人教版九年级上册第24章 圆的有关性质知识点 课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
课题
圆的有关性质
导入
“一切立体图形中最美的是球，
一切平面图形中最美的是圆”。
————毕达哥拉斯
观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
固定的端点O叫做圆心.
线段OA叫做半径.
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
1. 圆的定义
（1）描述性定义：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，
另一个端点A所形成的图形叫做圆.
（2）集合性定义：圆可以看成是所有到定点（圆心）的距离
等于定长（半径）的点的集合.
2. 圆的表示方法：
·
O
A
知识点一:圆的有关概念
连接圆上任意两点间的线段.
经过圆心的弦叫直径，是圆中最长的弦.
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.如 .
小于半圆的弧叫做劣弧．如 .
大于半圆的弧叫优弧．用三个字母表示，如 .
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
半圆：
3. 圆的有关概念
弦：
直径：
弧：
优弧：
劣弧：
等圆：
能够重合的两个圆叫做等圆. 容易看出：半径相等的两个圆叫做等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等.
等弧：
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
例1
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点 C 为圆心、CB 长为半径的圆恰好经过 AB 的中点 D，则 AC 的长为______________.
同一个圆中的所有半径都相等，“连半径”是常用的辅助线
直角三角形斜边上的中线的性质
巩固1
【巩固】
1. 如图，AB是⊙O的直径，点 C 在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA 的度数是（ ）
A. 25° B. 35° C. 15° D. 20°
A
巩固2
【巩固】
2. 如图，在⊙O中，下列说法不正确的是（ ）
A. AB是⊙O的直径
B. 有5条弦
C. 和 都是劣弧， 是优弧
D. CO是圆 O 的半径
B
1. 圆的轴对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
2. 垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
符号语言：
∵如图，CD是直径，CD⊥AB于点M，
∴AM＝BM，
＝ ，
＝ .
知识点二: 垂直于弦的直径
3. 垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
符号语言：
∵如图，CD是直径，AM＝BM（AB不是直径），
∴ CD⊥AB，
＝ ，
＝ .
例2
【例2】如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为 5，BC＝8，则AB的长为（ ）
A. 8 B. 10 C. D.
D
垂径定理
勾股定理
4
5
巩固1
【巩固】
1. 下列说法不正确的是（ ）
A. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B. 圆有无数条对称轴
C. 圆的每一条直径都是它的对称轴
D. 圆的对称中心是它的圆心
C
巩固2
2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝8 cm，则AE的长为（ ）
【巩固】
A. 8 cm B. 5 cm C. 3 cm D. 2 cm
A
1. 圆的旋转对称性
圆具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合. 因此，圆也是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.
2. 圆心角的定义
顶点在圆心的角叫做圆心角.
如图：∠AOB是 所对的圆心角， 是∠AOB所对的弧.
知识点三:弧、弦、圆心角
3. 弧、弦、圆心角之间的关系
定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
符号语言：
如图，∵∠AOB＝∠COD，
∴ ＝ ，
AB＝CD.
重要结论
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
符号语言：
∴ ∠AOB＝∠COD，AB＝CD.
如图，∵ ＝ ，
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对
的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
符号语言：
如图，∵ AB＝CD，
∴ ＝ ， ＝
∴ ∠AOB＝∠COD，
圆心角
弧
弦
知一得二
例3
【例3】如图，点 A，B，C，D 在⊙O 上，且 AB＝CD.
求证：AC＝BD.
AB＝CD
＝
知一
得二
等量加等量和相等
＝
知一
得二
AC＝BD
【例3】如图，点 A，B，C，D 在⊙O 上，且 AB＝CD.
求证：AC＝BD.
证明：∵AB＝CD
∴ ＝
∴ ＋ ＝ ＋ ，
即 ＝ ，
∴AC＝BD.
巩固1
【巩固】
1. 如图，在⊙O 中，∠AOB＝∠COD，那么 和 的大小关系是（ ）
C
巩固2
2. 如图，C是⊙O上的点，CD⊥OA于点 D，CE⊥OB于点 E，且CD＝CE，则 与 的关系是（ ）
【巩固】
A
1. 圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
2. 圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如图，∠ACB＝ ∠AOB.
知识点四:圆周角
3. 圆周角定理的推论
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等.
推论2
（1）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
（2）90°的圆周角所对的弦是直径.
如图，∠C，∠D都是 所对的圆周角，那么∠C＝∠D.
如图，若AB为直径，则∠C＝∠D＝90°.
如图，若∠C＝90°或∠D＝90°，则AB为直径.
例4
【例4】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠BCD＝40°，
则∠ABD的大小为（ ）
A. 60° B. 50° C. 40° D. 20°
B
巩固1
【巩固】
1. 如图，点 A，B，C 在⊙O上，若∠OAB＝54°，则∠C 的度数为（ ）
A. 54° B. 46° C. 36° D. 27°
C
巩固2
2. 如图，点A，B，C，D在⊙O上， ＝ ，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝___________.
【巩固】
70°
1. 圆内接多边形的定义
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
2. 圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补.
注意：每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.
知识点五:圆内接多边形
例5
【例5】如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，E 是BC 延长线上的一点，已知∠BOD＝130°，则∠DCE 的度数为（ ）
A. 45° B. 50° C. 65° D. 75°
130°
65°
115°
C
巩固1
【巩固】
1. 如图，在⊙O中，∠AOB＝120°，P为劣弧 上的一点，则∠APB的度数
是_____________.
120°
巩固2
【巩固】
2. 如图，四边形ABCD为⊙O 的内接四边形，已知∠C＝∠D. 问AB与CD有怎样的位置关系，请说明理由.
解：AB∥CD
理由如下：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A＋∠C＝180°，
∵∠C＝∠D，
∴∠A＋∠D＝180°，
∴AB∥CD.
课堂巩固
1. 圆的有关概念
（1）圆的定义：①描述性定义；②集合性定义.
（2）圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”.
（3）圆的有关概念：弦、直径、弧、半圆、劣弧、优弧、等圆、等弧.
课堂总结
2. 垂直于弦的直径
课堂总结
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
（2）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并
且平分弦所对的两条弧.
3. 弧、弦、圆心角
（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
（2）重要结论
①在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
②在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
课堂总结
4. 圆周角
课堂总结
（1）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
（2）圆周角定理的推论
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等.
推论2 ①半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
②90°的圆周角所对的弦是直径.
5. 圆内接多边形的性质：圆内接四边形的对角互补.