第27章 相似全章学案
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文档简介
第1课时 相似图形（1）
学习目标：
1．通过生活中的实例，认识图形的相似，并能在诸多图形中找出相似的图形．
2．能在格点中画出相似图形．
学习重难点: 重点：认识形状相同的图形，探索相似图形的定义，以及用定义去判断两个图形是否相似．难点：找出形状相同的图形；在格点中画出相似图形．
学习过程：
一、创设情景 明确目标
到目前为止，我们已接触过很多图形，有规则的，也有不规则的；有形状相同的，也有形状不相同的，本节课我们就来研究形状相同的图形．
二、自主学习 指向目标
自学导读：
自主学习课本P34页P35页上面的内容，思考：
1. 自主学习课本P34页，思考：
观察图形找特点（回答下列问题）
（1）如图（1）同一张底片洗出的不同尺寸的照片中，人物的形状改变了吗？
（2）如图（2），两个足球的形状相同吗？它们的大小呢？
（3）如图（3），两个同一型号的形状相同吗？
大家从刚才看到的四对图形中，发现每一对图形中有什么特点呢？
图（1） 图（2） 图（3）
2. 自主学习课本P35页“思考”并解决．（小组成员之间可以互相讨论）
自我评价：学生活动：反思：全等图形是相似图形吗？
自主解决：
1. ______相同的图形叫做相似图形．两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形__________得到．
2. 下列各组图形中，不是相似形的一组是（ ）
A． B． C． D．
三、合作探究 达成目标1．探究主题一：相似图形的概念
【小组讨论】在下面各组图形中，是相似图形的是__________.
【点拨升华】判断相似图形就是根据相似图形的定义，通过观察，根据“形状相同”这一特征判断，与“大小”、“位置”无关．
变式训练：
1. 下列说法中，不正确的是（ ）
A．同一版的8开中国地图与32开中国地图相似B．亮亮3岁时的照片与15岁时照片相似
C．用放大镜看到的图形与原图形相似 D．所有的圆都相似
2. 下列图形中不是相似图形的是（ ）
A．所有等边三角形 B．所有矩形 C．所有正方形 D．所有的圆
2．探究主题二：在方格纸中画相似图形
【小组讨论】阅读课本P39页第4题并解决．答图直接画在课本上．
【点拨升华】在方格纸中画出与原图形相似的图形实质就是在格点图中把原图形放大或缩小．方法是：先确定一个点（为了方便，一般选图形的一个顶点），利用平移的方法将一边放大或缩小，得到第二顶点，依次作出其他各顶点，最后顺次连接相邻的两个顶点，就得到所要画的图形．
变式训练:
3. 在如图所给的方格图中，任画一个多边形，再将这个多边形放大和缩小．
四、总结梳理 内化目标
（1）这节课我学会了：（2）易错点：
（3）这节课还存在的疑问：
五、达标检测 反思目标
1．指出下列图形是相似图形的是（ ）
A．两张孪生兄弟的照片B．三角板的内、外三角形
C．行书中的“美”和楷书中的“美”D．同一棵树上摘下的两片树叶
2．如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换： （请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换）．
3．举出生活中相似图形的两个例子：
（1） ；
（2） ．
4．找出下面图形中的相似图形.
5．如图4，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出一个与△OAB形状相同且放大了的三角形.
(
A
B
O
图
4
)
第2课时 相似图形（2）
学习目标：
1. 经历探索相似多边形性质的过程，掌握相似多边形的性质．
2. 会根据相似多边形的性质识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．
3. 理解相似比的对应关系．
学习重难点:
重点：理解并掌握相似多边形的性质．难点：运用相似多边形的性质进行相关的计算．
学习过程：
一、创设情景 明确目标
学生活动：思考下列问题：
1. 如下图的左边格点图中，有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．画完后请与同学交流一下．
2. 问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角有何关系？对应边呢？
3. 为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来想像却又不相似呢？相似的两个图形有什么主要特征呢？学完本节课后，这一系列的问题就可迎刃而解．
二、自主学习 指向目标 自学导读：
1. 自主学习课本P36至P37页内容．
（1）填空：
(
C
A
B
) (
A
1
B
1
C
1
)
对比图中的△ABC和△A1B1C1，由于正三角形的每个角都等于60°，可得
∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______．
由△ABC和△A1B1C1是正三角形，可得
AB＝BC＝AC，A1B1＝B1C1＝A1C1．
从而＝＝．
所以说，正三角形都是相似的，它们的对应角________，对应边的比________．
（2）模仿上题填空：
(
C
A
B
F
E
D
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
)
对比图中的六边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1，由于正六边形的每个角都等于，可得
∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______，∠D＝______，∠E＝______，∠F＝______．
由六边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1是正六边形，可得
______＝______，______＝______，______＝______，______＝______，______＝______，______＝______．
从而＝＝＝＝＝．
所以说，正六边形都是相似的，它们的对应角________，对应边的比________．
2. 相似的正多边形对应角相等，对应边的比相等．这个结论对于一般的相似多边形是否成立？
3. 何谓成比例线段？在理解时应注意什么？
4. 相似多边形的性质是什么？如何判断两个多边形相似？
5. 什么是相似比？相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？
自我评价：
1. 对于四条线段a，b，c，d，如果______=______，那么线段a，b，c，d是成比例线段，简称比例线段，理解时注意有顺序要求．
2. 相似多边形对应角______，对应边的比______．反过来，如果两个多边形满足______相等，__________相等，那么这两个多边形相似．
3. 相似多边形________的比称为相似比．当相似比为1时，两个图形______．
4. 解决创设情景，明确目标中的第2题．
三、合作探究 达成目标
1．探究主题一：相似多边形的性质
【小组讨论】课本P37页例题．
【点拨升华】利用相似多边形对应角相等，对应边的比相等求解．
变式训练：
1. 在如图所示的相似梯形中，求未知的边和角．
(
A
′
A
B
C
B
′
C
′
D
D
′
3.2
2
4
4.8
4.5
110°
62°
x
y
z
)
2．探究主题二：相似多边形的判定
【小组讨论】课本P39页“思考”第6题．
【点拨升华】判定两个多边形相似，需同时满足对应角相等，对应边的比相等这两个条件，缺一不可．
变式训练:
2. 在下图的三个矩形中，相似的是（ ）
(
甲
1.5cm
4cm
3cm
4cm
2cm
2cm
乙
丙
)
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
四、总结梳理 内化目标
（1）这节课我学会了：（2）易错点：（3）这节课还存在的疑问：
五、达标检测 反思目标
1．给出下列大小不同的4对几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个菱形；⑤两个小正六边形．其中一定是相似图形的是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
2．下列各组线段（单位：㎝）中，成比例线段的是（ ）
A．1、2、3、4 B．1、2、2、4 C．3、5、9、13 D．1、2、2、3
3．如果两地相距250km，那么在1∶10000000的地图上，它们相距______cm.．
4．已知两个相似多边形的相似比为7:2，且较大多边形的最小边是21cm，则另一个多边形的最小边是_____cm．
5．如果四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，且CD⊥BC，C′D′⊥B′C′，∠A′=135°，根据图5中的条件，求出未知的x，y及∠.
(
A
′
A
B
C
B
′
C
′
D
D
′
21
12
10
15
135°
65°
x
y
)
六、作业布置
必作：
选作：
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形的判定方法（1）
学习目标：
1．理解相似三角形的概念，并会用以证明和计算．
2．体会用相似符号“∽”表示的相似三角形之间的边，角对应关系．
3．了解平行线分线段成比例定理及其推论，会用平行线证明两个三角形相似，并从中建立相等的比，用以证明、计算．
学习重难点:
重点：相似三角形的定义及其判定基本定理．
难点：探究相似三角形判定基本定理的过程．
学习过程：
一、创设情景 明确目标
1. 相似多边形的特征是什么？
2. 怎样判定两个多边形相似？
3. 什么叫相似比？
4. 相似多边形中，最简单的就是相似三角形．如果∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，＝＝，那么△ABC与△A1B1C1相似吗？我们还有其他方法判定两个三角形相似吗？
二、自主学习 指向目标
自学导读：
1. 自主学习课本P40页探究1之上部分内容，思考并填空：
（1） 、 的两个三角形是相似三角形．
（2）△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC________△A′B′C′．
（3）如果两个三角形相似且相似比为1，那么这两个三角形 .
2. 自主学习课本P40页探究1至P41页“思考”之上部分内容，思考并填空：
（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比______．
符号语言叙述：如图所示，
(
A
B
C
D
E
F
l
1
l
2
l
3
l
4
l
5
)
∵l1∥l2∥l3，∴＝（ ），＝，＝（ ），＝．
反思：如何找出图形中的对应线段？
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比________．
你能根据课本P41页图27.2-2中的两个图写出成比例线段吗？看谁写的又多又好．
3. 自主学习课本P41页“思考”至P42页上面部分内容，思考：
（1）体会过点E作与AB平行的直线EF的作用，为什么要作这条辅助线？我们过点D作与AC平行的直线与BC相交，可否证明△ADE∽△ABC？
（2）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形________．
符号语言叙述：如图所示，
(
A
B
C
E
F
)
∵EF∥BC，∴△______∽△______．
自我评价：
1. 已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶5，且∠A=60°，∠B=36°，则△A′B′C′与△ABC的相似比为______，∠C′=______°．
2. 如图，在△ABC中，DE∥BC，则△______∽△______，对应边的比例式为=______=______．
(
A
B
C
D
E
)
三、合作探究 达成目标
1．探究主题一：相似三角形中的边、角对应关系
【小组讨论】（1）如图，已知△ABC ∽△DBE，相似比为k．则∠A＝∠D，∠ABC＝∠ ，∠C＝∠ ；．（注意：相似比是有顺序的，△ABC ∽△DBE，就要用“∽”前的△ABC的一边与“∽”后的△DBE的对应边之比作为相似比）
（2）如图，△ABC∽△EDC，试写出对应角及对应边的比例式，并求出x，y和z．
(
A
B
C
D
E
27
y
x
40
60
z
°
72
°
42
)
【点拨升华】当两个相似三角形用符号“∽”表示时，对应顶点已经给出，即相应位置上的点是对应点，由对应点可以写出对应角、对应边．对顶角相等，两个相等的角是对应角．两个三角形中的最大(或最小)角是对应角．
变式训练：
1. 已知△ABC ∽△A1B1C1，且∠A=50°，∠B=95°，则∠C= °，∠C1= °．
2. 如图，△ABC∽△CDE，B，C，D三点在一条直线上，AB=6，BC=2，DE=4，求BD的长．
(
A
B
C
D
E
)
2．探究主题二：平行线与相似三角形
【小组讨论】（1）解决课本P54页第5题．（要求独立解决）
（2）如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，BC=4cm，求EF的长．
(
A
B
C
E
F
)
【点拨升华】题目中有平行线，可得相似三角形，利用相似三角形的性质，可列出比例式，然后代入就可求出EF的长．
变式训练：
3. 如图，已知△ABC ∽△ADE，AB=30 cm，BD=18 cm，BC=20 cm，∠A=75°，
∠ABC=40°．则∠ADE= 度；∠AED= 度；
= ；DE= cm；AE= cm．
4. 如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE∶EA=2∶3，EF=4，求CD的长．
(
A
B
C
D
E
F
)
四、总结梳理 内化目标
（1）这节课我学会了：
（2）易错点：
（3）这节课还存在的疑问：
(
A
B
C
图
1
D
E
F
)五、达标检测 反思目标
1. 如图1，AD∥EF∥BC，下列比例式不成立的是（ ）
A．= B．=
C．= D．=
2. 如图2，在△ABC中，DE∥BC，小聪认为：∵DE∥BC，∴=；小明认为应是：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=.那么你认为（ ）
A．仅小聪对 B．仅小明对 C．两人均对 D．两人均错
(
A
B
C
图
2
D
E
) (
A
图
3
D
E
F
B
C
4.5
4
6
30
°
45
°
) (
C
B
A
E
D
O
图
4
)
3. 如图3，若△ABC∽△DEF，则∠A的度数为______，DF=______.
4. 如图4，如图15，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，BC=OB，CE是⊙O的切线，切点为D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则CD∶DE的值是________．
5. 如图5，已知菱形ABCD内接于△AEF，AE=5cm，AF=4cm，求菱形的边长.
(
A
B
C
图
5
D
E
F
)
六、作业布置
必作：
选作：
第2课时 相似三角形的判定方法（2）
学习目标：
1．掌握相似三角形的判定定理：“如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似”，“如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似”．
2．会进行简单的证明、计算．
学习重难点:
重点：类似于SSS及SAS两种全等三角形判定方法，探索判定两三角形相似的定理．
难点：探究三角形相似的定理，并运用它们解决问题．
学习过程：
一、创设情景 明确目标
1. 相似三角形的定义：各角______，各边______的两个三角形叫做相似三角形．它也可以用于判定三角形相似．
2. 探索三角形全等的条件的思路：根据三角形全等的定义，两个三角形中有3个角和3条边都对应相等（将3角3边称作三角形的6个元素，即三角形的6个元素都相等），这两个三角形全等. 但在探索三角形全等的条件时，是从两个三角形中有1个元素对应相等开始，逐渐增多条件，来考查三角形是否全等. 这节课，我们就仿照探索三角形全等的条件的思路来探索三角形相似的条件．先从类似于判定三角形全等的SSS方法及SAS方法开始，探索两个三角形相似的条件．
二、自主学习 指向目标
自学导读：
1. （1）联想：两个三角形中，如果三组边对应相等，那么这两个三角形________；如果这两个三角形相似，那么它们的边需要满足什么条件？
（2）请你画△ABC与△A′B′C′，使AB=1cm，A′B′=2cm，AC=1.5cm，A′C′=3cm，即．那么这画的这两个三角形相似吗？再与小组同学画的三角形比一比，你们画的这些三角形都相似吗？
（3）自主学习课本P42页探究2至P43页内容，思考：两个三角形的三边满足什么条件时，它俩相似？请注意仔细阅读P43页中间右侧方框中的内容，从中体会解决问题的思路方法．
相似三角形的判定定理：如果两个三角形的______组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．
符号语言叙述：在△ABC与△A′B′C′中，
∵ ，∴△ABC∽△A′B′C′.
2. （1）联想：两个三角形中，如果两组边对应相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形________．如果两个三角形有1个角对应相等，且夹这个角的两组对应边的比相等，那么这两个三角形相似吗？
（2）如图，在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′=60°，AB=1cm，A′B′=2cm，AC=1.5cm，A′C′=3cm，即. 那么这两个三角形相似吗？
思路提示：取AB，AC的中点分别为D，E两点，连接DE，证明△ABC≌△A′B′C′．
（3）自主学习课本P44页“探究3”．填空：
证明：在线段A′B′（或它的延长线）上截取A′D=AB，过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E，根据引定理可得△A′DE∽△A′B′C′．
(
A
B
C
A
′
B
′
C
′
D
E
)∴=______=______．
又，A′D=AB，
∴．
∴______=______．
又∠______=∠______，
∴△______≌△______．
∴△A′DE∽△A′B′C′．
相似三角形判定定理：如果两个三角形的 对应边的比相等，并且相应的 相等，那么这两个三角形相似．
符号语言叙述：
在△ABC与△A’B’C’中，∵∠ ＝∠ ，，∴△ABC∽△A’B’C’．
自我评价：
1. 如图1，若==，则△_____∽△_____，所以∠DAE=______．
(
A
B
C
图
1
D
E
) (
A
B
C
图
2
D
E
)
2. 如图2，已知=，则△_____∽△_____，所以∠ADE=______．
三、合作探究 达成目标
1．探究主题一：判定三角形相似
【小组讨论】仔细阅读课本P44页例题及其解答过程，并解决“云朵”中的两个问题．
【点拨升华】问题（1）中两角相等，接着看夹这两角的对应边的比是否相等；问题（2）中已知三边长，求出这三组对应边的比看是否相等．相等则相似，不相等则不相似．对于问题（2）这类问题，可以用一个三角形中的长、中、短三条边的长分别与另一个三角形的长、中、短的三边的长相比，看它们的比是否相等．
变式训练：1. 如图1，图2，判断图中的两个三角形是否相似.
(
A
B
C
图
1
D
E
6
4
3
2
) (
A
B
C
图
2
D
E
F
15
25
20
36
27
45
)
2．探究主题二：相似三角形中的分类讨论思想
【小组讨论】阅读课本P45页练习第3题，和同伴交流你的看法．
【点拨升华】未明确相似三角形的对应关系时，应根据不同的对应关系分别计算要求的线段.使另一个三角形框架的边长为2的边与长为4，5，6的边分别对应，进而求解．
变式训练：
2. 一个钢筋三角架边长分别是20cm，50cm，60cm，现在要做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，问有几种不同的截法？
3. 如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，CN=BC，M在CD上滑动，当CM长等于多少时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．
(
A
B
C
D
N
M
E
)
四、总结梳理 内化目标
（1）这节课我学会了：
（2）易错点：
（3）这节课还存在的疑问：
五、达标检测 反思目标
1. △ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC∽△DEF的是（ ）
A．AB=，BC=AC=，DE=，EF=DF=3
B．AB=3，BC=4，CA=5，DE=，EF=2，FD=
C．AB=1，AC=1.5，BC=2，DE=12，EF=8，DF=16
D．AB=3，AC=4，BC=6，DE=6，EF=8，DF=10
2. 下列条件中，能判定△ABC∽△A′B′C′的是（ ）
A．=，∠C=∠C′ B．=，∠B=∠B′
C．=，∠B=∠B′ D．=，∠A=∠A′
3. 在△ABC和△A′B′C′中，若∠B=∠B′，AB=12，BC=8，A′B′=6，则当B′C′=______时，△ABC∽△A′B′C′.
4. 如图1，在4×4的方格图中，△ABC和△DEF都在边长为1的小正方形的顶点上，求证：△ABC∽△DEF.
(
A
B
C
图
1
D
E
F
)
5. 如图2，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟△PBQ与△ABC相似？
(
A
B
C
图
2
P
Q
)
六、作业布置
必作：
选作：
第3课时 相似三角形的判定方法（3）
学习目标：
1．掌握相似三角形的判定定理：“如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似”．
2．了解“斜边的比等于一组直角边的比的两相直角三角形相似”．
3．会进行简单的证明、计算．
学习重难点:
重点：从两角对应相等的角度探究三角形相似的条件．
难点：探究三角形相似的定理，并运用它们解决问题．
学习过程：
一、创设情景 明确目标
根据三角形全等的定义，两个三角形中有3个角和3条边都对应相等（将3角3边称作三角形的6个元素，即三角形的6个元素都相等），这两个三角形全等. 但在探索三角形全等的条件时，是从两个三角形中有1个元素对应相等开始，逐渐增多条件，来考查三角形是否全等. 这节课，我们就仿照探索三角形全等的条件的思路来探索三角形相似的条件. 先从两个三角形只有1个角对应相等开始，探索两个三角形相似的条件．
二、自主学习 指向目标
自学导读：
1. 如果两个三角形只有1个角对应相等，那么这两个三角形相似吗？请每位同学画一画：在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′=60°，
小组内各人画的三角形相似吗？ ．
2. 观察两副三角尺，其中同样角度（与，或与）的两个三角尺相似吗？
3. 如果两个三角形有2角对应相等，那么这两个三角形相似吗？例如，在下图中，在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′=60°，∠B＝∠B′=45°，那么这两个三角形相似吗？
因为∠A＝∠A′=60°，∠B＝∠B′=45°，根据三角形的内角和等于180°，可得∠C＝∠C′=75°，所以这两个三角形的3个角对应相等．
量一量：AB=1.5cm，A′B′=3cm，那么．
请量一量：AC= cm，A′C′= cm，那么．
BC= cm，B′C′= cm，那么．
这两个三角形的3组对应边的比相等吗？这两个三角形相似吗？
4. 自主学习课本P46页探究4．填空：
(
A
B
C
A
′
B
′
C
′
D
E
)证明：如图，在线段A′B′（或它的延长线）上截取A′D=AB，过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E，根据引定理可得△A′DE∽△A′B′C′．
由DE∥B′C′，得∠______=∠B′．
∵∠B=∠B′，
∴∠B=∠______．
又∵______=______，∠A=∠A′，
∴△______≌△______．
∴△A′DE∽△A′B′C′．
相似三角形判定定理：如果一个三角形的 个角与另一个三角形的 个角对应相等，那么这两个三角形相似．
符号语言叙述：
在△ABC与△A′B′C′中，∵∠ ＝∠ ，∠ ＝∠ ，∴△ABC∽△A′B′C′．
自我评价：
1. 如图，锐角三角形ABC的边AB和AC边上的高CE和BF相交于点D，请写出图中一对相似三角形：___________．
三、合作探究 达成目标
1．探究主题一：两角对应相等与三角形相似
【小组讨论】仔细阅读课本P46页例2及其解答过程，讨论证明等积式的思路和方法？
【点拨升华】结合下图进行分析．
(
A
B
C
O
P
D
)
大多数等积式的证明问题都与相似三角形有关，如何寻找相似三角形就成为解决问题的关键，通常是先将等积式转化为比例式．在例题中，如将PA PB=PC PD转化为=，再通过“横看”，即分别观察“=”两边的分子PA，PD与分母PC，PB，从而定出△PAD△PCB；或“竖看”，即分别观察“=”两边分子、分母中的线段PA，PC与PD，PB，从而定出△PAC与△PDB，接着再寻求条件证明它们相似，这种分析方法就是“三点定形法”．
请尝试连接AD，CB，解决课本例题．
变式训练：
1．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，连接BD．
（1）请你找出图中所有的相似三角形；
（2）请选择其中的一对相似三角形予以证明．
思路提示：根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”知∠D=∠C，∠DBC=∠DAC=∠DAB，然后根据两个角对应相等的两个三角形相似作出判断、证明．
2．在上题条件下，若DE=3，EA=7，则BD=______．
2．探究主题二：两个直角三角形的相似
【小组讨论】（1）阅读课本P47页“思考”及下面的证明过程．
了解：满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似．
（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．图中有哪几对相似三角形？为什么？
分析： ∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°．∴∠B+∠BCD=90°．
又∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A=90°．∴∠BCD=∠A．
在△ABC和△CBD中，∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∠BCD=∠A，∴△ABC∽△CBD．
请你再找出其他的几对相似三角形： ， ．
【点拨升华】有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似．
变式训练：
3. 如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，则△ABC∽△ ，△ABC∽△ ，△ABC∽△ ．
(
E
D
C
B
A
)
四、总结梳理 内化目标
（1）这节课我学会了：
（2）易错点：
（3）这节课还存在的疑问：
五、达标检测 反思目标
1．下列结论：①所有的等腰三角形都相似，②有一个角是80°的两个等腰三角形相似，③有一个角是100°的两个等腰三角形相似，④有一个角相等的两个等腰三角形相似，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则的值为（ ）
A． B． C． D．
(
图
1
) (
图
2
)
3．如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高.
(1) 若AD=8，BD=2，则CD= ；
(2) 若BD=4，AB=9，则BC= ；
(3) 若AD=2，AB=3，则AC= ；
(4) 若CD=8，BD=4，则AD= ．
(5) 若AB=5，AC=4，则CD= .
4．（1）如图3，请你增加一个条件：∠ ＝∠ （或∠ ＝∠ ），使△ABC ∽△ACD．
（2）如图4，请你增加一个条件：∠ ＝∠ （或∠ ＝∠ ），使△ABC ∽△AED．
(
图
3
图
4
)
5．（1）如图3，已知AC=6，AD=4，∠B =∠ACD，求AB的长．
解：在△ABC与△ACD中，∵∠ ＝∠A，∠ =∠ACD，∴△ABC ∽ △ ．
∴，即AC2=ADAB，∴62=4 AB，∴AB= .
（2）如图4，已知AC=6，AD=2，AE=3，∠B =∠AED，求AB的长．
解：在△ABC与△AED中，∵∠ ＝∠A，∠ =∠AED，∴△ABC ∽ △ ．
∴，即AE =ADAB，∴ × =2 AB，∴AB= .
反思解题经验：如图3，如果△ABC∽△ACD，那么AC2=ADAB.
如图4，如果△ABC∽△AED， 那么AEAC=ADAB.
六、作业布置
必作：
选作：
27.2.2 相似三角形应用举例
学习目标：
1. 会利用相似三角形的知识测量物体的高度和宽度．
2. 能利用相似三角形的知识解决一些实际问题．
学习重难点:
重点：运用三角形相似解决实际问题．
难点：在实际问题中建立数学模型．
学习过程：
一、创设情景 明确目标
1. 在前面，我们学过哪些判定三角形相似的方法？相似三角形的性质是什么？
2. 观察下列图片，你会利用相似三角形知识解决一些不能直接测量的物体（如塔高、河宽等）的长度或高度的问题吗？
二、自主学习 指向目标
自学导读：自主学习课本P48页至P50页内容．思考：
1. 根据例题3，我们知道由于太阳离我们非常遥远，所以可以把太阳逃近似地看成平行光线．那么，在阳光下，同一时刻不同物体的物高与影长的比之间有什么关系？
2. 请你围绕下图，根据例题4的符号语言，将其叙述成测量河宽的一种方案．可以口述给同伴听听．
3. 仔细阅读例题5中的分析，观察下图：
，其中仰角是________．
自我评价：
1. 解决课本P50页练习第1题，将你的做法说给同伴听听．
2. 解答例题5，你还有哪些方法？请与同组成员尽可能多的想出解决问题的方法．
三、合作探究 达成目标
1．探究主题一：利用太阳光测量物体的高度
【小组讨论】围绕自我评价1，再次仔细阅读例题3，请设计出测量你所在学校旗杆高度的测量方案．
【点拨升华】在同一时刻，太阳光下不同物体的高度之比与其影长之比相等．
变式训练：
1．如图，要测量旗杆AB的高度，可在地面上竖一根竹竿DE，测量出DE的长以及DE和AB在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求AB长的等式是（ ）.
A． B． C． D．
2．某同学想测量旗杆的高度，在同一时刻量得另一同学的身高是1.5m，其影长是1m，旗杆的影长是8m，则旗杆的高度是_______m．
3．如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高米的楚阳同学站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得AC=2米，AB=10米，则旗杆的高度是________米．
2．探究主题二：利用相似三角形测量物体的高度和宽度
【小组讨论】（1）对于例题4这样测量河宽的问题，你还能设计出其他测量方案吗？
（2）对于例题5，你还有其它解法吗？
【点拨升华】在解决某些不能直接度量的物体的高度或宽度等测量类问题时，可以借助其他物体间接测量，这时常常要构造相似三角形来解决．
变式训练：
4. 如图，，，，，交于点，则，图中的相似三角形是________∽________．.
5. 如图，小明站在处看甲、乙两楼楼顶上的点和点，点，，在同一条直线上，点，分别在点，的正下方，且，，三点在同一条直线上，已知，相距米，，相距米，乙楼高为米，求甲楼的高度（小明的身高忽略不计）.
四、总结梳理 内化目标
（1）这节课我学会了：
（2）易错点：
（3）这节课还存在的疑问：
五、达标检测 反思目标
1．小刚身高，测得他站立在阳光下的影子长为，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）.
A. B. C. D.
2．如图，为了测量一池塘的宽，在岸边找一点，测得，在的延长线上找一点，测得，过点作∥，交的延长线于点，测得.请你据此求出池塘的宽=________.
3．小颖同学欲根据光的反射定律测量一棵大树的高度，如图10，其测量方法是：把镜子放在离树（）9.2米远的点处，然后沿着直线后退到点，这时恰好在镜子里看到树梢的顶点，再用皮尺量得米，观察者身高米，请你计算树的高度约为________米. （精确到0.1米）
4．如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB，当支点O在距离A端2米时，A端的人可以将B端的人跷高1.5米，那么当支点O在AB的中点时，A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高 米．
(
A
O
B
C
地面
)
5．在实践课上，王老师带领同学们到教室外利用树影测树高，他在一个时刻测得直立的标杆高米，影长是米，但同学们在同一时间测树影时，发现树影的上半部分落在墙上（如图3所示），测得米，米.你能帮助他们求出树高吗？
六、作业布置
必作：
选作：
27.2.3 相似三角形的周长与面积
学习目标：
1．理解相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
2．能够运用相似三角形及相似多边形的周长与面积的性质解决相关问题．
学习重难点:
重点：相似三角形和相似多边形的周长、面积的性质的理解与运用．
难点：探索证明相似多边形面积的性质．
学习过程：
一、创设情景 明确目标
（1）如果两个三角形相似，那么它们的对应边、对应角各有什么特性？
（2）研究三角形问题，除了探讨边和角之外，我们还经常计算它的周长和面积，那么两个相似三角形的周长和面积有什么特性呢？进一步地说，两个相似多边形的周长和面积又有什么特性呢？
二、自主学习 指向目标
自学导读：阅读课本P51页至P52页内容，并解决如下问题：
1. 如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？两个相似多边形呢？
2. 如果两个三角形相似，它们的面积有什么关系？
特别地，相似三角形对应边上的高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比吗？
自我评价：
请将你对上面三个问题的想法说与同伴听听．
三、合作探究 达成目标
1．探究主题一：相似三角形的周长比等于相似比
【小组讨论】尝试解决下列问题：
（1）请测量课前准备好的相似比为的两个相似三角形的各边长并分别计算周长，根据结果能猜想得出什么结论？
（2）类比着猜想两个相似多边形的周长之间会有什么关系？
（3）写出你得到的两个命题．
（4）请根据命题1的题设和结论写出已知和求证．
（5）请分析如何证明？写出证明过程．
（6）类似地，如何证明命题2？
【点拨升华】证明命题1时，注意学会用相似比与其中一个三角形各边长的积分别表示另一个三角形的各边．证明命题2，对于四边形，可以把它转化为两个三角形，可以直接利用前面命题1的结论．
变式训练：
1．如果DE是△ABC的中位线，则△ADE和△ABC的周长之比为 ．
2．探究主题二：相似三角形的面积比等于相似比的平方
【小组讨论】如图，△ABC∽△A’B’C’，相似比为k，它们的面积比是多少？
(
A
B
C
A'
B'
C'
)
（1）欲探讨三角形的面积，图中还需添加什么辅助线？
（2）相似三角形对应边上的高（对应高）与相似比有何关系？怎么证明？
（3）如何计算两相似三角形的面积比？
（4）面积比与相似比关系如何？
（5）总结所得结论并规范写出证明过程．
【点拨升华】“相似三角形的对应高之比等于相似比”这一性质较为常用，常用来测量物体的高度或距离．另外，相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
变式训练：
2. 如图，已知D、E分别是△ABC的AB、 AC边上的点，DE∥BC且S△ADE：S四边形DBCE=1:8 那么AE:AC等于（ ）
A．1:9 B．1:3 C．1:8 D．1:2
(
B
A
C
D
E
)
3．探究主题三：与相似三角形的周长比、面积比、相似比有关的计算
【小组讨论】自主阅读课本P52页例6，思考：
（1）如何证明问题中的两个三角形相似？请口述证明依据和同伴交流．
（2）相似三角形的周长比与面积比之间有何关系？
【点拨升华】已知相似比、周长比、面积比三者之一，可求出另外两个．相似三角形的面积比等于周长比的平方．
变式训练：
3. 在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（ ）
A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．４，6
4. 如图所示，□ABCD中，AE:EB=1:2，S△AEF=6cm2，则S△CDF= ．
四、总结梳理 内化目标
（1）这节课我学会了：
（2）易错点：
（3）这节课还存在的疑问：
五、达标检测 反思目标
1．如图,在△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，若△ABC的周长是20cm，则△DEF的周长是（ ）
A.5cm B.10cm C.15cm D.20cm
2． 已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（ ）
A.1:2 B.1:4 C.2:1 D.4:1
3．如图，在△ABC和△BED中， = = = ，且△ABC与△BED的周长之差为10cm，则△ABC的周长为 cm．
(
A
B
C
D
E
)
4．如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D，BC=3，AB=5，写出其中的一对相似三角形是 和 ；并写出它们的面积比为 ．
(
C
A
B
D
)
5．如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=CD．
⑴求证：△ABF∽△CEB；
⑵若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积。
(
A
B
C
D
E
F
)
六、作业布置
必作：
选作：
27.3 位似
第1课时 位似（1）
学习目标：
1．掌握位似图形的定义、性质和画法．
2．掌握位似与相似的联系与区别．
学习重难点:
重点：位似图形的定义．位似图形的作图．位似与相似的关系．
难点：位似图形的准确作图．
学习过程：
一、创设情景 明确目标
先后观察、欣赏几组图片．
（1）
对比：
（2）
（3）
教师提出问题：
（1）观察第一张图片，有什么感觉？上下对比两张美术字，你喜欢哪张？
（2）这几条热带鱼组成了一列纵队，这支队伍为什么那么整齐划一？
（3）这张图片上画的是什么？怎样从胶片上的一朵小花得到屏幕上的那朵大花？
这几幅图片表示出了图形之间的什么特殊关系？这就是我们本节课要学习的内容：位似．
二、自主学习 指向目标
自学导读：阅读课本P59页至P60页内容，思考：
1. 满足什么特征的两个图形是位似图形？何谓位似中心？
2. 怎样利用位似知识，画一个图形的位似图形？你能在演草纸上尝试画一个四边形的位似图形吗？并请结合你所画的图形阐述上1中答案．
自我评价：
1. 如果两个图形不仅相似，而且每一组 所在的直线都经过同一个点，这样的两个图形叫做 ，这个点叫做 ．
2. 如下图所示，不是位似图形的是（ ）
三、合作探究 达成目标
1．探究主题一：位似图形的概念
【小组讨论】围绕课本P59页图形（如图）讨论，下列每组中的两个图形是不是位似图形？如果是，分别指出位似中心；如果不是，请说明理由．
(
O
) (
O
)
(
O
)
【点拨升华】两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心．判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：一是这两个图形是相似的，二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点．
变式训练：
1．画出下列图形的位似中心．
2．探究主题二：位似图形的性质
【小组讨论】如图，BC∥ED，下列说法不正确的是（ ）
A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心
C．B与D、C与E是对应位似点 D．AE:AD是位似比
(
B
C
D
E
A
)
【点拨升华】位似图形的所有对应点的连线所在的直线交于一点．位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等．位似图形的相似比也叫做位似比，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
变式训练：
2. 如图，四边形木框ABCD在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形A’B’C’D’，若AB∶A’B’＝1∶2，则四边形ABCD的面积∶四边形A’B’C’D’的面积为（ ）
A．4∶1 B．∶1 C．1∶ D．1∶4
(
D
A
B
C
D′
B
′
C′
A′
灯泡
)
3．探究主题三：画位似图形
【小组讨论】再次阅读课本P60页内容，试讨论画位似图形的一般步骤是什么？
思路提示：先取一个点，再确定各个对应点，最后画出位似图形．
解决问题：如图，已知△ABC，画一个新△A′B′C′，使△A′B′C′与原△ABC的相似比为1：2．
【点拨升华】画一个图形的相似图形，可以利用位似的方法，要使所画的图形与原图形的相似比为1：2，也就是说新图形上的各顶点到位似中心的距离之比为1：2．因此应先选出一点为位似中心O，将顶点A与位似中心O连结，并延长至A′，使OA：OA′=2：1，即可作出A点的对应点A′．同样可作出其他顶点的对应点，顺次连结各对应顶点即可．作出的图形可以在位似中心的同侧，也可以在位似中心的两侧．
变式训练：
3. 请用另一种方法完成上题．
四、总结梳理 内化目标
（1）这节课我学会了：
（2）易错点：
（3）这节课还存在的疑问：
五、达标检测 反思目标
1．下列说法正确的个数为（ ）
①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间；④若五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，则其中△ABC与△A′B′C′也是位似的，且位似比相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB:FG=2:3，则下列结论正确的是( )
A．2DE=3MN B．3DE=2MN C．3∠A=2∠F D．2∠A=3∠F
3．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2∶3，已知AB＝4，则DE的长为 ___．
4．如图，用直尺画出下面位似图形的位似中心．
5．如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出△OAB的一个位似图形，使两个图形以O为位似中心，且所画图形与△OAB的位似比为2︰1．
六、作业布置
必作：
选作：
第2课时 位似（2）
学习目标：
1. 理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之间的联系．
2. 能够熟练准确地利用坐标变化将一个图形放大与缩小．
学习重难点:
重点：归纳总结坐标变化规律．
难点：将一个图形放大与缩小．
学习过程：
一、创设情景 明确目标
在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．本节课就来学习这方面的知识．
二、自主学习 指向目标
自学导读：阅读课本P61页至P62页内容，思考：
1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？
2. 所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？
3. 如何在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，画一个图形的位似图形？
自我评价：
1. 自主完成课本P61页填空．
2. 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于________．
3. 在课本P62页图27.3-5中，画出四边形ABCD在第四象限的位似图形．
三、合作探究 达成目标
1．探究主题一：坐标系中的位似
【小组讨论】再次阅读课本P61页内容，思考：
如图所示，△AOB的A、B两顶点的坐标分别为A（3，0），B（3，2），若△AOB与△DOE为位似图形，且位似比为3:2，则D点坐标为 ，E点的坐标为 ．
(
-1
1
2
3
1
2
3
A
B
D’
E’
)
【点拨升华】由图可知，△AOB与△DOE是以原点为位似中心、位似比为3:2的位似图形，对应顶点的坐标之比为(－3):2，所以可由A、B的坐标计算出D和E的坐标．值得注意的是在解决位似图形中对应点的坐标关系时，不可忽略坐标比为－k这种情况．
变式训练：
1．如图，小朋在坐标系中以A为位似中心画了两个位似的直角三角形，可不小心把E点弄脏了，则E点坐标为（ ）
A．(4，－3) B．(4，－2) C．(4，－4) D．(4，－6)
(
A
(
－
5,3)
B
(1,3)
C
D
(4,3)
(1,
－
1)
)
2．探究主题一：平面直角坐标系中的图形变换
【小组讨论】解决问题：将图中的△ABC做下列运动，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．
（1）沿y轴正向平移3个单位长度；
（2）关于x轴对称；
（3）以C为位似中心，将△ABC放大2倍；
（4）以C为中心，将△ABC顺时针旋转180°．
(
B
C
A
)
【点拨升华】归纳之前学习的其他几种变换：平移、翻折、旋转，对四种变换的异同点进行总结，以灵活运用．
变式训练：
2. 如图，△ABC在方格纸中．
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A（2，3），C（6，2），并求出B点坐标；
（2）以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′．
（3）计算△A′B′C′的面积S．
(
A
B
C
)
四、总结梳理 内化目标
（1）这节课我学会了：
（2）易错点：
（3）这节课还存在的疑问：
五、达标检测 反思目标
1．将平面直角坐标系中某个图案的各点坐标作如下变化，其中属于位似变换的是（ ）
A．将各点的纵坐标乘以2，横坐标不变 B．将各点的横坐标除以2，纵坐标不变
C．将各点的横坐标、纵坐标都乘以2 D．将各点的纵坐标减去2，横坐标加上2
2．已知△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（－2，3），（－1，0），把它们的横坐标和纵坐标分别变成原来的2倍，得到点A′，B′，C′．下列说法正确的是（ ）
A．△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点（1，0）
B．△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）
C．△A′B′C′与△ABC是相似图形，但不是位似图形
D．△A′B′C′与△ABC不是相似图形
3．如图所示，某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点( )
A．（－2a，－2b） B．（－a，－2b） C．（－2b，－2a） D．（－2a，－b）
(
x
O
2
－
1
1
y
)
4．如图，正方形ABCD和正方形OEFG中, 点A和点F的坐标分别为 (3,2)，(－1,－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是______________．
(
y
A
B
C
D
E
F
G
)
5．已知△ABC的三个顶点坐标如下表：
（1）将下表补充完整，并在直角坐标系中，画出△A′B′C′；
（2）观察△ABC与△A′B′C′，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论．
六、作业布置
必作：
选作：
第二十七章 整理与复习
学习目标：
1. 通过复习，梳理本章知识，构建知识网络；
2. 理解相似图形、相似多边形以及相似三角形的概念，了解相似是图形的一种基本变换；
3. 掌握相似三角形的识别方法及相似三角形的有关性质；
4. 能运用相似三角形的知识解决一些实际问题；
5. 掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小；
6. 会用直角坐标系来描述物体的位置，用坐标的方法研究图形的运动变换，体会数与形间的关系．
学习重难点:
重点：一元二次方程的解法及应用．
难点：建立一元二次方程模型解决实际问题．
学习过程：
一、创设情景 明确目标
构建本章知识网络，让我们一起走进相似复习之路吧．
二、自主学习 指向目标
自学导读：自读课本，完成如下问题：
1. 相似图形、相似多边形.
①相似图形；②相似多边形的相似比；③比例线段；④相似多边形的特征；⑤相似多边形的识别．
2. 什么是相似三角形 什么叫相似比？
3. 相似三角形有哪些识别方法？
4. 相似三角形的有哪些性质？
5. 什么叫做位似 什么叫做位似中心？
6. 数学上确定点的位置的常用方法有哪些？
7. 经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小之后，点的坐标怎样变化？
自我评价：
1. 对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比______，如____（填“>，<或=”），我们就说这四条线段是成比例线段，简称__________．
2. 相似多边形对应角______，对应边的比______．我们把相似多边形对应边的比称为相似比，注意当相似比为1时，相似的两个图形是______．
3. 对应角______，对应边的比______的三角形，叫做相似三角形．注意在用符号“∽”表示两个三角形相似时，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，而用文字“相似”来叙述两个三角形相似时，则无此要求．
4. 平行线分线段成比例定理
定理：三条平行线截两条直线，所得的_________的比相等．
推论：________三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比______．
5. 相似三角形的判定
（1）基本定理：________三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
（2）如果两个三角形的三组对应边的比______，那么这两个三角形相似．
（3）如果两个三角形的两组对应边的比______，并且相应的______相等，那么这两个三角形相似．
（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角__________，那么这两个三角形相似．
（5）如果两个直角三角形的斜边的比和另一个对应的________的比相等，那么这两个直角三角形相似．
（6）识别相似三角形的方法除定义和基本定理外主要有三种，其中使用最多的是两组角分别对应相等的两个三角形相似，即“AA”；如果既有边又有角的条件可以考虑“两边夹角”的方法识别，即“SAS”；如果只有边的条件就可考虑用“三边成比例”的方法识别，即“SSS”．
6. 相似三角形的性质
（1）对应角______，对应边的比______；
（2）对应线段（对应边上的高、中线、对应角的平分线）的比等于________；
（3）周长的比等于________，面积比等于_____________．
7. 相似三角形的知识在实际中应用非常广泛，主要是运用相似三角形的有关性质来测量、计算那些不易直接测量的物体的高度和宽度．解答时，首先要读懂题意，将实际问题中存在的本质的东西抽象，转化为数学中的几何问题并画出图形，最后通过对数学问题的求解得出符合实际问题的答案．
8. 位似图形是一种特殊的相似图形，是指满足如下条件的两个图形，① 都是_____图形；②每对对应点所在的直线都___________；③对应边________．利用位似的方法可以将一个多边形放大或缩小．
9. 在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于_______．画一个图形的位似图形，关键在于画出图形的特殊点经过变换后的对应点，然后顺次连接这些对应点即可．
三、合作探究 达成目标
1．探究主题一：等积式或比例式的证明
【小组讨论】解决问题：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过点C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F．求证：BP2=PE·PF．
【点拨升华】证等积式或比例式，一般通过两个相似三角形证．但对于一些题目，直接求证有一定的难度（或无法证明）时，可通过“中间量”拱桥，将问题转化为简单问题来解决．题中四线段BP，PE，PF，BP在同一直线上，不存在两个相似三角形，因此应通过等线段、等比、等积来代替．由条件易想到连结PC，将BP用PC代替，证明△EPC与△CPF相似即可．
变式训练：
1．如图，AE为△ABC的角平分线，D为AB上一点，并且∠ACD=∠B，CD交AE于F．求证：CE·CF=FD·PB．
(
A
B
C
D
E
F
)
2．（2012年黄冈市）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D．连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）求证：DB2＝AB BE．
思路提示：（1）欲证明DE为⊙O的切线，需连接OD，证明OD⊥DE．（2）可证明△ADB∽△DEB，产生相似比，进而得到等积式．
2．探究主题二：相似三角形的应用
【小组讨论】解决问题：（2012年娄底市）如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA＝1.52米，OB＝4米，OM＝5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM 米．
(
B
O
A
M
N
)
【点拨升华】利用相似三角形性质解决实际问题是本章的重点之一．解决这类问题的关键是将实际问题转化为相似三角形模型，然后利用相似三角形判定和性质解决问题．联想现实情景，发现OA∥MN，所以△BOA∽△BMN，然后利用相似三角形对应边的比相等求解．实际中，有部分学生会误认为＝，错误的求得MN＝1.9米，望注意．
变式训练：
3. （2012年北京市）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40㎝，EF＝20㎝，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝__________m．
四、总结梳理 内化目标
（1）这节课我学会了：
（2）易错点：
（3）这节课还存在的疑问：
五、达标检测 反思目标
1．（2012年铜仁市）如图1，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2:1，则下列结论正确的是（ ）
(
图
1
)
A．∠E=2∠K B．BC=2HI
C．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长
D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL
2．（2012年海南省）如图2，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
(
A
B
D
C
图
2
)
3．（2012年湘潭市）如图3，在□ABCD中，点E在DC上，若EC:AB＝2:3，EF＝4，则BF＝__________．
(
图
3
)
4．如图4，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为________．
(
图
4
)
5．（2012年凉山州）如图5，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上且AE＝8，EF⊥BE交CD于点F．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
(2) 求EF的长．
(
图
5
A
C
B
D
E
F
)
六、作业布置
必作：
选作：
学习目标：
1．通过生活中的实例，认识图形的相似，并能在诸多图形中找出相似的图形．
2．能在格点中画出相似图形．
学习重难点: 重点：认识形状相同的图形，探索相似图形的定义，以及用定义去判断两个图形是否相似．难点：找出形状相同的图形；在格点中画出相似图形．
学习过程：
一、创设情景 明确目标
到目前为止，我们已接触过很多图形，有规则的，也有不规则的；有形状相同的，也有形状不相同的，本节课我们就来研究形状相同的图形．
二、自主学习 指向目标
自学导读：
自主学习课本P34页P35页上面的内容，思考：
1. 自主学习课本P34页，思考：
观察图形找特点（回答下列问题）
（1）如图（1）同一张底片洗出的不同尺寸的照片中，人物的形状改变了吗？
（2）如图（2），两个足球的形状相同吗？它们的大小呢？
（3）如图（3），两个同一型号的形状相同吗？
大家从刚才看到的四对图形中，发现每一对图形中有什么特点呢？
图（1） 图（2） 图（3）
2. 自主学习课本P35页“思考”并解决．（小组成员之间可以互相讨论）
自我评价：学生活动：反思：全等图形是相似图形吗？
自主解决：
1. ______相同的图形叫做相似图形．两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形__________得到．
2. 下列各组图形中，不是相似形的一组是（ ）
A． B． C． D．
三、合作探究 达成目标1．探究主题一：相似图形的概念
【小组讨论】在下面各组图形中，是相似图形的是__________.
【点拨升华】判断相似图形就是根据相似图形的定义，通过观察，根据“形状相同”这一特征判断，与“大小”、“位置”无关．
变式训练：
1. 下列说法中，不正确的是（ ）
A．同一版的8开中国地图与32开中国地图相似B．亮亮3岁时的照片与15岁时照片相似
C．用放大镜看到的图形与原图形相似 D．所有的圆都相似
2. 下列图形中不是相似图形的是（ ）
A．所有等边三角形 B．所有矩形 C．所有正方形 D．所有的圆
2．探究主题二：在方格纸中画相似图形
【小组讨论】阅读课本P39页第4题并解决．答图直接画在课本上．
【点拨升华】在方格纸中画出与原图形相似的图形实质就是在格点图中把原图形放大或缩小．方法是：先确定一个点（为了方便，一般选图形的一个顶点），利用平移的方法将一边放大或缩小，得到第二顶点，依次作出其他各顶点，最后顺次连接相邻的两个顶点，就得到所要画的图形．
变式训练:
3. 在如图所给的方格图中，任画一个多边形，再将这个多边形放大和缩小．
四、总结梳理 内化目标
（1）这节课我学会了：（2）易错点：
（3）这节课还存在的疑问：
五、达标检测 反思目标
1．指出下列图形是相似图形的是（ ）
A．两张孪生兄弟的照片B．三角板的内、外三角形
C．行书中的“美”和楷书中的“美”D．同一棵树上摘下的两片树叶
2．如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换： （请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换）．
3．举出生活中相似图形的两个例子：
（1） ；
（2） ．
4．找出下面图形中的相似图形.
5．如图4，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出一个与△OAB形状相同且放大了的三角形.
(
A
B
O
图
4
)
第2课时 相似图形（2）
学习目标：
1. 经历探索相似多边形性质的过程，掌握相似多边形的性质．
2. 会根据相似多边形的性质识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．
3. 理解相似比的对应关系．
学习重难点:
重点：理解并掌握相似多边形的性质．难点：运用相似多边形的性质进行相关的计算．
学习过程：
一、创设情景 明确目标
学生活动：思考下列问题：
1. 如下图的左边格点图中，有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．画完后请与同学交流一下．
2. 问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角有何关系？对应边呢？
3. 为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来想像却又不相似呢？相似的两个图形有什么主要特征呢？学完本节课后，这一系列的问题就可迎刃而解．
二、自主学习 指向目标 自学导读：
1. 自主学习课本P36至P37页内容．
（1）填空：
(
C
A
B
) (
A
1
B
1
C
1
)
对比图中的△ABC和△A1B1C1，由于正三角形的每个角都等于60°，可得
∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______．
由△ABC和△A1B1C1是正三角形，可得
AB＝BC＝AC，A1B1＝B1C1＝A1C1．
从而＝＝．
所以说，正三角形都是相似的，它们的对应角________，对应边的比________．
（2）模仿上题填空：
(
C
A
B
F
E
D
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
)
对比图中的六边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1，由于正六边形的每个角都等于，可得
∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______，∠D＝______，∠E＝______，∠F＝______．
由六边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1是正六边形，可得
______＝______，______＝______，______＝______，______＝______，______＝______，______＝______．
从而＝＝＝＝＝．
所以说，正六边形都是相似的，它们的对应角________，对应边的比________．
2. 相似的正多边形对应角相等，对应边的比相等．这个结论对于一般的相似多边形是否成立？
3. 何谓成比例线段？在理解时应注意什么？
4. 相似多边形的性质是什么？如何判断两个多边形相似？
5. 什么是相似比？相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？
自我评价：
1. 对于四条线段a，b，c，d，如果______=______，那么线段a，b，c，d是成比例线段，简称比例线段，理解时注意有顺序要求．
2. 相似多边形对应角______，对应边的比______．反过来，如果两个多边形满足______相等，__________相等，那么这两个多边形相似．
3. 相似多边形________的比称为相似比．当相似比为1时，两个图形______．
4. 解决创设情景，明确目标中的第2题．
三、合作探究 达成目标
1．探究主题一：相似多边形的性质
【小组讨论】课本P37页例题．
【点拨升华】利用相似多边形对应角相等，对应边的比相等求解．
变式训练：
1. 在如图所示的相似梯形中，求未知的边和角．
(
A
′
A
B
C
B
′
C
′
D
D
′
3.2
2
4
4.8
4.5
110°
62°
x
y
z
)
2．探究主题二：相似多边形的判定
【小组讨论】课本P39页“思考”第6题．
【点拨升华】判定两个多边形相似，需同时满足对应角相等，对应边的比相等这两个条件，缺一不可．
变式训练:
2. 在下图的三个矩形中，相似的是（ ）
(
甲
1.5cm
4cm
3cm
4cm
2cm
2cm
乙
丙
)
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
四、总结梳理 内化目标
（1）这节课我学会了：（2）易错点：（3）这节课还存在的疑问：
五、达标检测 反思目标
1．给出下列大小不同的4对几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个菱形；⑤两个小正六边形．其中一定是相似图形的是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
2．下列各组线段（单位：㎝）中，成比例线段的是（ ）
A．1、2、3、4 B．1、2、2、4 C．3、5、9、13 D．1、2、2、3
3．如果两地相距250km，那么在1∶10000000的地图上，它们相距______cm.．
4．已知两个相似多边形的相似比为7:2，且较大多边形的最小边是21cm，则另一个多边形的最小边是_____cm．
5．如果四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，且CD⊥BC，C′D′⊥B′C′，∠A′=135°，根据图5中的条件，求出未知的x，y及∠.
(
A
′
A
B
C
B
′
C
′
D
D
′
21
12
10
15
135°
65°
x
y
)
六、作业布置
必作：
选作：
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形的判定方法（1）
学习目标：
1．理解相似三角形的概念，并会用以证明和计算．
2．体会用相似符号“∽”表示的相似三角形之间的边，角对应关系．
3．了解平行线分线段成比例定理及其推论，会用平行线证明两个三角形相似，并从中建立相等的比，用以证明、计算．
学习重难点:
重点：相似三角形的定义及其判定基本定理．
难点：探究相似三角形判定基本定理的过程．
学习过程：
一、创设情景 明确目标
1. 相似多边形的特征是什么？
2. 怎样判定两个多边形相似？
3. 什么叫相似比？
4. 相似多边形中，最简单的就是相似三角形．如果∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，＝＝，那么△ABC与△A1B1C1相似吗？我们还有其他方法判定两个三角形相似吗？
二、自主学习 指向目标
自学导读：
1. 自主学习课本P40页探究1之上部分内容，思考并填空：
（1） 、 的两个三角形是相似三角形．
（2）△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC________△A′B′C′．
（3）如果两个三角形相似且相似比为1，那么这两个三角形 .
2. 自主学习课本P40页探究1至P41页“思考”之上部分内容，思考并填空：
（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比______．
符号语言叙述：如图所示，
(
A
B
C
D
E
F
l
1
l
2
l
3
l
4
l
5
)
∵l1∥l2∥l3，∴＝（ ），＝，＝（ ），＝．
反思：如何找出图形中的对应线段？
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比________．
你能根据课本P41页图27.2-2中的两个图写出成比例线段吗？看谁写的又多又好．
3. 自主学习课本P41页“思考”至P42页上面部分内容，思考：
（1）体会过点E作与AB平行的直线EF的作用，为什么要作这条辅助线？我们过点D作与AC平行的直线与BC相交，可否证明△ADE∽△ABC？
（2）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形________．
符号语言叙述：如图所示，
(
A
B
C
E
F
)
∵EF∥BC，∴△______∽△______．
自我评价：
1. 已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶5，且∠A=60°，∠B=36°，则△A′B′C′与△ABC的相似比为______，∠C′=______°．
2. 如图，在△ABC中，DE∥BC，则△______∽△______，对应边的比例式为=______=______．
(
A
B
C
D
E
)
三、合作探究 达成目标
1．探究主题一：相似三角形中的边、角对应关系
【小组讨论】（1）如图，已知△ABC ∽△DBE，相似比为k．则∠A＝∠D，∠ABC＝∠ ，∠C＝∠ ；．（注意：相似比是有顺序的，△ABC ∽△DBE，就要用“∽”前的△ABC的一边与“∽”后的△DBE的对应边之比作为相似比）
（2）如图，△ABC∽△EDC，试写出对应角及对应边的比例式，并求出x，y和z．
(
A
B
C
D
E
27
y
x
40
60
z
°
72
°
42
)
【点拨升华】当两个相似三角形用符号“∽”表示时，对应顶点已经给出，即相应位置上的点是对应点，由对应点可以写出对应角、对应边．对顶角相等，两个相等的角是对应角．两个三角形中的最大(或最小)角是对应角．
变式训练：
1. 已知△ABC ∽△A1B1C1，且∠A=50°，∠B=95°，则∠C= °，∠C1= °．
2. 如图，△ABC∽△CDE，B，C，D三点在一条直线上，AB=6，BC=2，DE=4，求BD的长．
(
A
B
C
D
E
)
2．探究主题二：平行线与相似三角形
【小组讨论】（1）解决课本P54页第5题．（要求独立解决）
（2）如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，BC=4cm，求EF的长．
(
A
B
C
E
F
)
【点拨升华】题目中有平行线，可得相似三角形，利用相似三角形的性质，可列出比例式，然后代入就可求出EF的长．
变式训练：
3. 如图，已知△ABC ∽△ADE，AB=30 cm，BD=18 cm，BC=20 cm，∠A=75°，
∠ABC=40°．则∠ADE= 度；∠AED= 度；
= ；DE= cm；AE= cm．
4. 如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE∶EA=2∶3，EF=4，求CD的长．
(
A
B
C
D
E
F
)
四、总结梳理 内化目标
（1）这节课我学会了：
（2）易错点：
（3）这节课还存在的疑问：
(
A
B
C
图
1
D
E
F
)五、达标检测 反思目标
1. 如图1，AD∥EF∥BC，下列比例式不成立的是（ ）
A．= B．=
C．= D．=
2. 如图2，在△ABC中，DE∥BC，小聪认为：∵DE∥BC，∴=；小明认为应是：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=.那么你认为（ ）
A．仅小聪对 B．仅小明对 C．两人均对 D．两人均错
(
A
B
C
图
2
D
E
) (
A
图
3
D
E
F
B
C
4.5
4
6
30
°
45
°
) (
C
B
A
E
D
O
图
4
)
3. 如图3，若△ABC∽△DEF，则∠A的度数为______，DF=______.
4. 如图4，如图15，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，BC=OB，CE是⊙O的切线，切点为D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则CD∶DE的值是________．
5. 如图5，已知菱形ABCD内接于△AEF，AE=5cm，AF=4cm，求菱形的边长.
(
A
B
C
图
5
D
E
F
)
六、作业布置
必作：
选作：
第2课时 相似三角形的判定方法（2）
学习目标：
1．掌握相似三角形的判定定理：“如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似”，“如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似”．
2．会进行简单的证明、计算．
学习重难点:
重点：类似于SSS及SAS两种全等三角形判定方法，探索判定两三角形相似的定理．
难点：探究三角形相似的定理，并运用它们解决问题．
学习过程：
一、创设情景 明确目标
1. 相似三角形的定义：各角______，各边______的两个三角形叫做相似三角形．它也可以用于判定三角形相似．
2. 探索三角形全等的条件的思路：根据三角形全等的定义，两个三角形中有3个角和3条边都对应相等（将3角3边称作三角形的6个元素，即三角形的6个元素都相等），这两个三角形全等. 但在探索三角形全等的条件时，是从两个三角形中有1个元素对应相等开始，逐渐增多条件，来考查三角形是否全等. 这节课，我们就仿照探索三角形全等的条件的思路来探索三角形相似的条件．先从类似于判定三角形全等的SSS方法及SAS方法开始，探索两个三角形相似的条件．
二、自主学习 指向目标
自学导读：
1. （1）联想：两个三角形中，如果三组边对应相等，那么这两个三角形________；如果这两个三角形相似，那么它们的边需要满足什么条件？
（2）请你画△ABC与△A′B′C′，使AB=1cm，A′B′=2cm，AC=1.5cm，A′C′=3cm，即．那么这画的这两个三角形相似吗？再与小组同学画的三角形比一比，你们画的这些三角形都相似吗？
（3）自主学习课本P42页探究2至P43页内容，思考：两个三角形的三边满足什么条件时，它俩相似？请注意仔细阅读P43页中间右侧方框中的内容，从中体会解决问题的思路方法．
相似三角形的判定定理：如果两个三角形的______组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．
符号语言叙述：在△ABC与△A′B′C′中，
∵ ，∴△ABC∽△A′B′C′.
2. （1）联想：两个三角形中，如果两组边对应相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形________．如果两个三角形有1个角对应相等，且夹这个角的两组对应边的比相等，那么这两个三角形相似吗？
（2）如图，在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′=60°，AB=1cm，A′B′=2cm，AC=1.5cm，A′C′=3cm，即. 那么这两个三角形相似吗？
思路提示：取AB，AC的中点分别为D，E两点，连接DE，证明△ABC≌△A′B′C′．
（3）自主学习课本P44页“探究3”．填空：
证明：在线段A′B′（或它的延长线）上截取A′D=AB，过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E，根据引定理可得△A′DE∽△A′B′C′．
(
A
B
C
A
′
B
′
C
′
D
E
)∴=______=______．
又，A′D=AB，
∴．
∴______=______．
又∠______=∠______，
∴△______≌△______．
∴△A′DE∽△A′B′C′．
相似三角形判定定理：如果两个三角形的 对应边的比相等，并且相应的 相等，那么这两个三角形相似．
符号语言叙述：
在△ABC与△A’B’C’中，∵∠ ＝∠ ，，∴△ABC∽△A’B’C’．
自我评价：
1. 如图1，若==，则△_____∽△_____，所以∠DAE=______．
(
A
B
C
图
1
D
E
) (
A
B
C
图
2
D
E
)
2. 如图2，已知=，则△_____∽△_____，所以∠ADE=______．
三、合作探究 达成目标
1．探究主题一：判定三角形相似
【小组讨论】仔细阅读课本P44页例题及其解答过程，并解决“云朵”中的两个问题．
【点拨升华】问题（1）中两角相等，接着看夹这两角的对应边的比是否相等；问题（2）中已知三边长，求出这三组对应边的比看是否相等．相等则相似，不相等则不相似．对于问题（2）这类问题，可以用一个三角形中的长、中、短三条边的长分别与另一个三角形的长、中、短的三边的长相比，看它们的比是否相等．
变式训练：1. 如图1，图2，判断图中的两个三角形是否相似.
(
A
B
C
图
1
D
E
6
4
3
2
) (
A
B
C
图
2
D
E
F
15
25
20
36
27
45
)
2．探究主题二：相似三角形中的分类讨论思想
【小组讨论】阅读课本P45页练习第3题，和同伴交流你的看法．
【点拨升华】未明确相似三角形的对应关系时，应根据不同的对应关系分别计算要求的线段.使另一个三角形框架的边长为2的边与长为4，5，6的边分别对应，进而求解．
变式训练：
2. 一个钢筋三角架边长分别是20cm，50cm，60cm，现在要做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，问有几种不同的截法？
3. 如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，CN=BC，M在CD上滑动，当CM长等于多少时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．
(
A
B
C
D
N
M
E
)
四、总结梳理 内化目标
（1）这节课我学会了：
（2）易错点：
（3）这节课还存在的疑问：
五、达标检测 反思目标
1. △ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC∽△DEF的是（ ）
A．AB=，BC=AC=，DE=，EF=DF=3
B．AB=3，BC=4，CA=5，DE=，EF=2，FD=
C．AB=1，AC=1.5，BC=2，DE=12，EF=8，DF=16
D．AB=3，AC=4，BC=6，DE=6，EF=8，DF=10
2. 下列条件中，能判定△ABC∽△A′B′C′的是（ ）
A．=，∠C=∠C′ B．=，∠B=∠B′
C．=，∠B=∠B′ D．=，∠A=∠A′
3. 在△ABC和△A′B′C′中，若∠B=∠B′，AB=12，BC=8，A′B′=6，则当B′C′=______时，△ABC∽△A′B′C′.
4. 如图1，在4×4的方格图中，△ABC和△DEF都在边长为1的小正方形的顶点上，求证：△ABC∽△DEF.
(
A
B
C
图
1
D
E
F
)
5. 如图2，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟△PBQ与△ABC相似？
(
A
B
C
图
2
P
Q
)
六、作业布置
必作：
选作：
第3课时 相似三角形的判定方法（3）
学习目标：
1．掌握相似三角形的判定定理：“如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似”．
2．了解“斜边的比等于一组直角边的比的两相直角三角形相似”．
3．会进行简单的证明、计算．
学习重难点:
重点：从两角对应相等的角度探究三角形相似的条件．
难点：探究三角形相似的定理，并运用它们解决问题．
学习过程：
一、创设情景 明确目标
根据三角形全等的定义，两个三角形中有3个角和3条边都对应相等（将3角3边称作三角形的6个元素，即三角形的6个元素都相等），这两个三角形全等. 但在探索三角形全等的条件时，是从两个三角形中有1个元素对应相等开始，逐渐增多条件，来考查三角形是否全等. 这节课，我们就仿照探索三角形全等的条件的思路来探索三角形相似的条件. 先从两个三角形只有1个角对应相等开始，探索两个三角形相似的条件．
二、自主学习 指向目标
自学导读：
1. 如果两个三角形只有1个角对应相等，那么这两个三角形相似吗？请每位同学画一画：在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′=60°，
小组内各人画的三角形相似吗？ ．
2. 观察两副三角尺，其中同样角度（与，或与）的两个三角尺相似吗？
3. 如果两个三角形有2角对应相等，那么这两个三角形相似吗？例如，在下图中，在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′=60°，∠B＝∠B′=45°，那么这两个三角形相似吗？
因为∠A＝∠A′=60°，∠B＝∠B′=45°，根据三角形的内角和等于180°，可得∠C＝∠C′=75°，所以这两个三角形的3个角对应相等．
量一量：AB=1.5cm，A′B′=3cm，那么．
请量一量：AC= cm，A′C′= cm，那么．
BC= cm，B′C′= cm，那么．
这两个三角形的3组对应边的比相等吗？这两个三角形相似吗？
4. 自主学习课本P46页探究4．填空：
(
A
B
C
A
′
B
′
C
′
D
E
)证明：如图，在线段A′B′（或它的延长线）上截取A′D=AB，过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E，根据引定理可得△A′DE∽△A′B′C′．
由DE∥B′C′，得∠______=∠B′．
∵∠B=∠B′，
∴∠B=∠______．
又∵______=______，∠A=∠A′，
∴△______≌△______．
∴△A′DE∽△A′B′C′．
相似三角形判定定理：如果一个三角形的 个角与另一个三角形的 个角对应相等，那么这两个三角形相似．
符号语言叙述：
在△ABC与△A′B′C′中，∵∠ ＝∠ ，∠ ＝∠ ，∴△ABC∽△A′B′C′．
自我评价：
1. 如图，锐角三角形ABC的边AB和AC边上的高CE和BF相交于点D，请写出图中一对相似三角形：___________．
三、合作探究 达成目标
1．探究主题一：两角对应相等与三角形相似
【小组讨论】仔细阅读课本P46页例2及其解答过程，讨论证明等积式的思路和方法？
【点拨升华】结合下图进行分析．
(
A
B
C
O
P
D
)
大多数等积式的证明问题都与相似三角形有关，如何寻找相似三角形就成为解决问题的关键，通常是先将等积式转化为比例式．在例题中，如将PA PB=PC PD转化为=，再通过“横看”，即分别观察“=”两边的分子PA，PD与分母PC，PB，从而定出△PAD△PCB；或“竖看”，即分别观察“=”两边分子、分母中的线段PA，PC与PD，PB，从而定出△PAC与△PDB，接着再寻求条件证明它们相似，这种分析方法就是“三点定形法”．
请尝试连接AD，CB，解决课本例题．
变式训练：
1．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，连接BD．
（1）请你找出图中所有的相似三角形；
（2）请选择其中的一对相似三角形予以证明．
思路提示：根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”知∠D=∠C，∠DBC=∠DAC=∠DAB，然后根据两个角对应相等的两个三角形相似作出判断、证明．
2．在上题条件下，若DE=3，EA=7，则BD=______．
2．探究主题二：两个直角三角形的相似
【小组讨论】（1）阅读课本P47页“思考”及下面的证明过程．
了解：满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似．
（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．图中有哪几对相似三角形？为什么？
分析： ∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°．∴∠B+∠BCD=90°．
又∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A=90°．∴∠BCD=∠A．
在△ABC和△CBD中，∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∠BCD=∠A，∴△ABC∽△CBD．
请你再找出其他的几对相似三角形： ， ．
【点拨升华】有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似．
变式训练：
3. 如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，则△ABC∽△ ，△ABC∽△ ，△ABC∽△ ．
(
E
D
C
B
A
)
四、总结梳理 内化目标
（1）这节课我学会了：
（2）易错点：
（3）这节课还存在的疑问：
五、达标检测 反思目标
1．下列结论：①所有的等腰三角形都相似，②有一个角是80°的两个等腰三角形相似，③有一个角是100°的两个等腰三角形相似，④有一个角相等的两个等腰三角形相似，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则的值为（ ）
A． B． C． D．
(
图
1
) (
图
2
)
3．如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高.
(1) 若AD=8，BD=2，则CD= ；
(2) 若BD=4，AB=9，则BC= ；
(3) 若AD=2，AB=3，则AC= ；
(4) 若CD=8，BD=4，则AD= ．
(5) 若AB=5，AC=4，则CD= .
4．（1）如图3，请你增加一个条件：∠ ＝∠ （或∠ ＝∠ ），使△ABC ∽△ACD．
（2）如图4，请你增加一个条件：∠ ＝∠ （或∠ ＝∠ ），使△ABC ∽△AED．
(
图
3
图
4
)
5．（1）如图3，已知AC=6，AD=4，∠B =∠ACD，求AB的长．
解：在△ABC与△ACD中，∵∠ ＝∠A，∠ =∠ACD，∴△ABC ∽ △ ．
∴，即AC2=ADAB，∴62=4 AB，∴AB= .
（2）如图4，已知AC=6，AD=2，AE=3，∠B =∠AED，求AB的长．
解：在△ABC与△AED中，∵∠ ＝∠A，∠ =∠AED，∴△ABC ∽ △ ．
∴，即AE =ADAB，∴ × =2 AB，∴AB= .
反思解题经验：如图3，如果△ABC∽△ACD，那么AC2=ADAB.
如图4，如果△ABC∽△AED， 那么AEAC=ADAB.
六、作业布置
必作：
选作：
27.2.2 相似三角形应用举例
学习目标：
1. 会利用相似三角形的知识测量物体的高度和宽度．
2. 能利用相似三角形的知识解决一些实际问题．
学习重难点:
重点：运用三角形相似解决实际问题．
难点：在实际问题中建立数学模型．
学习过程：
一、创设情景 明确目标
1. 在前面，我们学过哪些判定三角形相似的方法？相似三角形的性质是什么？
2. 观察下列图片，你会利用相似三角形知识解决一些不能直接测量的物体（如塔高、河宽等）的长度或高度的问题吗？
二、自主学习 指向目标
自学导读：自主学习课本P48页至P50页内容．思考：
1. 根据例题3，我们知道由于太阳离我们非常遥远，所以可以把太阳逃近似地看成平行光线．那么，在阳光下，同一时刻不同物体的物高与影长的比之间有什么关系？
2. 请你围绕下图，根据例题4的符号语言，将其叙述成测量河宽的一种方案．可以口述给同伴听听．
3. 仔细阅读例题5中的分析，观察下图：
，其中仰角是________．
自我评价：
1. 解决课本P50页练习第1题，将你的做法说给同伴听听．
2. 解答例题5，你还有哪些方法？请与同组成员尽可能多的想出解决问题的方法．
三、合作探究 达成目标
1．探究主题一：利用太阳光测量物体的高度
【小组讨论】围绕自我评价1，再次仔细阅读例题3，请设计出测量你所在学校旗杆高度的测量方案．
【点拨升华】在同一时刻，太阳光下不同物体的高度之比与其影长之比相等．
变式训练：
1．如图，要测量旗杆AB的高度，可在地面上竖一根竹竿DE，测量出DE的长以及DE和AB在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求AB长的等式是（ ）.
A． B． C． D．
2．某同学想测量旗杆的高度，在同一时刻量得另一同学的身高是1.5m，其影长是1m，旗杆的影长是8m，则旗杆的高度是_______m．
3．如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高米的楚阳同学站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得AC=2米，AB=10米，则旗杆的高度是________米．
2．探究主题二：利用相似三角形测量物体的高度和宽度
【小组讨论】（1）对于例题4这样测量河宽的问题，你还能设计出其他测量方案吗？
（2）对于例题5，你还有其它解法吗？
【点拨升华】在解决某些不能直接度量的物体的高度或宽度等测量类问题时，可以借助其他物体间接测量，这时常常要构造相似三角形来解决．
变式训练：
4. 如图，，，，，交于点，则，图中的相似三角形是________∽________．.
5. 如图，小明站在处看甲、乙两楼楼顶上的点和点，点，，在同一条直线上，点，分别在点，的正下方，且，，三点在同一条直线上，已知，相距米，，相距米，乙楼高为米，求甲楼的高度（小明的身高忽略不计）.
四、总结梳理 内化目标
（1）这节课我学会了：
（2）易错点：
（3）这节课还存在的疑问：
五、达标检测 反思目标
1．小刚身高，测得他站立在阳光下的影子长为，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）.
A. B. C. D.
2．如图，为了测量一池塘的宽，在岸边找一点，测得，在的延长线上找一点，测得，过点作∥，交的延长线于点，测得.请你据此求出池塘的宽=________.
3．小颖同学欲根据光的反射定律测量一棵大树的高度，如图10，其测量方法是：把镜子放在离树（）9.2米远的点处，然后沿着直线后退到点，这时恰好在镜子里看到树梢的顶点，再用皮尺量得米，观察者身高米，请你计算树的高度约为________米. （精确到0.1米）
4．如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB，当支点O在距离A端2米时，A端的人可以将B端的人跷高1.5米，那么当支点O在AB的中点时，A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高 米．
(
A
O
B
C
地面
)
5．在实践课上，王老师带领同学们到教室外利用树影测树高，他在一个时刻测得直立的标杆高米，影长是米，但同学们在同一时间测树影时，发现树影的上半部分落在墙上（如图3所示），测得米，米.你能帮助他们求出树高吗？
六、作业布置
必作：
选作：
27.2.3 相似三角形的周长与面积
学习目标：
1．理解相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
2．能够运用相似三角形及相似多边形的周长与面积的性质解决相关问题．
学习重难点:
重点：相似三角形和相似多边形的周长、面积的性质的理解与运用．
难点：探索证明相似多边形面积的性质．
学习过程：
一、创设情景 明确目标
（1）如果两个三角形相似，那么它们的对应边、对应角各有什么特性？
（2）研究三角形问题，除了探讨边和角之外，我们还经常计算它的周长和面积，那么两个相似三角形的周长和面积有什么特性呢？进一步地说，两个相似多边形的周长和面积又有什么特性呢？
二、自主学习 指向目标
自学导读：阅读课本P51页至P52页内容，并解决如下问题：
1. 如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？两个相似多边形呢？
2. 如果两个三角形相似，它们的面积有什么关系？
特别地，相似三角形对应边上的高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比吗？
自我评价：
请将你对上面三个问题的想法说与同伴听听．
三、合作探究 达成目标
1．探究主题一：相似三角形的周长比等于相似比
【小组讨论】尝试解决下列问题：
（1）请测量课前准备好的相似比为的两个相似三角形的各边长并分别计算周长，根据结果能猜想得出什么结论？
（2）类比着猜想两个相似多边形的周长之间会有什么关系？
（3）写出你得到的两个命题．
（4）请根据命题1的题设和结论写出已知和求证．
（5）请分析如何证明？写出证明过程．
（6）类似地，如何证明命题2？
【点拨升华】证明命题1时，注意学会用相似比与其中一个三角形各边长的积分别表示另一个三角形的各边．证明命题2，对于四边形，可以把它转化为两个三角形，可以直接利用前面命题1的结论．
变式训练：
1．如果DE是△ABC的中位线，则△ADE和△ABC的周长之比为 ．
2．探究主题二：相似三角形的面积比等于相似比的平方
【小组讨论】如图，△ABC∽△A’B’C’，相似比为k，它们的面积比是多少？
(
A
B
C
A'
B'
C'
)
（1）欲探讨三角形的面积，图中还需添加什么辅助线？
（2）相似三角形对应边上的高（对应高）与相似比有何关系？怎么证明？
（3）如何计算两相似三角形的面积比？
（4）面积比与相似比关系如何？
（5）总结所得结论并规范写出证明过程．
【点拨升华】“相似三角形的对应高之比等于相似比”这一性质较为常用，常用来测量物体的高度或距离．另外，相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
变式训练：
2. 如图，已知D、E分别是△ABC的AB、 AC边上的点，DE∥BC且S△ADE：S四边形DBCE=1:8 那么AE:AC等于（ ）
A．1:9 B．1:3 C．1:8 D．1:2
(
B
A
C
D
E
)
3．探究主题三：与相似三角形的周长比、面积比、相似比有关的计算
【小组讨论】自主阅读课本P52页例6，思考：
（1）如何证明问题中的两个三角形相似？请口述证明依据和同伴交流．
（2）相似三角形的周长比与面积比之间有何关系？
【点拨升华】已知相似比、周长比、面积比三者之一，可求出另外两个．相似三角形的面积比等于周长比的平方．
变式训练：
3. 在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（ ）
A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．４，6
4. 如图所示，□ABCD中，AE:EB=1:2，S△AEF=6cm2，则S△CDF= ．
四、总结梳理 内化目标
（1）这节课我学会了：
（2）易错点：
（3）这节课还存在的疑问：
五、达标检测 反思目标
1．如图,在△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，若△ABC的周长是20cm，则△DEF的周长是（ ）
A.5cm B.10cm C.15cm D.20cm
2． 已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（ ）
A.1:2 B.1:4 C.2:1 D.4:1
3．如图，在△ABC和△BED中， = = = ，且△ABC与△BED的周长之差为10cm，则△ABC的周长为 cm．
(
A
B
C
D
E
)
4．如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D，BC=3，AB=5，写出其中的一对相似三角形是 和 ；并写出它们的面积比为 ．
(
C
A
B
D
)
5．如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=CD．
⑴求证：△ABF∽△CEB；
⑵若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积。
(
A
B
C
D
E
F
)
六、作业布置
必作：
选作：
27.3 位似
第1课时 位似（1）
学习目标：
1．掌握位似图形的定义、性质和画法．
2．掌握位似与相似的联系与区别．
学习重难点:
重点：位似图形的定义．位似图形的作图．位似与相似的关系．
难点：位似图形的准确作图．
学习过程：
一、创设情景 明确目标
先后观察、欣赏几组图片．
（1）
对比：
（2）
（3）
教师提出问题：
（1）观察第一张图片，有什么感觉？上下对比两张美术字，你喜欢哪张？
（2）这几条热带鱼组成了一列纵队，这支队伍为什么那么整齐划一？
（3）这张图片上画的是什么？怎样从胶片上的一朵小花得到屏幕上的那朵大花？
这几幅图片表示出了图形之间的什么特殊关系？这就是我们本节课要学习的内容：位似．
二、自主学习 指向目标
自学导读：阅读课本P59页至P60页内容，思考：
1. 满足什么特征的两个图形是位似图形？何谓位似中心？
2. 怎样利用位似知识，画一个图形的位似图形？你能在演草纸上尝试画一个四边形的位似图形吗？并请结合你所画的图形阐述上1中答案．
自我评价：
1. 如果两个图形不仅相似，而且每一组 所在的直线都经过同一个点，这样的两个图形叫做 ，这个点叫做 ．
2. 如下图所示，不是位似图形的是（ ）
三、合作探究 达成目标
1．探究主题一：位似图形的概念
【小组讨论】围绕课本P59页图形（如图）讨论，下列每组中的两个图形是不是位似图形？如果是，分别指出位似中心；如果不是，请说明理由．
(
O
) (
O
)
(
O
)
【点拨升华】两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心．判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：一是这两个图形是相似的，二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点．
变式训练：
1．画出下列图形的位似中心．
2．探究主题二：位似图形的性质
【小组讨论】如图，BC∥ED，下列说法不正确的是（ ）
A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心
C．B与D、C与E是对应位似点 D．AE:AD是位似比
(
B
C
D
E
A
)
【点拨升华】位似图形的所有对应点的连线所在的直线交于一点．位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等．位似图形的相似比也叫做位似比，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
变式训练：
2. 如图，四边形木框ABCD在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形A’B’C’D’，若AB∶A’B’＝1∶2，则四边形ABCD的面积∶四边形A’B’C’D’的面积为（ ）
A．4∶1 B．∶1 C．1∶ D．1∶4
(
D
A
B
C
D′
B
′
C′
A′
灯泡
)
3．探究主题三：画位似图形
【小组讨论】再次阅读课本P60页内容，试讨论画位似图形的一般步骤是什么？
思路提示：先取一个点，再确定各个对应点，最后画出位似图形．
解决问题：如图，已知△ABC，画一个新△A′B′C′，使△A′B′C′与原△ABC的相似比为1：2．
【点拨升华】画一个图形的相似图形，可以利用位似的方法，要使所画的图形与原图形的相似比为1：2，也就是说新图形上的各顶点到位似中心的距离之比为1：2．因此应先选出一点为位似中心O，将顶点A与位似中心O连结，并延长至A′，使OA：OA′=2：1，即可作出A点的对应点A′．同样可作出其他顶点的对应点，顺次连结各对应顶点即可．作出的图形可以在位似中心的同侧，也可以在位似中心的两侧．
变式训练：
3. 请用另一种方法完成上题．
四、总结梳理 内化目标
（1）这节课我学会了：
（2）易错点：
（3）这节课还存在的疑问：
五、达标检测 反思目标
1．下列说法正确的个数为（ ）
①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间；④若五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，则其中△ABC与△A′B′C′也是位似的，且位似比相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB:FG=2:3，则下列结论正确的是( )
A．2DE=3MN B．3DE=2MN C．3∠A=2∠F D．2∠A=3∠F
3．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2∶3，已知AB＝4，则DE的长为 ___．
4．如图，用直尺画出下面位似图形的位似中心．
5．如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出△OAB的一个位似图形，使两个图形以O为位似中心，且所画图形与△OAB的位似比为2︰1．
六、作业布置
必作：
选作：
第2课时 位似（2）
学习目标：
1. 理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之间的联系．
2. 能够熟练准确地利用坐标变化将一个图形放大与缩小．
学习重难点:
重点：归纳总结坐标变化规律．
难点：将一个图形放大与缩小．
学习过程：
一、创设情景 明确目标
在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．本节课就来学习这方面的知识．
二、自主学习 指向目标
自学导读：阅读课本P61页至P62页内容，思考：
1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？
2. 所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？
3. 如何在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，画一个图形的位似图形？
自我评价：
1. 自主完成课本P61页填空．
2. 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于________．
3. 在课本P62页图27.3-5中，画出四边形ABCD在第四象限的位似图形．
三、合作探究 达成目标
1．探究主题一：坐标系中的位似
【小组讨论】再次阅读课本P61页内容，思考：
如图所示，△AOB的A、B两顶点的坐标分别为A（3，0），B（3，2），若△AOB与△DOE为位似图形，且位似比为3:2，则D点坐标为 ，E点的坐标为 ．
(
-1
1
2
3
1
2
3
A
B
D’
E’
)
【点拨升华】由图可知，△AOB与△DOE是以原点为位似中心、位似比为3:2的位似图形，对应顶点的坐标之比为(－3):2，所以可由A、B的坐标计算出D和E的坐标．值得注意的是在解决位似图形中对应点的坐标关系时，不可忽略坐标比为－k这种情况．
变式训练：
1．如图，小朋在坐标系中以A为位似中心画了两个位似的直角三角形，可不小心把E点弄脏了，则E点坐标为（ ）
A．(4，－3) B．(4，－2) C．(4，－4) D．(4，－6)
(
A
(
－
5,3)
B
(1,3)
C
D
(4,3)
(1,
－
1)
)
2．探究主题一：平面直角坐标系中的图形变换
【小组讨论】解决问题：将图中的△ABC做下列运动，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．
（1）沿y轴正向平移3个单位长度；
（2）关于x轴对称；
（3）以C为位似中心，将△ABC放大2倍；
（4）以C为中心，将△ABC顺时针旋转180°．
(
B
C
A
)
【点拨升华】归纳之前学习的其他几种变换：平移、翻折、旋转，对四种变换的异同点进行总结，以灵活运用．
变式训练：
2. 如图，△ABC在方格纸中．
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A（2，3），C（6，2），并求出B点坐标；
（2）以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′．
（3）计算△A′B′C′的面积S．
(
A
B
C
)
四、总结梳理 内化目标
（1）这节课我学会了：
（2）易错点：
（3）这节课还存在的疑问：
五、达标检测 反思目标
1．将平面直角坐标系中某个图案的各点坐标作如下变化，其中属于位似变换的是（ ）
A．将各点的纵坐标乘以2，横坐标不变 B．将各点的横坐标除以2，纵坐标不变
C．将各点的横坐标、纵坐标都乘以2 D．将各点的纵坐标减去2，横坐标加上2
2．已知△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（－2，3），（－1，0），把它们的横坐标和纵坐标分别变成原来的2倍，得到点A′，B′，C′．下列说法正确的是（ ）
A．△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点（1，0）
B．△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）
C．△A′B′C′与△ABC是相似图形，但不是位似图形
D．△A′B′C′与△ABC不是相似图形
3．如图所示，某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点( )
A．（－2a，－2b） B．（－a，－2b） C．（－2b，－2a） D．（－2a，－b）
(
x
O
2
－
1
1
y
)
4．如图，正方形ABCD和正方形OEFG中, 点A和点F的坐标分别为 (3,2)，(－1,－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是______________．
(
y
A
B
C
D
E
F
G
)
5．已知△ABC的三个顶点坐标如下表：
（1）将下表补充完整，并在直角坐标系中，画出△A′B′C′；
（2）观察△ABC与△A′B′C′，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论．
六、作业布置
必作：
选作：
第二十七章 整理与复习
学习目标：
1. 通过复习，梳理本章知识，构建知识网络；
2. 理解相似图形、相似多边形以及相似三角形的概念，了解相似是图形的一种基本变换；
3. 掌握相似三角形的识别方法及相似三角形的有关性质；
4. 能运用相似三角形的知识解决一些实际问题；
5. 掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小；
6. 会用直角坐标系来描述物体的位置，用坐标的方法研究图形的运动变换，体会数与形间的关系．
学习重难点:
重点：一元二次方程的解法及应用．
难点：建立一元二次方程模型解决实际问题．
学习过程：
一、创设情景 明确目标
构建本章知识网络，让我们一起走进相似复习之路吧．
二、自主学习 指向目标
自学导读：自读课本，完成如下问题：
1. 相似图形、相似多边形.
①相似图形；②相似多边形的相似比；③比例线段；④相似多边形的特征；⑤相似多边形的识别．
2. 什么是相似三角形 什么叫相似比？
3. 相似三角形有哪些识别方法？
4. 相似三角形的有哪些性质？
5. 什么叫做位似 什么叫做位似中心？
6. 数学上确定点的位置的常用方法有哪些？
7. 经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小之后，点的坐标怎样变化？
自我评价：
1. 对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比______，如____（填“>，<或=”），我们就说这四条线段是成比例线段，简称__________．
2. 相似多边形对应角______，对应边的比______．我们把相似多边形对应边的比称为相似比，注意当相似比为1时，相似的两个图形是______．
3. 对应角______，对应边的比______的三角形，叫做相似三角形．注意在用符号“∽”表示两个三角形相似时，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，而用文字“相似”来叙述两个三角形相似时，则无此要求．
4. 平行线分线段成比例定理
定理：三条平行线截两条直线，所得的_________的比相等．
推论：________三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比______．
5. 相似三角形的判定
（1）基本定理：________三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
（2）如果两个三角形的三组对应边的比______，那么这两个三角形相似．
（3）如果两个三角形的两组对应边的比______，并且相应的______相等，那么这两个三角形相似．
（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角__________，那么这两个三角形相似．
（5）如果两个直角三角形的斜边的比和另一个对应的________的比相等，那么这两个直角三角形相似．
（6）识别相似三角形的方法除定义和基本定理外主要有三种，其中使用最多的是两组角分别对应相等的两个三角形相似，即“AA”；如果既有边又有角的条件可以考虑“两边夹角”的方法识别，即“SAS”；如果只有边的条件就可考虑用“三边成比例”的方法识别，即“SSS”．
6. 相似三角形的性质
（1）对应角______，对应边的比______；
（2）对应线段（对应边上的高、中线、对应角的平分线）的比等于________；
（3）周长的比等于________，面积比等于_____________．
7. 相似三角形的知识在实际中应用非常广泛，主要是运用相似三角形的有关性质来测量、计算那些不易直接测量的物体的高度和宽度．解答时，首先要读懂题意，将实际问题中存在的本质的东西抽象，转化为数学中的几何问题并画出图形，最后通过对数学问题的求解得出符合实际问题的答案．
8. 位似图形是一种特殊的相似图形，是指满足如下条件的两个图形，① 都是_____图形；②每对对应点所在的直线都___________；③对应边________．利用位似的方法可以将一个多边形放大或缩小．
9. 在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于_______．画一个图形的位似图形，关键在于画出图形的特殊点经过变换后的对应点，然后顺次连接这些对应点即可．
三、合作探究 达成目标
1．探究主题一：等积式或比例式的证明
【小组讨论】解决问题：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过点C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F．求证：BP2=PE·PF．
【点拨升华】证等积式或比例式，一般通过两个相似三角形证．但对于一些题目，直接求证有一定的难度（或无法证明）时，可通过“中间量”拱桥，将问题转化为简单问题来解决．题中四线段BP，PE，PF，BP在同一直线上，不存在两个相似三角形，因此应通过等线段、等比、等积来代替．由条件易想到连结PC，将BP用PC代替，证明△EPC与△CPF相似即可．
变式训练：
1．如图，AE为△ABC的角平分线，D为AB上一点，并且∠ACD=∠B，CD交AE于F．求证：CE·CF=FD·PB．
(
A
B
C
D
E
F
)
2．（2012年黄冈市）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D．连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）求证：DB2＝AB BE．
思路提示：（1）欲证明DE为⊙O的切线，需连接OD，证明OD⊥DE．（2）可证明△ADB∽△DEB，产生相似比，进而得到等积式．
2．探究主题二：相似三角形的应用
【小组讨论】解决问题：（2012年娄底市）如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA＝1.52米，OB＝4米，OM＝5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM 米．
(
B
O
A
M
N
)
【点拨升华】利用相似三角形性质解决实际问题是本章的重点之一．解决这类问题的关键是将实际问题转化为相似三角形模型，然后利用相似三角形判定和性质解决问题．联想现实情景，发现OA∥MN，所以△BOA∽△BMN，然后利用相似三角形对应边的比相等求解．实际中，有部分学生会误认为＝，错误的求得MN＝1.9米，望注意．
变式训练：
3. （2012年北京市）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40㎝，EF＝20㎝，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝__________m．
四、总结梳理 内化目标
（1）这节课我学会了：
（2）易错点：
（3）这节课还存在的疑问：
五、达标检测 反思目标
1．（2012年铜仁市）如图1，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2:1，则下列结论正确的是（ ）
(
图
1
)
A．∠E=2∠K B．BC=2HI
C．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长
D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL
2．（2012年海南省）如图2，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
(
A
B
D
C
图
2
)
3．（2012年湘潭市）如图3，在□ABCD中，点E在DC上，若EC:AB＝2:3，EF＝4，则BF＝__________．
(
图
3
)
4．如图4，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为________．
(
图
4
)
5．（2012年凉山州）如图5，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上且AE＝8，EF⊥BE交CD于点F．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
(2) 求EF的长．
(
图
5
A
C
B
D
E
F
)
六、作业布置
必作：
选作：