数学人教A版2019必修第一册5.3诱导公式（共34张ppt）

(共34张PPT)
第五章 三角函数
5.3.1诱导公式（二~四）
课程标准
能够借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切）
复习回顾
回顾1 三角函数的概念是什么？
借助单位圆，我们推导出了三角函数的定义：
正弦函数:；(把点P的纵坐标y叫做∠α的正弦函数)
余弦函数:；(把点P的横坐标x叫做∠α的余弦函数)
正切函数:．
（把点P的纵坐标和横坐标的比值叫做∠α的正切函数）
复习回顾
回顾2 根据三角函数定义，公式（一）及同角三角函数的基本关系 是如何表示的？
公式一
其中
平方关系：
商的关系：
我们是如何研究出这些公式的呢？
单位圆
角的数量关系→坐标间的关系→三角函数函数值的关系
新课导入
我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质.
由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性.

利用公式一，可把求任意角的三角函数值，转化为求的三角函数值．
如果，我要把这个范围在进行缩小：从非锐角转化为转化为锐角。
一
二
三
教学目标
推导诱导公式（二~四）
借助公式进行运算
通过公式的变形进行化简和证明
教学目标
难点
重点
易错点
新知探究
探究一 三角函数的诱导公式（二~四）
新知讲解
下面，借助单位圆的对称性进行探究
合作探究如图，在直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交于点.
(1)分别在单位圆中做出点关于原点对称点、关于轴对称点、关于轴对称点的点的位置并写出对应点的坐标；
(2)根据三角函数的定义，分别写出，，，的三角函数值；
(3)观察的三角函数值分别与三角函数值有什么关系？
新知讲解
借助单位圆的对称性进行探究（原点对称）
如图，以为终边的角都是与角终边相同的角，即
设，.
因为是点关于原点的对称点
所以，
根据三角函数的定义，得：
公式二:(关于原点对称)
新知讲解
借助单位圆的对称性进行探究（轴对称）
，
根据三角函数的定义，得：
公式三:(关于x轴对称)
新知讲解
借助单位圆的对称性进行探究（轴对称）
，
根据三角函数的定义，得：
公式四:(关于y轴对称)
概念生成
公式一：(终边相同；其中）
公式二：(原点对称)
公式三：(x轴对称)
公式四：(y轴对称)
追问 这四个诱导公式有什么规律？
新知讲解
问题 这四个诱导公式有什么规律？
结为一句话：函数名不变，符号看象限。
的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号．
新知探究
探究二 诱导公式的应用
例题讲解
例1.利用公式求下列三角函数值：
(1)；(2)(3)(4)
解：(1)
(2)
(3)
(4)
追问由例1，你对公式一公式四的作用有什么进一步的认识？你能自己归纳一下任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？(小组之间可以相互探讨)
新知讲解
任意负角的三角函数
任意正角的三角函数
锐角的三角函数
的角的三角函数
用公式
三或一
用公式
二或四
用公式一
数学史上，求三角函数值曾经是一个重要而困难的问题．数学家制作了锐角三角函数表，并通过公式一～公式四，按上述步骤解决了问题．现在，我们可以利用计算工具方便地求任意角的三角函数值，所以这些公式的“求值”作用已经不重要了，但它们所体现的三角函数的对称性，在解决三角函数的各种问题中却依然有重要的作用．
例题讲解
例2.化简
解：
所以，原式
牢记公式
认真运算
小结
公式一：(终边相同；其中）
公式二：(原点对称)
公式三：(x轴对称)
公式四：(y轴对称)
结为一句话：函数名不变，符号看象限。
第五章 三角函数
5.3.1诱导公式（五、六）
一
二
三
教学目标
推导诱导公式（五、六）
借助公式进行运算
通过公式的变形进行化简和证明
教学目标
难点
重点
易错点
新知讲解
上节课，我们根据圆的对称性，从圆出发很多三角函数中的问题得以解决.
利用圆的对称性，我们通过在单位圆内取点，并作出它关于原点、关于轴、轴的对称点的方式，再根据三角函数的定义，得到了三组诱导公式.
我们在上节课的基础上，继续进行探究.(对称性)
新知讲解
合作探究如图，在直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交于点.
(1)分别在单位圆中做出点关于对称点、关于对称点的点的位置并写出对应点的坐标；
(2)根据三角函数的定义，分别写出，，的三角函数值；
我们还是借助单位圆的对称性进行探究！
(3)观察的三角函数值分别与三角函数值有什么关系？
新知讲解
如图，以为终边的角都是与角终边相同的角，即
因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可.
设，.由于是点关于直线的对称点，
根据三角函数的定义，得
可以利用全等三角形进行证明
新知讲解
公式五：（y=x对称）
新知讲解
如图，以为终边的角都是与角终边相同的角，即
因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可.
设.
由于是点关于y轴的对称点
新知讲解
根据三角函数的定义：
由公式四、五可得：
公式六：（y=-x对称）
概念生成
公式五：（y=x对称）
公式六：（y=-x对称）
问题1 你能概括一下公式五、六的共同特点和规律吗？
的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
（函数名改变，符号看象限）
利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
新知讲解
公式一公式六都叫做诱导公式
问题2
（1）请大家花3分钟的时间将公式一~公式六默写下来；
（2）诱导公式可统一什么形式的角（几何形式）的三角函数与的三角函数之间的关系？
（3）你有什么办法记住这些公式？
口诀：奇变偶不变，符号看象限
注：的三角函数值
(1)为偶数时，函数名不变，符号看象限；
(2)为奇数时，函数名改变，符号看象限。
新知探究
探究 诱导公式的应用
例题讲解
例3.证明：
(1)；(2).
证明：(1)
(2).
例题讲解
例4.化简
解：原式
=
例题讲解
例5.已知且
求的值.
解：因为+所以由诱导公式五，得：
因为，所以.
由得：
所以
所以.
公式记忆！
练习小结
1.求值问题中角的转化方法：
任意负角的三角函数
任意正角的三角函数
0的角的三角函数
锐角的三角函数
公式
一或三
公式
一
公式二或
五或六
2.用诱导公式进行化简的要求：
(1)化简后项数尽可能的少.
(2)函数的种类尽可能的少.
(3)分母不含三角函数的符号.
(4)能求值的一定要求值.
(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等.
（1）化大为小
（2）化繁为简
（3）公式牢记
（4）计算准确
小结
（1）诱导公式六及其推导；
（2）对称点的坐标；
（3）诱导公式的应用
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.
二看函数名称：一般是弦切互化.
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子、分母同乘一个式子变形.