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6.1 平面向量的概念
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 向量的概念
1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
2.数量：只有大小没有方向的量称为数量．
注意点：
(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素；
(2)向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量．
知识点二 向量的几何表示
1.有向线段
①定义：具有方向的线段．
②三个要素：起点、方向、长度．
③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作．
④长度：线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||．
注意点：
有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段．
2.向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．
(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，)．
注意点：
用有向线段表示向量时，要注意的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点，点B是向量的终点．
3.向量有关的概念
向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||．
长度为0的向量叫做零向量，记作0．
长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量．
知识点三 相等向量与共线向量
1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．
①记法：向量a与b平行，记作a∥b．
②规定：零向量与任意向量平行．
2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若a，b是相等向量，记作a＝b．
3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．
注意点：
要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆：
(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别；
(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同；
(3)与任意向量都平行的向量是零向量；
(4)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同；
(5)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定平行(共线)向量．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.下列说法中：①身高是一个向量；②∠AOB的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量．正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：B
解析：身高只有大小，没有方向，故①不是向量，同理③不是向量；对②，∠AOB的两条边只有方向，没有大小，不是向量；④是向量．故选B.
2.下列说法中正确的是( )
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B.向量的大小与方向有关
C.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小D.向量的模可以比较大小
答案：D
解析：不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，C不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故B不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确.
3.(多选)下列说法错误的有( )
A.共线的两个单位向量相等 B.若∥，则一定有直线AB∥CD
C.相等向量的起点相同 D.若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上
答案：ABCD
解析：A错，共线的两个单位向量的方向可能相反；B错，直线AB与CD可能重合；C错，相等向量的起点和终点都可能不相同； D错，AB与CD可能平行，则A，B，C，D四点不共线.
4.汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是( )
A.汽车的速度大于摩托车的速度 B.汽车的位移大于摩托车的位移
C.汽车走的路程大于摩托车走的路程 D.以上都不对
答案：C
解析：速度和位移是向量，由向量不能比较大小可知A、B错；汽车走的路程为240 km，摩托车走的路程为90 km，故C正确．
5.设O是△ABC的外心，则，，是( )
A.相等向量 B.模相等的向量 C.平行向量 D.起点相同的向量
答案：B
解析：因为O是△ABC的外心，外心是三边垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知||＝||＝||.
6.下列说法正确的是( )
A.若a∥b，则a＝b B.若|a|＝|b|，则a＝b
C.若a＝b，则a与b共线 D.若a≠b，则a一定不与b共线
答案：C
解析：A中，当a∥b时，不能得到a＝b，A不正确；B中，向量的模相等，但a与b的方向不确定，B不正确；D中，a≠b，a可与b共线.
7.若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
答案：C
解析：因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形，又||＝||，即邻边相等，所以四边形ABCD为菱形.
8.如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是( )
A.||＝|| B.与共线 C.与共线 D.＝
答案：C
9.已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为( )
A. B. C.1 D.2
答案：C
解析：因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以的值为1.故选C.
10.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法正确的是( )
A.与相等的向量只有一个(不含)
B.与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰好为的模的倍
D.与不共线
答案：ABC
解析：与相等的向量只有，A正确；由已知条件可得||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||，B正确；如图，过点B作DA的垂线交DA的延长线于E，因为∠DAB＝120°，四边形ABCD为菱形，所以∠BDE＝∠ABE＝30°，在Rt△BED中，||＝，在Rt△AEB中，||＝||＝||，所以||＝＝||，C正确；与方向相同，大小相等，故＝，与共线，D错误．故选A、B、C.
二、填空题
11.给出下列说法：①向量与向量的长度相等；②若a∥b，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同；④若a∥b，b∥c，则a∥c；⑤零向量都是相等的；⑥若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等；⑦若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等；⑧若a＝b，b＝c，则a＝c，其中正确的是________.(填序号)
答案：①⑧
解析：两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定，是任意的，且规定与任意向量平行，故取a＝0，则对于任意的向量b，都有a∥b；两个单位向量也可能反向，则不相等，故②，③，⑤，⑥都错误，①正确；取b＝0，则对于任意的向量a，c都有a∥b，b∥c，知④错误；两个模相等的向量互相平行，方向可能相反，知⑦错误；由两个向量相等的概念可知⑧正确.
12.已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________.
答案：2
解析：由题意知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD的交点为O，∴在Rt△ABO中，||＝||·cos 30°＝2×＝，∴||＝2||＝2.
13.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法: ①与相等的向量只有1个(不含)；②与的模相等的向量有9个(不含)；③的模恰为的模的倍；④与不共线.正确的是________.(填序号)
答案：①②③
解析：由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，因此选项①②正确.而Rt△AOD中，因为∠ADO＝30°，所以||＝||，故||＝||，因此选项③正确.由于＝，因此与是共线的，故填①②③.
14.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，||＝2，则||＝________.
答案：1
解析：连接AC，由||＝||得∠ABC＝∠OCB＝30°，又∠ACB＝90°，则||＝||＝×2＝1.
15.已知在四边形ABCD中，＝且||＝||＝||＝2，则该四边形内切圆的面积是________.
答案：
解析：由＝知四边形ABCD为平行四边形，由||＝||＝||知四边形ABCD为菱形，△ABD为等边三角形，故∠ABC＝120°，菱形的内切圆圆心O在对角线BD的中点处，令其半径为r，则r＝||sin 60°＝，所以S圆＝πr2＝π×2＝.
三、解答题
16.如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
(1)写出与共线的向量；(2)写出模与的模相等的向量；(3)写出与相等的向量.
解：(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，
所以EF∥BC，EF＝BC.
又因为D是BC的中点，
所以与共线的向量有，，，，，，.
(2)模与的模相等的向量有，，，，.
(3)与相等的向量有，.
17.已知四边形ABCD中，＝且||＝||，tan D＝，判断四边形ABCD的形状．
解：∵在四边形ABCD中，＝，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵tan D＝，∴B＝D＝60°.
又||＝||，∴△ABC是等边三角形．
∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．
18.一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 km，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向
40 km处有一艘渔船抛锚需救助.试求：
(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
(2)巡逻艇从港口出发到出事地点之间的位移.
解：(1)如图，由于路程不是向量，与方向无关，所以总的路程为巡逻艇两次路程的和，即为AB＋BC＝70(km).
(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移是向量，不仅有大小而且有方向，因而大小为||＝＝50(km)，由于sin∠BAC＝，故方向为北偏东∠BAC，其中sin∠BAC＝.
19.设O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：
(1)分别找出与，相等的向量；(2)找出与共线的向量；
(3)找出与模相等的向量；(4)向量与是否相等？
解：(1)＝，＝.
(2)与共线的向量有：，，.
(3)与模相等的向量有：，，，，，，.
(4)向量与不相等，因为它们的方向不相同.
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高中数学(新RJ·A)必修第二册6.1 平面向量的概念 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
6.1 平面向量的概念
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 向量的概念
1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
2.数量：只有大小没有方向的量称为数量．
注意点：
(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素；
(2)向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量．
知识点二 向量的几何表示
1.有向线段
①定义：具有方向的线段．
②三个要素：起点、方向、长度．
③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作．
④长度：线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||．
注意点：
有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段．
2.向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．
(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，)．
注意点：
用有向线段表示向量时，要注意的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点，点B是向量的终点．
3.向量有关的概念
向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||．
长度为0的向量叫做零向量，记作0．
长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量．
知识点三 相等向量与共线向量
1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．
①记法：向量a与b平行，记作a∥b．
②规定：零向量与任意向量平行．
2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若a，b是相等向量，记作a＝b．
3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．
注意点：
要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆：
(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别；
(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同；
(3)与任意向量都平行的向量是零向量；
(4)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同；
(5)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定平行(共线)向量．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.下列说法中：①身高是一个向量；②∠AOB的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量．正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.下列说法中正确的是( )
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B.向量的大小与方向有关
C.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小D.向量的模可以比较大小
3.(多选)下列说法错误的有( )
A.共线的两个单位向量相等 B.若∥，则一定有直线AB∥CD
C.相等向量的起点相同 D.若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上
4.汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是( )
A.汽车的速度大于摩托车的速度 B.汽车的位移大于摩托车的位移
C.汽车走的路程大于摩托车走的路程 D.以上都不对
5.设O是△ABC的外心，则，，是( )
A.相等向量 B.模相等的向量 C.平行向量 D.起点相同的向量
6.下列说法正确的是( )
A.若a∥b，则a＝b B.若|a|＝|b|，则a＝b
C.若a＝b，则a与b共线 D.若a≠b，则a一定不与b共线
7.若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
8.如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是( )
A.||＝|| B.与共线 C.与共线 D.＝
9.已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为( )
A. B. C.1 D.2
10.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法正确的是( )
A.与相等的向量只有一个(不含)
B.与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰好为的模的倍
D.与不共线
二、填空题
11.给出下列说法：①向量与向量的长度相等；②若a∥b，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同；④若a∥b，b∥c，则a∥c；⑤零向量都是相等的；⑥若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等；⑦若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等；⑧若a＝b，b＝c，则a＝c，其中正确的是________.(填序号)
12.已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________.
13.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法: ①与相等的向量只有1个(不含)；②与的模相等的向量有9个(不含)；③的模恰为的模的倍；④与不共线.正确的是________.(填序号)
14.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，||＝2，则||＝________.
15.已知在四边形ABCD中，＝且||＝||＝||＝2，则该四边形内切圆的面积是________.
三、解答题
16.如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
(1)写出与共线的向量；(2)写出模与的模相等的向量；(3)写出与相等的向量.
17.已知四边形ABCD中，＝且||＝||，tan D＝，判断四边形ABCD的形状．
18.一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 km，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向
40 km处有一艘渔船抛锚需救助.试求：
(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
(2)巡逻艇从港口出发到出事地点之间的位移.
19.设O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：
(1)分别找出与，相等的向量；(2)找出与共线的向量；
(3)找出与模相等的向量；(4)向量与是否相等？
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