人教版（2019）数学选择性必修第一册综合复习：两直线的位置关系 学案（含答案）

两直线的位置关系
新课程标准 考向预测
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 3.探索并掌握平面上两点间的距离、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 命题角度 1.两直线的位置关系 2.两直线的交点与距离公式 3.对称问题
核心素养 数学运算、直观想象
【基础梳理】
基础点一　直线位置关系的判定条件、直线的交点
1．直线l1：y＝k1x＋b1, l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如下表：
位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 _________________
垂直 _________________ A1A2＋B1B2＝0
相交 ________________ A1B2－A2B1≠0
2.两直线的交点：当两条直线相交时，两直线的方程组成的方程组的解即为其交点坐标．
特别提示：用斜率判断两直线的平行、垂直问题时，要注意不能忽略直线斜率不存在时的情形．
基础小测
1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(　　)
A．平行　　 B．垂直
C．相交但不垂直　　 D．不能确定
2．(2020届江西抚州临川第二中学高三上学期第一次月考)若直线y＝2x与直线 (a2－a)x－y＋a＋1＝0平行，则a＝(　　)
A．－1 B．2
C．－1或2 D．1或－2
基础点二　三种距离
1．两点间的距离：平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离公式为|P1P2|＝_____________________.
2．点到直线的距离：平面上的点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式为d＝_________________．注意：使用此公式前必须将直线化为一般式，同时此公式对直线与坐标轴垂直或平行的情况都适用．
3．两条平行直线间的距离：直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离公式为d＝________________．
特别提示：利用两平行线间的距离公式求距离时，一定要把两直线中x，y的系数化为相同的．
基础小测
1．点P(1，－4)到直线4x＋3y－2＝0的距离为(　　)
A．2 B．5
C．7 D．10
2．两条平行直线3x＋4y－2＝0，3x＋4y－12＝0之间的距离是(　　)
A．2 B．
C．2 D．5
【考点突破】
考点一　两直线的平行和垂直问题(高考热度：★)
[例1]若直线x＋(1＋m)·y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是(　　)
A．1 B．－2
C．1或－2 D．－1
考点微练
1.直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝(　　)
A．－2 B．－4
C．－6 D．－8
技法点拨
1．设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则直线l1∥l2l1⊥l2k1·k2＝－1.
2．设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2的必要条件是A1B2＝A2B1(不充分)；l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0.
考点二　距离问题(高考热度：★★)
[例2] 已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2，则点P的坐标为_____________．
解题技法
1．点到直线的距离的求法
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
2．两平行线间的距离的求法
(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
(2)利用两平行线间的距离公式．
考点微练
1．与直线2x＋y－3＝0平行，且距离为的直线方程是(　　)
A．2x＋y＋2＝0　
B．2x＋y－8＝0
C．2x＋y＋2＝0或2x＋y－8＝0
D．2x＋y－2＝0或2x＋y＋8＝0
2．已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为___________________ _________________.
考点三　对称问题(高考热度：★★)
[例3] 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
解题技法
点关于点对称的求解方法
若点M(x1，y1)和点N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解．
点关于直线对称的解题方法
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则由方程组可得到点P1关于直线l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
线关于点对称的求解方法
(1)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
(2)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
考点微练
1．已知点A与点B(1，2)关于直线x＋y＋3＝0对称，则点A的坐标为(　　)
A．(3，4) B．(4，5)
C．(－4，－3) D．(－5，－4)
2．直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是(　　)
A．x－2y＋3＝0 　 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 　 D．x＋2y－1＝0
3．设点P为直线l：x＋y－4＝0上的动点，点A(－2，0)，B(2，0)，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　)
A．2 B．
C．2 D．
参考答案
【基础梳理】
基础点一　直线位置关系的判定条件、直线的交点
基础小测
1．解析：直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率为k2＝－，则k1≠k2，且k1k2≠－1.故选C.
2．解析：因为直线y＝2x与直线(a2－a)x－y＋a＋1＝0平行，所以a2－a＝2，解得a＝2或a＝－1，检验：当a＝－1时，两直线重合，不成立，所以a＝2.
基础点二　三种距离
基础小测
1．解析：点P(1，－4)到直线4x＋3y－2＝0的距离为＝2.故选A.
2．解析：由平行线间距离公式d＝，代入数据可得d＝＝2.故选A.
【考点突破】
考点一　两直线的平行和垂直问题(高考热度：★)
[例1]解析：①当m＝－1时，两直线分别为x－2＝0和x－2y－4＝0，此时两直线相交，不合题意．②当m≠－1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得解得m＝1.综上可得m＝1.故选A.
考点微练
1.解析：∵直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，∴－×＝－1，解得a＝10，∴直线ax＋4y－2＝0的方程即为5x＋2y－1＝0.将点(1，c)的坐标代入上式可得5＋2c－1＝0，解得c＝－2.将点(1，－2)的坐标代入方程2x－5y＋b＝0得2－5×(－2)＋b＝0，解得b＝－12.∴a＋b＋c＝10－12－2＝－4.故选B.
考点二　距离问题(高考热度：★★)
[例2] 解析：设点P的坐标为(a，b)．∵A(4，－3)，B(2，－1)，∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)．而直线AB的斜率kAB＝＝－1，∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，∴a－b－5＝0.①又点P(a，b)到直线l：
4x＋3y－2＝0的距离为2，∴＝2，即4a＋3b－2＝±10.②由①②联立，可得或∴所求点P的坐标为(1，－4)或 .
考点微练
1．解析：设与直线2x＋y－3＝0平行的直线的方程为2x＋y＋c＝0(c≠－3)．∵两平行直线之间的距离为，∴＝，∴c＝2或c＝－8.∴与直线2x＋y－3＝0平行且距离为的直线的方程为2x＋y＋2＝0或2x＋y－8＝0.故选C.
2．解析：显然直线l的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0.由已知，得＝，解得k＝2或k＝－，∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.
考点三　对称问题(高考热度：★★)
[例3] 解：(1)设A′(x，y)．由已知，得 解得 ∴A′ .
(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在直线m′上．设对称点为M′(a，b)，则 解得
∴M′ .设直线m与l的交点为N，则由 解得∴N(4，3)．又∵直线m′经过点N(4，3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)．∵P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.
考点微练
1．解析：设A(x，y)，则
∴故选D.
2．解析：设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)．
由解得
∵点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.
3．解析：依据题意作图：
设点B(2，0)关于直线l的对称点为B1(a，b)，则它们的中点坐标为，
且|PB|＝|PB1|.由对称性可得：
解得a＝4，b＝2.
所以B1(4，2)．因为|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB1|，
所以当A，P，B1三点共线时，|PA|＋|PB|最小，
此时最小值为|AB1|＝＝2.故选A.