人教版（2019）数学选择性必修第一册综合复习：椭圆学案（含答案）

椭 圆
新课程标准 考向预测
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质． 3.通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想． 4.了解椭圆的简单的应用. 命题角度 1.椭圆的定义及应用 2.椭圆的标准方程 3.椭圆的几何性质 4.直线与椭圆的位置关系
核心素养 直观想象、逻辑推理、 数学运算
【基础梳理】
基础点一　椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离__________等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的________．
特别提示：椭圆定义中提到的常数通常用2a表示，焦距通常用2c表示，2c＝|F1F2|.(1)当2a>2c时，表示椭圆；(2)当2a＝2c时，表示线段F1F2；(3)当2a<2c时，其轨迹不存在．
基础小测
下列命题是真命题的是________．
①已知定点F1(－1，0)，F2(1，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；
②已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；
③若点P到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于点M(5，3)到定点F1，F2的距离之和，则点P的轨迹为椭圆．
基础点二　椭圆的标准方程
1．焦点在x轴上的椭圆的标准方程是①______________________，焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0)，其中b2＝a2－c2.
2．焦点在y轴上的椭圆的标准方程是②______________________，焦点坐标为F1(0，－c)，F2(0，c)，其中b2＝a2－c2.
必记结论：椭圆方程的一般形式：mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，其焦点位置有如下规律，当mn时，焦点在y轴上．在求椭圆的标准方程时，有时不知焦点在哪一个坐标轴上，一般可设所求椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．
基础小测
1．已知椭圆的长轴长是8，焦距为6，则此椭圆的标准方程是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1或＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1或＋＝1
2．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
基础点三　椭圆的简单几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a
对称性 关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称
顶点坐标 　(a,0)，(－a,0)， 　(0，b)，(0，－b)
　(b,0)，(－b,0)， 　(0，a)，(0，－a)
焦点坐标 (c,0)，(－c,0) (0，c)，(0，－c)
半轴长 长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b
离心率 e＝
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
基础小测
1．(2019北京卷，4)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则(　　)
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
2．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，则椭圆的短轴长为(　　)
A．8 B．6
C．5 D．4
【考点突破】
考点一　椭圆的定义的应用(高考热度：★★)
[例1] 以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．无法确定
解题技法
椭圆定义的应用技巧
椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．
考点微练
已知点M＝{M||MF|＋|MG|＝10}，其中F，G为定点且|FG|＝8，若M到F的距离为2，N是MF的中点，则N点到FG中点O的距离是(　　)
A．8 B．4
C．2 D．
考点二　椭圆的标准方程(高考热度：★★★)
[例2]　(2020·黄冈模拟)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为(　　)
A.＋＝1　　　　　　　 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[例3] 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆的方程为______________．
[例4] (一题多解)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________________．
解题技法
根据条件求椭圆方程的2种方法
定义法 根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程
待定系数法 待定系数法是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，再用待定系数法求出m，n的值即可
考点微练
1．已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
2．(2020届湖南长沙一中高三月考)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，P是C上一点，若|PF1|－|PF2|＝a，且sin∠PF1F2＝，则椭圆C的方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
考点三　椭圆的几何性质(高考热度：★★★★)
考向1　椭圆的离心率
[例5] 设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为(　　)
A． B． C． D．
对点变式
变式1 若将上题条件“点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°”改为“过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，∠F1PF2＝60°”，则椭圆的离心率为________．
变式2 若将上题条件“线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°”变为“P到两焦点的距离之比为2∶1”，则椭圆的离心率的取值范围为________．
解题技法
求椭圆离心率的三种方法
1．直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
2．构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
3．通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
[提醒]　在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．
考点微练
1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，其关于直线y＝bx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率e＝________，S△FOQ＝________．
2．(2020届湖南长沙一中高三月考)美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步，某同学在画“切面圆柱体” (用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面所在平面与底面成60°角”，则该椭圆的离心率为(　　)
A． B． C． D．
考向2　根据椭圆的性质求参数的值或范围
[例6] 如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)　 B．(1，2)　
C．　 D．(0，1)
解题技法
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
1．利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．
2．利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．
3．利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．
4．利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围．
考点微练
1.(多选题)已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为，则实数m的值可能为　(　　)
A．2　　　 B．
C．6　　　 D．8
2．设点P是椭圆C：＋＝1上的动点，F为C的右焦点，定点A(2，1)，则|PA|＋|PF|的取值范围是_______________________．
参考答案
【基础梳理】
基础点一　椭圆的定义
基础小测
解析：①因为2a＝<|F1F2|，所以点P的轨迹不存在；②因为2a＝|F1F2|，所以点P的轨迹是线段；③因为M到两定点的距离之和为4>8，所以点P的轨迹为椭圆．
基础点二　椭圆的标准方程
基础小测
1．解析：由于2a＝8，2c＝6, 则a＝4，c＝3, ∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，则椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.故选B.
2．解析：根据题意知，△ABF2的周长为16，即|BF2|＋|AF2|＋|BF1|＋|AF1|＝16，根据椭圆的性质，有4a＝16，即a＝4.又椭圆的离心率为，即＝，则a＝c，故c＝2，则b2＝a2－c2＝8，则椭圆的方程为＋＝1.
基础点三　椭圆的简单几何性质
基础小测
1．解析：椭圆的离心率e＝＝，c2＝a2－b2，化简得3a2＝4b2.故选B.
2．解析：椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝＝，椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，即2a＝12，可得a＝6，c＝2，∴b＝＝＝4，则椭圆的短轴长为2b＝8.
【考点突破】
考点一　椭圆的定义的应用(高考热度：★★)
[例1] 解析：如图，设线段是PF1，O1是线段PF1的中点，连接O1O，PF2，其中O是椭圆的中心，F2是椭圆的另一个焦点，则在△PF1F2中，由三角形中位线定理可知，|OO1|＝|PF2|＝(2a－|PF1|)＝a－|PF1|＝R－r，故两圆内切．故选A.
考点微练
解析：根据椭圆的定义知，点M的轨迹是椭圆，|NO|＝|MG|＝4.故选B.
考点二　椭圆的标准方程(高考热度：★★★)
[例2]　解析：由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，
∴∠FPO＋∠OPF′＝90° ，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，
由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8，
由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，
从而a＝7，a2＝49，
于是b2＝a2－c2＝49－25＝24，
∴椭圆C的方程为＋＝1，故选C.
[例3] 解析：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
由解得m＝，n＝.
所以椭圆方程为＋＝1.
[例4] 解析：法一：定义法
椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由椭圆的定义，知
2a＝＋，
解得a＝2.
由c2＝a2－b2可得b2＝4，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：待定系数法
∵所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，
∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(，－)在所求椭圆上，
∴＋＝1，
即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
考点微练
1．解析：(方法一)如图，由已知可设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n.由椭圆的定义有2a＝|BF1|＋|BF2|＝4n，
∴|AF1|＝2a－|AF2|＝2n.在△AF1B中，由余弦定理推论得cos ∠F1AB＝＝.在△AF1F2中，由余弦定理得4n2＋4n2－2·2n·2n·＝4，解得n＝.∴2a＝4n＝2，∴a＝，∴b2＝a2－c2＝3－1＝2，∴所求椭圆方程为＋＝1.故选B.
(方法二)由已知可设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n.由椭圆的定义有2a＝|BF1|＋|BF2|＝4n，∴|AF1|＝2a－|AF2|＝2n.在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得又∠AF2F1，∠BF2F1互补，∴cos ∠AF2F1＋cos ∠BF2F1＝0，两式消去cos ∠AF2F1，cos ∠BF2F1，得3n2＋6＝11n2，解得n＝.∴2a＝4n＝2，∴a＝，∴b2＝a2－c2＝3－1＝2，∴所求椭圆方程为＋＝1.故选B.
2．解析：由|PF1|－|PF2|＝a，|PF1|＋|PF2|＝2a，解得|PF1|＝a，|PF2|＝a.在△PF1F2中，由正弦定理值得＝，
解得sin∠PF2F1＝1，则∠PF2F1＝90°.又sin∠PF1F2＝，可知tan∠PF1F2＝，2c＝2，得|PF2|＝1＝，解得a＝2，c＝，b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
考点三　椭圆的几何性质(高考热度：★★★★)
考向1　椭圆的离心率
[例5] 解析：如图，设PF1的中点为M，连接PF2.
因为O为F1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线，所以OM∥PF2，
所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.
因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|.
由勾股定理得|F1F2|＝＝|PF2|，由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，即a＝，2c＝|F1F2|＝|PF2|，即c＝，则e＝＝·＝.
对点变式
变式1 解析：由题意，可设P.
因为在Rt△PF1F2中，|PF1|＝，|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝60°，所以＝.又因为b2＝a2－c2，所以c2＋2ac－a2＝0，即e2＋2e－＝0，解得e＝或e＝－.又因为e∈(0，1)，所以e＝.
变式2 解析：设P到两个焦点的距离分别是2k，k，根据椭圆定义可知3k＝2a.又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k≤2c，所以2a≤6c，即e≥.又因为0＜e＜1，所以≤e＜1.故椭圆的离心率的取值范围为.
考点微练
1．解析：设点Q(x，y)，则由点Q与椭圆的右焦点F(1，0)关于直线y＝bx对称得解得代入椭圆C的方程得＋＝1，结合a2＝b2＋1，解得则椭圆的离心率e＝＝，S△FOQ＝|OF|·＝×1×＝.
2．解析：设圆柱底面圆的半径为R.∵与底面成60°角的平面截圆柱，∴椭圆的长半轴长是2R，短半轴长是R，∴c＝R，∴e＝＝.故选C.
考向2　根据椭圆的性质求参数的值或范围
[例6] 解析：由x2＋ky2＝2，得＋＝1.∵方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，
∴>2，解得0＜k＜1，∴实数k的取值范围是(0，1)．故选D.
考点微练
1.解析：若焦点在x轴上，则a2＝，b2＝，由e＝＝，得＝，即＝，所以＝，即＝，解得m＝2；若焦点在y轴上，则a2＝，b2＝，则＝，解得m＝8.所以m＝2或m＝8.故选AD.
2．解析：＋＝1，F为C的右焦点，F(2，0)，左焦点F1(－2，0)，|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF1|＝4＋|PA|－|PF1|，又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|－≤|PA|－|PF1|≤，所以|PA|＋|PF|∈[4－，4＋]．