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6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 向量加法的定义及其运算法则
1.向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
2.向量求和的法则
向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a
平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作 OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
注意点：
(1)位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型.
(2)向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别 联系
三角形法则 ①首尾相接；②适用于任何向量求和. 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
平行四边形法则 ①共起点；②仅适用于不共线的两个向量求和.
知识点二 向量的加法和向量的模
(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|；
(2)当a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；
(3)当a与b反向时，若|a|≥|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|.
若|a|<|b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.
知识点三 向量加法的运算律
向量加法的运算律
交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向( )
A.与向量a方向相同 B.与向量a方向相反 C.与向量b方向相同 D.不确定
答案：A
解析：如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同；如果它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同．
2.下列等式错误的是( )
A.a＋0＝0＋a＝a B.＋＋＝0 C.＋＝0 D.＋＝＋＋
答案：B
解析：＋＋＝＋＝2≠0，故B错．
3.a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A.a∥b，且a与b方向相同 B.a，b是共线向量且方向相反
C.a＝b D.a，b无论什么关系均可
答案：A
4.下列等式：①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②＋＝0；③＝＋＋.不正确的是( )
A.②③ B.② C.① D.③
答案：B
解析：②错误，＋＝0，①③正确.
5.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.
6.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于( )
A.1 B.2 C.3 D.2
答案：B
解析： |＋＋|＝|＋＋|＝||＝2.
7.设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则下列结论中：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＝|a|－|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.正确的是( )
A.①② B.①③ C.①③⑤ D.③④⑤
答案：C
解析： a＝0，∴a∥b，a＋b＝b，|a＋b|＝|a|＋|b|，故选C.
8.(多选)下列说法错误的有( )
A.如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方向相同
B.在△ABC中，必有＋＋＝0
C.若＋＋＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点
D.若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|
答案：ACD
解析： A错，若a＋b＝0，则a＋b的方向是任意的；B正确；C错，当A，B，C三点共线时，也满足＋＋＝0；D错，|a＋b|≤|a|＋|b|.
9.在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度为( )
A.2 B.4 C.12 D.6
答案：B
解析：因为＋＝，所以＋＋的长度为的模的2倍.又||＝＝2，所以向量＋＋的长度为4.
10.若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC的形状是( )
A.正三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形
答案：D
解析：以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，∵AB＝AC＝1，AD＝，∴∠ABD为直角，该四边形为正方形，∴∠BAC＝90°，△ABC为等腰直角三角形.
二、填空题
11.在正六边形ABCDEF中，＋＋＋＋＋＝________.
答案：0
解析： ＋＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)
＝(＋＋＋＋＋)＋(＋＋＋＋＋)＝0＋0＝0.
12.已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝______.
答案：0
解析：如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，
则＋＝，＋＝0，
∴＋＋＝0.
13.已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则a＋b＋c＋d＝________.
答案：e
解析： a＋b＋c＋d＝＋＋＋＝＝e.
14.在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，||＝1，则|＋|＝________.
答案：1
解析：如图，由题意知△ABD为等边三角形，
所以|＋|＝||＝||＝1.
15.如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.
(1)＋＋＝________；(2)＋＋＝________.
答案：(1) (2)0
三、解答题
16.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点．
求证：＋＋＋＝4.
证明：∵＋＋＋
＝＋＋＋＋＋＋＋
＝4＋(＋＋＋)
＝4＋(＋)＋(＋)
＝4＋0＋0＝4.
∴＋＋＋＝4.
17.已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.
解：如图，∵||＝||＝3，
∴四边形OACB为菱形．
连接OC、AB，则OC⊥AB，设垂足为D.
∵∠AOB＝60°，∴AB＝||＝3.
∴在Rt△BDC中，CD＝.
∴||＝|a＋b|＝×2＝3.
18.如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点，求证：＋＋＝0.
证明：由题意知，＝＋，＝＋，＝＋.
由平面几何知识可知，＝，＝，
所以＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝(＋＋＋)＋(＋)
＝(＋＋＋＋)＋0
＝＋＋＝＋＋＝0.
19.在水流速度为4 km/h的河中，如果要船以12 km/h的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．
解：如图，设表示水流速度，则表示船航行的实际速度，作AD平行且等于BC，则即表示船航行的速度．
因为||＝4，||＝12，∠CAB＝90°，所以tan∠ACB＝＝，
即∠ACB＝30°，∠CAD＝30°.
所以||＝8，∠BAD＝120°.
即船航行的速度为8 km/h，方向与水流方向所成角为120°.
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6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 向量加法的定义及其运算法则
1.向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
2.向量求和的法则
向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a
平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作 OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
注意点：
(1)位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型.
(2)向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别 联系
三角形法则 ①首尾相接；②适用于任何向量求和. 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
平行四边形法则 ①共起点；②仅适用于不共线的两个向量求和.
知识点二 向量的加法和向量的模
(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|；
(2)当a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；
(3)当a与b反向时，若|a|≥|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|.
若|a|<|b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.
知识点三 向量加法的运算律
向量加法的运算律
交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向( )
A.与向量a方向相同 B.与向量a方向相反 C.与向量b方向相同 D.不确定
2.下列等式错误的是( )
A.a＋0＝0＋a＝a B.＋＋＝0 C.＋＝0 D.＋＝＋＋
3.a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A.a∥b，且a与b方向相同 B.a，b是共线向量且方向相反
C.a＝b D.a，b无论什么关系均可
4.下列等式：①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②＋＝0；③＝＋＋.不正确的是( )
A.②③ B.② C.① D.③
5.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于( )
A. B. C. D.
6.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于( )
A.1 B.2 C.3 D.2
7.设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则下列结论中：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＝|a|－|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.正确的是( )
A.①② B.①③ C.①③⑤ D.③④⑤
8.(多选)下列说法错误的有( )
A.如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方向相同
B.在△ABC中，必有＋＋＝0
C.若＋＋＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点
D.若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|
9.在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度为( )
A.2 B.4 C.12 D.6
10.若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC的形状是( )
A.正三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形
二、填空题
11.在正六边形ABCDEF中，＋＋＋＋＋＝________.
12.已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝______.
13.已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则a＋b＋c＋d＝________.
14.在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，||＝1，则|＋|＝________.
15.如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.
(1)＋＋＝________；(2)＋＋＝________.
三、解答题
16.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点．
求证：＋＋＋＝4.
17.已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.
18.如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点，求证：＋＋＝0.
19.在水流速度为4 km/h的河中，如果要船以12 km/h的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．
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高中数学(新RJ·A)必修第二册6.2.1 向量的加法运算 1/1
