对称中心：(kπ，0)(k∈Z) 对称轴：x＝kπ(k∈Z)； 对称中心：(k∈Z)
奇偶性 奇函数 偶函数
周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π
单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) 上单调递增； 在[＋2kπ，＋2kπ] (k∈Z)上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ] (k∈Z)上单调递增； 在[2kπ，π＋2kπ] (k∈Z)上单调递减
最值 在x＝＋2kπ (k∈Z)时，ymax＝1； 在x＝－＋2kπ (k∈Z)时，ymin＝－1 在x＝2kπ (k∈Z)时，ymax＝1； 在x＝π＋2kπ (k∈Z)时，ymin＝－1
注意点：
(1)正、余弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限．
(2)正弦函数、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间．
(3)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.若y＝sin x是减函数，y＝cos x是增函数，那么角x在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案：C
2.下列命题中正确的是( )
A.y＝cos x在第一象限和第四象限内单调递减 B.y＝cos x在上单调递减
C.y＝sin x在第一象限和第三象限内单调递增 D.y＝sin x在上单调递增
答案：D
解析：对于y＝cos x，该函数的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，故A错误，B错误；
对于y＝sin x，该函数的单调递增区间为，k∈Z，故C错误，D正确．
3.“0＜x＜”是“sin x＜”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：A
解析：∵当0＜x＜时，有sin x＜，∴充分性满足；反之，若sin x＜，取sin x＝－，则x＝－＋2kπ(k∈Z)或x＝＋2kπ(k∈Z)，都不在内，故必要性不满足．∴“0＜x＜”是“sin x＜”的充分不必要条件．
4.若x是△ABC中的最小内角，则y＝sin x的值域为( )
A.[－1,1] B.(0,1] C. D.
答案：C
解析：在△ABC中，可知A＋B＋C＝π，∵x是△ABC中的最小内角，∴3x≤π，可得05.当－≤x≤时，函数f(x)＝2sin有( )
A.最大值1，最小值－1 B.最大值1，最小值－
C.最大值2，最小值－2 D.最大值2，最小值－1
答案：D
解析：∵－≤x≤，∴－≤x＋≤，∴－≤sin≤1，∴－1≤f(x)≤2.
6.下列关系式中正确的是( )
A.sin 11°C.sin 11°答案：C
解析：∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.∴由正弦函数的单调性，得sin 11°7.函数y＝|sin x|的一个单调递增区间是( )
A.(，π) B.(π，2π) C.(π，) D.(0，π)
答案：C
解析：作出函数y＝|sin x|的图象，如图，观察图象知C正确，故选C.
8.使cos x＝1－m有意义的m的取值范围为( )
A.m≥0 B.0≤m≤2 C.－11
答案：B
解析：∵－1≤cos x≤1，∴－1≤1－m≤1，∴0≤m≤2.
9.对于函数f(x)＝下列说法中正确的是( )
A.该函数的值域是[－1,1]
B.当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1
C.当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数取得最小值－1
D.当且仅当2kπ＋π答案：D
解析：画出函数f(x)的图象如图中实线部分所示，由图象容易看出，该函数的值域是；当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z或x＝2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数取得最小值－；当且仅当2kπ＋π10.已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是( )
A. B. C. D. (0,2]
答案：A
解析：取ω＝，f(x)＝sin，其减区间为，k∈Z，显然 ，k∈Z，排除B，C.取ω＝2，f(x)＝sin，其减区间为，k∈Z，显然 ，k∈Z，排除D.
二、填空题
11.(1)函数y＝2cos，x∈的值域为________．(2)函数f(x)＝2sin2x＋2sin x－，x∈的值域为________．
答案：(1)[－1,2] (2)
解析：(1)∵x∈，∴2x＋∈，∴cos∈，∴函数的值域为[－1,2]．
(2)令t＝sin x，∵x∈，∴≤sin x≤1，即≤t≤1.∴f(t)＝2t2＋2t－＝22－1，t∈，且该函数在上单调递增．∴f(t)的最小值为f ＝1，最大值为f(1)＝.即函数f(x)的值域为.
12.函数y＝sin的图象的对称轴方程是________，对称中心的坐标是________．
答案：x＝π＋(k∈Z) (k∈Z)
解析：根据正弦函数的周期性知，过函数图象的最高点或最低点且与x轴垂直的直线均是对称轴，而图象与x轴的交点均为对称中心．要使sin＝±1，必有2x＋＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝π＋(k∈Z)，即对称轴方程为x＝π＋(k∈Z)，而函数y＝sin的图象与x轴的交点即为对称中心，∴令y＝0，即sin＝0，∴2x＋＝kπ(k∈Z)，即x＝π－(k∈Z)，故函数y＝sin的图象的对称中心的坐标为(k∈Z)．
13.sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为 ．
答案：sin 3解析：∵1<<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y＝sin x在上递增，且0<π－3<1<π－2<，∴sin(π－3)14.函数f(x)＝2sin2x＋2sin x－，x∈[，π]的值域是 ．
答案：[1，]
解析：令t＝sin x，y＝f(t)，∵x∈[，]，∴≤sin x≤1，即≤t≤1. ∴y＝2t2＋2t－＝2(t＋)2－1，∴1≤y≤，∴函数f(x)的值域为[1，]．
15.已知函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是_______.
答案：
解析：函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，当－0)在区间上单调递增，∴解得ω≤，∵ω>0，∴0<ω≤，因此，ω的取值范围是.
三、解答题
16.求下列函数的单调增区间．
(1)y＝1－sin ；(2)y＝logcos(－)；(3)y＝cos 2x；(4)y＝sin，x∈.
解：(1)由2kπ＋≤≤2kπ＋π，k∈Z，得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π，k∈Z.
∴y＝1－sin 的增区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π] (k∈Z)．
(2)要求函数y＝logcos的增区间，即求使y＝cos>0且单调递减的区间．
∴x满足：2kπ≤－<2kπ＋，k∈Z.整理得4kπ＋≤x<4kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝logcos的增区间为，k∈Z.
(3)由2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)，∴kπ－≤x≤kπ(k∈Z)，
∴函数y＝cos 2x的单调递增区间为(k∈Z)．
(4) ∵y＝sin＝－sin，
∴函数y＝sin的单调递增区间就是函数y＝sin的单调递减区间，
由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
∵x∈，
∴所求函数的单调递增区间为.
17.已知函数f(x)＝2cos.
(1)若f(x)＝1，x∈，求x的值；
(2)求f(x)的单调递增区间．
解：(1)根据题意cos＝，
∵－2x＝2kπ±(k∈Z)，
而x∈，故x＝0.
(2)f(x)＝2cos，
令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，
从而f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
18.已知函数f(x)＝2cos.
(1)求f(x)的单调递增区间．
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值．
解：(1)令2kπ－π≤3x＋≤2kπ(k∈Z)，解得－≤x≤－(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)当3x＋＝2kπ－π(k∈Z)时，f(x)取最小值－2.
即x＝－(k∈Z)时，f(x)取最小值－2.
19.若cos2θ＋2msin θ－2m－2<0恒成立，求实数m的取值范围．
解：要使cos2θ＋2msin θ－2m－2<0恒成立，即使sin2θ－2msin θ＋2m＋1>0恒成立．
令sin θ＝t，则－1≤t≤1，f(t)＝t2－2mt＋2m＋1，∴只要f(t)>0在[－1,1]上恒成立即可．
由于f(t)＝(t－m)2－m2＋2m＋1(－1≤t≤1)，∴只要f(t)的最小值大于零即可．
若m<－1，则当t＝－1时，f(t)取最小值，为2＋4m，
令2＋4m>0，得m>－，与m<－1矛盾，舍去．
若－1≤m≤1，则当t＝m时，f(t)取最小值，为－m2＋2m＋1，
令－m2＋2m＋1>0，得m2－2m－1<0，解得1－若m>1，则当t＝1时，f(t)取最小值，为2，它显然大于0，∴m>1.
综上所述，m>1－.
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5.4 三角函数的图象与性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第2课时 单调性与最值
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 正弦、余弦函数的定义域、值域
观察下图中的正弦曲线和余弦曲线的分布范围：
正弦曲线 余弦曲线
由正弦、余弦曲线可以看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，值域都是[－1,1]．
对于正弦函数y＝sin x，x∈R有：当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1；当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.
对于余弦函数y＝cos x，x∈R有：当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.
知识点二 正弦、余弦函数的单调性
正弦函数和余弦函数都是周期函数，且最小正周期都是2π，首先研究它们在一个周期区间上函数值的变化情况，再推广到整个定义域．
(1)函数y＝sin x，x∈的图象如图所示：
观察图象可知：
当x∈时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x的值由－1增大到1；
当x∈时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得：
当x∈(k∈Z)时，正弦函数y＝sin x是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈(k∈Z)时，正弦函数y＝sin x是减函数，函数值由1减小到－1.
(2)函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图象如图所示：
观察图象可知：
当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由－1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得：
当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是减函数，函数值由1减小到－1.
知识点三 正弦函数、余弦函数的性质整合记忆
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1]
对称性 对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)； 对称中心：(kπ，0)(k∈Z) 对称轴：x＝kπ(k∈Z)； 对称中心：(k∈Z)
奇偶性 奇函数 偶函数
周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π
单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) 上单调递增； 在[＋2kπ，＋2kπ] (k∈Z)上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ] (k∈Z)上单调递增； 在[2kπ，π＋2kπ] (k∈Z)上单调递减
最值 在x＝＋2kπ (k∈Z)时，ymax＝1； 在x＝－＋2kπ (k∈Z)时，ymin＝－1 在x＝2kπ (k∈Z)时，ymax＝1； 在x＝π＋2kπ (k∈Z)时，ymin＝－1
注意点：
(1)正、余弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限．
(2)正弦函数、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间．
(3)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.若y＝sin x是减函数，y＝cos x是增函数，那么角x在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.下列命题中正确的是( )
A.y＝cos x在第一象限和第四象限内单调递减 B.y＝cos x在上单调递减
C.y＝sin x在第一象限和第三象限内单调递增 D.y＝sin x在上单调递增
3.“0＜x＜”是“sin x＜”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.若x是△ABC中的最小内角，则y＝sin x的值域为( )
A.[－1,1] B.(0,1] C. D.
5.当－≤x≤时，函数f(x)＝2sin有( )
A.最大值1，最小值－1 B.最大值1，最小值－
C.最大值2，最小值－2 D.最大值2，最小值－1
6.下列关系式中正确的是( )
A.sin 11°C.sin 11°7.函数y＝|sin x|的一个单调递增区间是( )
A.(，π) B.(π，2π) C.(π，) D.(0，π)
8.使cos x＝1－m有意义的m的取值范围为( )
A.m≥0 B.0≤m≤2 C.－11
9.对于函数f(x)＝下列说法中正确的是( )
A.该函数的值域是[－1,1]
B.当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1
C.当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数取得最小值－1
D.当且仅当2kπ＋π10.已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是( )
A. B. C. D. (0,2]
二、填空题
11.(1)函数y＝2cos，x∈的值域为________．(2)函数f(x)＝2sin2x＋2sin x－，x∈的值域为________．
12.函数y＝sin的图象的对称轴方程是________，对称中心的坐标是________．
13.sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为 ．
14.函数f(x)＝2sin2x＋2sin x－，x∈[，π]的值域是 ．
15.已知函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是_______.
三、解答题
16.求下列函数的单调增区间．
(1)y＝1－sin ；(2)y＝logcos(－)；(3)y＝cos 2x；(4)y＝sin，x∈.
17.已知函数f(x)＝2cos.
(1)若f(x)＝1，x∈，求x的值；
(2)求f(x)的单调递增区间．
18.已知函数f(x)＝2cos.
(1)求f(x)的单调递增区间．
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值．
19.若cos2θ＋2msin θ－2m－2<0恒成立，求实数m的取值范围．
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