初中数学华东师大版九下26.3 第3课时 二次函数与一元二次方程的联系 学案(含答案)

26.3 实践与探索
第3课时 二次函数与一元二次方程的联系
学习目标：
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系，体会数形结合思想的应用.（难点）
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.(重点）
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
自主学习
一、知识链接
1.如图①，直线y=kx+b与x轴的交点坐标为（1，0），则关于x的方程kx+b=0的解是 ；关于x的不等式kx+b＜0的解集为 ；若点P（2.5，3）在函数图象上，则关于x的方程kx+b=3的解是 .
图① 图②
2.如图②，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b和y=mx+n相交于点(2，-1），则关于x、y的方程组的解为 .不等式kx+b＞mx+n的解集是 .
3.不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）5x2+x=7； （2）25x2+20x+4=0； （3）（x+1）（4x+1）=2x．
思考：对于抛物线y=ax2+bx+c,能否通过图象得出y=0的解及y＞0的解集？
二、新知预习
1.画出二次函数的图象.
（1）根据图象填写下表：
抛物线与x轴交点个数 交点横坐标 方程y=0的根
通过上表，你能得出什么结论？
【自主归纳】二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数：当b2-4ac＞0时，有_____个交点；当b2-4ac=0时，有_____个交点；当b2-4ac＜0时，有_____个交点.
（3）对于二次函数观察图象，填空：
当x满足条件________________时，y＜0；当x满足条件_________________时，y＞0
练习：
二次函数y=2x2+3x+1的图象与x轴的交点有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
2.画出二次函数y=x2-4x+3的图象，并回答:当x取何值时，y=0 当x取何值时，y＞0 当x取何值时，y＜0
合作探究
要点探究
探究点1：二次函数与一元二次方程（不等式）的关系
观察与思考 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图③所示，根据图象填空：
直接写出关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0的解：_________________________;
（2）当x满足________________时，y＞0，当x满足________________时，y＜0.
（3）在坐标系中画出直线y=4,它与二次函数y=ax2+bx+c的图象有交点吗？若有，则交点的横坐标为_________________;由此，可以得出关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=4的解为______________________;
（4）在坐标系中画出直线y=3,此时直线y=3与二次函数y=ax2+bx+c的图象有_____个交点；交点的横坐标为____________________;请写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0的解：_________________________;
图③ 图④
【要点归纳】一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根就是抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法.
思考：利用图象法求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解时，除了画出二次函数y=ax2+bx+c的图象，通过其与x轴的交点坐标得出方程的解之外，还有别的方法吗？
问题：在图④所示的坐标中，画出二次函数y=x2和一次函数y=x+2的图象，根据图象，填空：
抛物线与直线交点的横坐标分别为____________,它们可看作是一元二次方程______________的解；
抛物线与直线交点的坐标分别为___________________,它们可看作是方程组______________的解.
练一练 已知二次函数y=-x2+2x+3和一次函数y=-x+3的图象如图⑤所示，根据图象，填空：
关于x的一元二次方程-x2+2x+3=-x+3的解为________________；
方程组的解为_______________________；
（3）不等式-x2+2x+3＞-x+3的解集为_____________________.
图⑤ 图⑥ 图⑦
【典例精析】
例1 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图⑥所示，则方程ax2+bx+c-4=0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的正实数根
C．有两个不相等的负实数根 D．没有实数根
【针对训练】 已知函数y=ax2+bx+c的图象如图⑦所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+=0的根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根
例2 已知关于x的二次函数y=ax2-4ax+a+1（a＞0），若二次函数的图象与x轴有交点，求a的取值范围.
【针对训练】已知二次函数y=x2-2mx+m2-1（m为常数）．求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点.
探究点2：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
做一做 求一元二次方程的根的近似值(精确到0.1).
（1）在给出的平面直角坐标系中画出y=的图象；
（2）观察图象，可知y=的图象与x轴的两个交点,一个在________之间，一个在_________之间；
（3）根据图象估算一个根在-0.8~-0.6之间，另一个根在2.6~2.8之间，填写下表（可利用计算器进行计算）：
x -0.8 -0.7 -0.6 2.6 2.7 2.8
（4）根据上表，可知当x=_____________时，y的值更趋近于0，则一元二次方程的根的近似值为_______________________.
【要点归纳】利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，先画出相应二次函数的图象，确定其与x轴交点的横坐标所在范围；再根据图象及精确度，估算x的近似取值范围，然后通过列表求值，得出使得y的值最趋近于0的x的值，此时x的值即为一元二次方程的近似解.
二、课堂小结
判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 x1，x2 x1=x2＝ 没有实数根
不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集 xx2 x ≠ x1的一切实数 所有实数
不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集 x1当堂检测
抛物线y=-x2+2x-4与x轴的交点个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式-2m2+2m+2020的值为（　　）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
3.已知抛物线y=ax2+2x-1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（　　）
第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4.已知二次函数y=ax2+bx+c中x和y的值如下表（　　）
x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14
y -5.6 -3.1 -1.5 0.9 1.8
则ax2+bx+c=0的一个根的范围是（　　）
A．0.10＜x＜0.11 B．0.11＜x＜0.12 C．0.12＜x＜0.13 D．0.13＜x＜0.14
画出二次函数y=-x2+2x+3的图象，并根据图象解答下列问题．
（1）写出抛物线的对称轴、顶点坐标、与x轴和y轴的交点坐标．
（2）当x在什么范围内时，y＞0？
（3）当x在什么范围内时，y＜0？
6.如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（1，0）及点B（n，3）.
（1）求二次函数的表达式及n的值；
（2）根据图象，直接写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．
参考答案
自主学习
知识链接
1.x=1 x＜1 x=2.5 2. x＞2
3.解：（1）原方程化为一般式5x2+x-7=0.∵Δ=12-4×5×（-7）=141＞0，∴方程有两个不相等的实数根.
（2）∵Δ=202-4×25×4=0，∴方程有两个相等的实数根.
（3）原方程化为一般式4x2+3x+1=0.∵Δ=32-4×4×1=-7＜0，∴方程没有实数根．
二、新知预习
1.如图所示.
（1）填表如下：
抛物线与x轴交点个数 交点横坐标 方程y=0的根
2 -1，3 x1=-1,x2=3
0 无 无实数根
1 2 x1=x2=2
【自主归纳】 2 1 0
（3） -1＜x＜3 x＜-1或x＞3
练习：1.C
2.解：画图略.当x=1或x=3时，y=0.当x＞3或x＜1时，y＞0.当 1＜x＜3时，y＜0.
合作探究
一、要点探究
探究点1：二次函数与一元二次方程（不等式）的关系
观察与思考 (1)x1=-1,x2=3 （2）-1＜x＜3 x＜-1或x＞3
(3)（图略）1 x=1 (4) （图略）2 0，2 x1=0，x2=2
问题 解： 二次函数y=x2和一次函数y=x+2的图象如图所示.
（1）-1，2 x2=x+2 （2）（-1，1），（2,4）
练一练 （1）x1=0,x2= 3 （3）0＜x＜3
【典例精析】例1 D 【针对训练】D
例2 解：（1）Δ=（-4a）2-4a（a+1）≥0，且a＞0，解得a≥.
【针对训练】证明：Δ=b2-4ac=（-2m）2-4（m2-1）=4＞0，故不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点.
探究点2：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
做一做 解：（1）如图所示. （2）-1~0 2~3
填表如下：
x -0.8 -0.7 -0.6 2.6 2.7 2.8
0.24 -0.11 -0.44 -0.44 -0.11 0.24
-0.7或2.7 x1≈-0.7，x2≈2.7
当堂检测
A 2.A 3.D 4.C
5. 解：（1）如图所示.抛物线的对称轴为直线x=1，当x=1时，y=4，故顶点坐标为（1，4）.
令y=0，则x=3或x=-1.令x=0，则y=3.故抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）、（-1，0）.抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）.
（2）当-1＜x＜3时，y＞0.
（3）当x＞3或x＜-1时，y＜0．
6.解：（1）∵二次函数y=（x-2）2+m的图象经过点A（1，0），∴（1-2）2+m=0，解得m=-1.∴二次函数的表达式为y=（x-2）2-1（或y=x2-4x+3），代入点B的坐标，可得（n-2）2-1=3，解得n1=4，n2=0（不合题意，舍去）.∴n的值为4.
（2）当1≤x≤4时，kx+b≥（x-2）2+m．