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5.4 三角函数的图象与性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第3课时 正弦函数、余弦函数的性质的综合应用
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型函数的最值(值域)问题
形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．若f(x)＝asin2x＋bcos x＋c，还需利用同角三角函数的基本关系，转化成同名三角函数求值．
知识点二 正弦函数、余弦函数的对称性
正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.充分体现了整体代换的数学思想．
知识点三 函数性质的综合应用
研究三角函数性质的几个方面是通过数形结合．整体代换的数学思想研究三角函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于点对称，则φ可以是( )
A.－ B. C.－ D.
答案：C
解析：∵函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于点对称，∴2×＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－(k∈Z)．结合选项，当k＝0时，φ＝－.
2.已知函数y＝4cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是( )
A.4 B.4－2 C.6 D.4＋2
答案：C
解析：∵函数y＝4cos x的定义域为，∴函数在上单调递减．当x＝时，y＝
4cos ＝4×＝2，即函数的最大值b＝2；当x＝π时，y＝4cos π＝－4，即函数的最小值a＝－4，则b－a＝2－(－4)＝6.
3.若函数y＝f(x)同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称；③在区间上单调递增，则y＝f(x)的解析式可以是( )
A.y＝sin B.y＝sin C.y＝cos D.y＝cos
答案：A
解析：对于A选项，周期为π，sin＝sin ＝1，∴y＝sin的图象关于直线x＝对称；令－≤2x－≤，得－≤x≤，∴函数y＝sin在上单调递增，故A选项符合题意．
4.函数y＝sin πx的图象的两个相邻对称中心间的距离为( )
A.π B.2π C.1 D.2
答案：C
解析：函数y＝sin πx的图象的两个相邻对称中心间的距离为，函数的周期T＝＝2，则＝＝1.
5.(多选)已知函数f(x)＝－3cos(2x－)，则( )
A.f(x)在(0，)上单调递减 B.f(x)的图象关于点(，0)对称
C.f(x)在[0，]上的最大值为 D.f(x)的图象的一条对称轴为直线x＝
答案：BC
解析：当x∈(0，)时，2x－∈(－，)，函数f(x)先减后增，故A错误；当x＝时，f()＝0，即f(x)的图象关于点(，0)对称，故B正确，D错误；当x∈[0，]时，2x－∈[－，]，cos(2x－)∈[－，1]，－3cos(2x－)∈[－3，]，即f(x)在[0，]上的最大值为，故C正确．
6.如果函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝π对称，那么|φ|取最小值时，φ的值为( )
A.± B. C.－ D.±
答案：D
解析：由函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝π对称，可得2π＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，当|φ|取最小值时，k＝1，即φ＝－或k＝2，即φ＝.故|φ|取最小值时，φ的值为±.
7.已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)，若f(x)关于x＝对称，则f(x)的一个单调递增区间可以是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：∵f(x)关于x＝对称，则＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z，又∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝－2sin.由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.结合选项，当k＝0时，得≤x≤.即f(x)的一个单调递增区间可以是.
8.已知函数f(x)＝sin(ω>0)，对任意x∈R都有f(x)≤f ，并且f(x)在区间上不单调，则ω的最小值是( )
A.1 B.3 C.5 D.7
答案：D
解析：由题意，得f 是函数f(x)的最大值，∴＋＝2kπ＋，k∈Z，即ω＝6k＋1，k∈Z.∵ω>0，∴k∈N.当k＝0时，ω＝1，f(x)＝sin在上单调递增，不符合题意；当k＝1时，ω＝7，f(x)＝sin符合题意．∴ω的最小值为7.
9.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是( )
A.f(1)答案：B
解析：∵f(x)的最小正周期为π，∴T＝＝π，得ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)，又f(x)关于中心对称，∴2×＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，又|φ|∈，∴当k＝0时，φ＝－，则f(x)＝sin.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得x∈，k∈Z.故f(x)在上单调递增．又f(2)＝f ，且0<－2<1都在区间中，故可得f(0)10.(多选)已知函数f(x)＝2sin(2x－)＋1，则下列说法中正确的是( )
A.函数f(x)的图象关于点(，0)对称 B.函数f(x)图象的一条对称轴是x＝－
C.若x∈[，]，则函数f(x)的最小值为＋1 D.若0答案：BC
解析：对于函数f(x)＝2sin(2x－)＋1，当x＝时，f(x)＝＋1.故A不正确；当x＝－时，f(x)＝－1，为最小值，故函数f(x)图象的一条对称轴是x＝－，故B正确；当x∈[，]时，2x－∈[，]，故当2x－＝或时，f(x)取得最小值为＋1，故C正确；若0二、填空题
11.(1)函数y＝sin2x＋2cos x－2，x∈R的值域为________；(2)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
答案：[－4,0] 1
解析：(1) ∵y＝sin2x＋2cos x－2＝1－cos2x＋2cos x－2＝－cos2x＋2cos x－1＝－(cos x－1)2，又－1≤cos x≤1，∴函数的值域为[－4,0]．(2)由题意得f(x)＝1－cos2x＋cos x－，令cos x＝t，则t∈[0,1]，则y＝－t2＋t＋＝－2＋1，则当t＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.
12.函数y＝sin的图象的对称轴是直线________，对称中心是________．
答案：x＝＋(k∈Z) (k∈Z)
解析：要使sin＝±1，必有2x＋＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)，故函数y＝sin的图象的对称轴是直线x＝＋(k∈Z)．∵函数y＝sin的图象与x轴的交点为对称中心，令y＝0，即sin＝0，∴2x＋＝kπ(k∈Z)，即x＝－(k∈Z)．故函数y＝sin的图象的对称中心是(k∈Z)．
13.当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________．
答案：
解析：∵x∈，∴sin x∈.又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)＝22＋，∴当sin x＝时，ymin＝，当sin x＝或sin x＝1时，ymax＝2.即函数的值域为.
14.设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f 对任意的实数x都成立，则f ＝______，ω的最小值为________．
答案：1
解析：∵f(x)≤f 对任意的实数x都成立，∴当x＝时，f(x)取得最大值1.即f ＝cos＝1，∴ω－＝2kπ，k∈Z，∴ω＝8k＋，k∈Z.∵ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值.
15.函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，设g(x)＝3cos(ωx＋φ)＋1，则g＝______.
答案：1
解析：∵函数f(x)的图象关于直线x＝对称，f(x)＝3sin(ωx＋φ)的图象的对称轴过函数g(x)＝3cos(ωx＋φ)＋1的图象的对称中心，∴g＝1.
三、解答题
16.设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间．
解：(1)∵x＝是函数y＝f(x)的图象的对称轴，
∴sin＝±1，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.
解得φ＝＋kπ，k∈Z.
∵－π<φ<0，∴φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，因此f(x)＝sin.
由题意得当x满足2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)单调递增．
即当x∈(k∈Z)时，f(x)单调递增．
所以函数f(x)＝sin的单调递增区间为[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.
17.已知函数f(x)＝－sin2x＋sin x＋a.当f(x)＝0有实数解时，求a的取值范围．
解：－1≤sin x≤1，令t＝sin x，则－1≤t≤1.f(x)＝0有实数解，
即t2－t－a＝0在[－1,1]内有实数解．
a＝t2－t，t∈[－1,1]，
设h(t)＝t2－t＝2－，t∈[－1,1]，
当t＝时，h(t)min＝－，
当t＝－1时，h(t)max＝2，
∴a的取值范围是.
18.已知f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋b，ω>0，|φ|<，且f(x)的最小正周期为π，且f(x)的图象关于点对称．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若x∈，f(x)＝m有唯一实根，求m的取值范围．
解：(1)由f(x)的最小正周期T＝＝π，解得ω＝2，
又f(x)的图象关于点对称，则b＝1，sin＝0，
∴＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－，k∈Z.
∵|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin＋1.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)作出f(x)＝2sin＋1在区间上的大致图象，如图所示．
由图象可知，若f(x)＝m有唯一实根，
则－＋1≤m<＋1或m＝3，所以m的取值范围为[－＋1，＋1)∪{3}．
19.已知函数f(x)＝2cos，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，方程f(x)＝k恰有两个不同的实数根，求实数k的取值范围．
解：(1)由余弦函数的单调性，得2kπ＋π<2x＋<2kπ＋2π，k∈Z，则＋kπ(2)函数f＝2cos的单调递增区间为，k∈Z，
单调递减区间为，k∈Z，
∴函数f(x)在，上单调递增，在上单调递减，
且f ＝0，f ＝2，f ＝－，
∴当0≤k<2时，函数y＝k与函数y＝f(x)的图象有两个公共点，
即当0≤k<2时，方程f(x)＝k恰有两个不同的实数根．
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5.4 三角函数的图象与性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第3课时 正弦函数、余弦函数的性质的综合应用
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型函数的最值(值域)问题
形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．若f(x)＝asin2x＋bcos x＋c，还需利用同角三角函数的基本关系，转化成同名三角函数求值．
知识点二 正弦函数、余弦函数的对称性
正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.充分体现了整体代换的数学思想．
知识点三 函数性质的综合应用
研究三角函数性质的几个方面是通过数形结合．整体代换的数学思想研究三角函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于点对称，则φ可以是( )
A.－ B. C.－ D.
2.已知函数y＝4cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是( )
A.4 B.4－2 C.6 D.4＋2
3.若函数y＝f(x)同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称；③在区间上单调递增，则y＝f(x)的解析式可以是( )
A.y＝sin B.y＝sin C.y＝cos D.y＝cos
4.函数y＝sin πx的图象的两个相邻对称中心间的距离为( )
A.π B.2π C.1 D.2
5.(多选)已知函数f(x)＝－3cos(2x－)，则( )
A.f(x)在(0，)上单调递减 B.f(x)的图象关于点(，0)对称
C.f(x)在[0，]上的最大值为 D.f(x)的图象的一条对称轴为直线x＝
6.如果函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝π对称，那么|φ|取最小值时，φ的值为( )
A.± B. C.－ D.±
7.已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)，若f(x)关于x＝对称，则f(x)的一个单调递增区间可以是( )
A. B. C. D.
8.已知函数f(x)＝sin(ω>0)，对任意x∈R都有f(x)≤f ，并且f(x)在区间上不单调，则ω的最小值是( )
A.1 B.3 C.5 D.7
9.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是( )
A.f(1)10.(多选)已知函数f(x)＝2sin(2x－)＋1，则下列说法中正确的是( )
A.函数f(x)的图象关于点(，0)对称 B.函数f(x)图象的一条对称轴是x＝－
C.若x∈[，]，则函数f(x)的最小值为＋1 D.若0二、填空题
11.(1)函数y＝sin2x＋2cos x－2，x∈R的值域为________；(2)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
12.函数y＝sin的图象的对称轴是直线________，对称中心是________．
13.当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________．
14.设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f 对任意的实数x都成立，则f ＝______，ω的最小值为________．
15.函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，设g(x)＝3cos(ωx＋φ)＋1，则g＝______.
三、解答题
16.设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间．
17.已知函数f(x)＝－sin2x＋sin x＋a.当f(x)＝0有实数解时，求a的取值范围．
18.已知f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋b，ω>0，|φ|<，且f(x)的最小正周期为π，且f(x)的图象关于点对称．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若x∈，f(x)＝m有唯一实根，求m的取值范围．
19.已知函数f(x)＝2cos，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，方程f(x)＝k恰有两个不同的实数根，求实数k的取值范围．
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