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第1讲 有理数的复习
目标层级图
课中讲解
一．有理数的概念
内容讲解
①为了表示具有相反意义的量，我们通常把其中一个数前面加上___正_号，把另一个数前面加上___负___号来进行区分；前面带____正______号的数叫做正数，前面的__正_____号经常可以省略不写，前面带_____负______号的数叫做负数;
②_____0_____既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点；
③_______正数___大于零，__负数_______小于零，正数___大于____一切负数.
例1．某地气象资料表明，高度每增加1000米，气温就下降大约，现在5 000米高空的气温是，则地面气温约是 7 ．
例2．纽约与北京的时差为小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），当北京时间1月7日8时时，纽约的时间是
A．1月6日21时 B．1月7日21时 C．1月6日19时 D．1月6日20时
例3．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有“、、”的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差
A． B． C． D．
过关检测
1.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上记为，则表示气温为 零下 ．
2．某种食品保存的温度是，以下几个温度中，适合储存这种食品的是
A． B． C． D．
3．巴黎与北京的时差为小时，李阳在北京乘坐8点的航班飞行10小时到达巴黎，那么李阳到达巴黎时间是 11 点．
二．有理数的分类
内容讲解
有理数：整数与分数统称为有理数
整数：正整数、负整数和0统称为整数
分数：正分数、负分数统称为分数，有限小数和无限循环小数也是分数
有理数的分类：
1.按符号分类: 2.按定义分类：
注：非负数：0和正数、非正数：0和负数、非负整数：0和正整数、自然数：0和正整数.
例1. 、45、、0、、、、
解：正整数集： 45、；
负分数集：、；
非负数集： 45、0、、．
过关检测
1．在数2，0，，，，，中，负分数有 ， ；非负数有 ；整数有 ．
【分析】按照有理数的分类填写：
有理数．
【解答】解：负分数有，；非负数有2，0，，；整数有2，0，，
故答案为：，；2，0，，；2，0，．
2 . 把下列各数分别填在相应的大括号内
7，，，，106，，，31.25，， ，0 ， 2.1 ， 10% ，，，，
正整数集合{ 7， 106， }；
负整数集合{ ， }；
整数集合{ 7，106，，0 ， ， }；
正分数集合{，，31.25 ，2.1 ， 10% }；
负分数集合{，， ， }；
非负整数集合{ 7，106， 0 ，， }。
有理数集合{7，，，，106，，，31.25，， ，0 ， 2.1 ， 10% ，，， }
三．数轴
内容讲解
1. 数轴三要素：单位长度、原点、正方向
2. 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示．
3. 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0；负数小于0；正数大于负数。
例1. 下列图形中，数轴画正确是
A． B．
C． D．
例2. 如图，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有的整数为 ，，0，1 ．
例3．有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是
A． B． C． D．
例4．一个点从数轴的原点开始，向右移动5个单位长度，再向左移动8个单位长度，到达的终点表示的数是 ．
过关检测
1.下列说法：
①规定了原点、正方向的直线是数轴；
②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；
③有理数在数轴上无法表示出来；
④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点
其中正确的是
A．①②③④ B．②②③④ C．③④ D．④
2. 下列图形中，属于数轴的是
A． B．
C． D．
3．若数轴上表示和3的两点分别是点和，则点和点之间的距离是
A． B． C．1 D．5
4．在数轴上表示下列各数：0，，，，，，并用“”号连接．
【解答】解：
．
四．相反数、倒数
内容讲解
1. 倒数的定义：乘积为 1 的两个有理数互为倒数。（注意：0没有倒数）
2. 相反数定义： 指绝对值相等, 符号相反 的两个数互为相反数。
例如:-2 与 +2 互为相反数。用字母表示a与 -a 是相反数, 0的相反数是 0 。
例1. 下面两个数中互为相反数的是
A．和0.5 B．和 C．和0.333 D．和
例2. 如图所示，数轴上点所表示的数的相反数是
A．2 B． C．3 D．
例3．和互为相反数，并且，那么 3 ， -3 ．
例4．2020的倒数是
A． B．2020 C． D．
例5．若和互为倒数，则 1 ．
过关检测
1．绝对值等于它本身的数是 非负数 ；倒数等于它本身的数是 ．
2. 有这样四句话：（1）是相反数；（2）和4都是相反数；（3）是4的相反数，同样4也是的相反数；（4）与4互为相反数，其中说得对的是
A．（1）与（2） B．（2）与（3） C．（1）与（4） D．（3）与（4）
3．已知，若、互为相反数，则 ，2007．
4．的倒数是
A． B． C． D．3
5．若，互为相反数，则下列等式不一定成立的是
A． B． C． D．
6．若，互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是
A．和 B．和 C．和 D．和
7．若的相反数是3，那么的值是
A． B． C． D．
五．科学计数法
内容讲解
一般地，一个大于 10 的数可以表示成 a × 10n 的形式，其中 1 a < 10，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。
1万= ，1亿= ，1米= 纳米 ，1吨=
例1. 钓鱼岛是中国的固有领土，其渔业资源十分丰富，年捕鱼量达16万吨，数据16万用科学记数法表示为
A． B． C． D．
例2. 据统计，截至2021年4月14日，全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗175 623 000剂次，这个数用科学记数法表示为 ．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：175 623 ．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
过关检测
1. 火星到地球的最远距离约为4.01亿千米，4.01亿千米用科学记数法表示为
A． 千米 B． 千米
C． 千米 D． 千米
2．2020年5月6日，成都市又添一座崭新的、面向世界、面向未来的成渝地区双城经济圈新兴城市一成都东部新区．新区规划到2035年，地区生产总值达到3200亿元，3200亿用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3. 国家林业和草原局发布的最新数据显示，“十三五”以来，中国荒漠化防治成效显著，全国累计完成防沙治沙任务8800000公顷，8800000用科学记数法表示为 ．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是要正确确定的值以及的值．
六. 有理数的加、减法运算
内容讲解
1.有理数的加法：
（1）同号两数相加
①法则：取与加数 相同 的符号，并把绝对值 相加 ．
②运算步骤：先定号，取与加数相同的符号，作为结果的符号；再定值，把加数的绝对值相加，作为结果的绝对值．
③注意书写格式：第一个加数前若有符号，此加数可以不带括号也可以带括号，如+15+（+35）=+50或（+15）+（+35）=+50；第二个加数前若有括号，必须带括号，如15+（+35）=+50（正确） 15++35=+50（错误）
（2）异号两数相加
①法则：绝对值相等时和为 0 ；绝对值不等时，取绝对值较 大 的加数的符号，并用 较大的绝对值减去较小的绝对值 ．
②运算步骤：先定号，取绝对值较大的加数的符号，作为结果的符号；再定值，用较大的绝对值减去较小的绝对值．
③注意：异号两数相加，计算前要先找出绝对值较大的加数．
（3）一个数和 0 相加，仍得这个数．
2.有理数的减法
①法则：减去一个数，等于 加上 这个数的 相反数 ．如果用字母 a、b表示有理数，那么有理数减法法则可表示为：
②运算步骤：变号，减号变加号；变数，减数变为相反数；算结果，运用加法法则求出结果．
3.去括号法则：
（1）括号前是“加号”：去掉“加号”及括号，括号内每个数前面的“加减号”不改变；
即：
（2）括号前是“减号”：去掉“减号”及括号，括号内每个数前面的“加减号”均改变．
即：
（一）有理数的加法运算
1． 同号两数相加
例1．计算同号两数相加：
（1） =________；
（2） =________；
（3） =________；
（4） =________；
（5） ________；
【答案】（1）（2）（3）（4）（5）
过关检测
1．填空题：
（1） ________；
（2） ________；
（3） ________；
（4）；
（5）；
（6）；
（7） ________；
（8） ________．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）
2．异号两数相加
例2．计算异号两数相加：
（1） =________；
（2） =________；
（3） ________；
（4） ________；
（5） =________．
过关检测
1．计算：
（1） ________，
（2） ________，
（3） ________，
（4） ________．
【答案】；；；
（二）有理数的减法运算
例1．（1）
【解析】原式=
．
（2）．
【解析】原式
(3)
【解析】原式
（4）．
【解析】
．
例2．
【解析】原式=
；
过关检测
1．计算：（1）
【解析】原式
（2）
【解析】若题目中出现带分数，可以将带分数变成假分数参与运算．
（3）
【解析】原式
（4）
【解析】
．
2．
【解析】，
，
，
，
．
（三）有理数的加减混合运算
例1.请完成下列计算：
(1)
【答案】
【解析】原式
(2)
【答案】
【解析】原式
(3)
【答案】
【解析】原式
例2.有理数加减混合运算：
(1)
【答案】
【解析】我们本可以先计算中括号内的结果，但读题发现若将中括号去掉，用结合律会更方便，所以我们采取先去括号后结合律的方法：
(2)
【答案】
【解析】同1
过关检测
1.请完成下列计算：
(1)
【答案】
【解析】原式
(2)
【答案】
【解析】原式
(3)
【答案】
【解析】原式
2.有理数加减混合运算：
(1)
【答案】
【解析】原式
(2)
【答案】
【解析】
七. 有理数的乘、除法运算
内容讲解
1.有理数的乘法
（1）法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0．
（2）运算步骤：先定号，同号得 正 ，异号得 负 ；再算值，把因数的绝对值相乘．
（3）注意书写格式：第一个数若前面有符号，可以带括号也可以 不带括号 ；第二个数若前面有符号， 必须带括号 ．如，（-4）x（+5）=-20（正确） （-4）x（+5）=-20（正确） （-4）x+5=-20（错误）
（4）多个数相乘的运算法则：
①几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为 负 ；当负因数有偶数个时，积为 正 ；再把每个因数的绝对值相乘作为结果的绝对值．
②有一个因数为0，积为0．
2.有理数的除法
（1）法则：两数相除，同号 得正 ，异号 得负 ，并把绝对值相除．
（2）0除以任何一个不为0的数，都得 0 ．
注意：0不可作为 除数 ，否则无意义．
（3）除以一个不等于0的数，等于 乘以这个数的倒数 ．即：
总结：有理数除法的两种思路：①直接除 ②变除法为乘法
3.有理数的乘除法混合运算步骤：
（1）先定号：奇负偶正，再把绝对值做乘除运算；
（2）除法变乘法：除以一个数等于乘以它的倒数；
（3）灵活运用乘法运算律巧算．
（一）有理数的乘法运算
例1.（1） ________；
（2） ________．
【答案】（1）（2）
过关检测
1.计算：
（1） ________
（2） ________
（3） ________
【解析】（1）两个乘数都是负数，同号得正：
（2）两个乘数一正一负，异号得负：
（3）乘数有 ，则结果为 ：
（二）有理数的除法运算
例1.计算：
（1） ________ ；
（2） ________ ；
（3） ________ ；
（4） ________ .
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
例2.填空题：
（1） ________， ________；
（2） ________， ________；
（3） ________ ， ________ .
【答案】（1）；；（2）；；（3）；
过关检测
1.计算：
（1） ________；
（2） ________；
（3） ________；
（4） ________．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
2.计算：
① ________；② ________；
③ ________； ④ ________ ．
【答案】① ； ② ； ③ ； ④
（三）有理数乘除混合运算
例1.计算：
(1) ；
【答案】
【解析】原式.
(2) ；
【答案】
【解析】原式.
(3) ．
【答案】
【解析】原式.
过关检测
1.计算：
(1)
【答案】
【解析】不能将后两个数直接结合．
原式
(2)
【答案】
【解析】带分数变成假分数
原式
(3)
【答案】
【解析】同2
原式
(4)
【答案】
【解析】绝对值要先计算
原式
【备注】乘除法混合运算顺序：
（1）若有绝对值先计算绝对值
（2）定号：奇负偶正；然后绝对值进行乘除运算
（3）若有带分数化成假分数
（4）将除法变成乘法
八. 有理数的乘方运算
课中讲解
乘方运算的符号法则：
（1）正数的任何次幂都是 正数 ；
（2）负数的奇次幂是 负数 ，负数的偶次幂是 正数 ；
（3）0的正数次幂都是0，任何不等于0的数的0次方都等于 1 ；
特别注意：1的任何次方都等于1；-1的偶次方等于1；-1的奇次方等于-1．
（一）有理数的乘方运算
例1. 计算：
（1），，；
（2），，；
（3），．
【分析】分别根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解．
【解答】解：（1），
，
；
（2），
，
；
（3），
．
过关检测
1. 计算．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【分析】分别根据有理数乘方的定义进行计算．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
2.计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
【分析】分别根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5），
，
；
（6），
，
；
（7）；
（8）．
（二）有理数乘除及乘方混合运算
例1.请完成下列计算：
(1)
【答案】
【解析】先提醒学生，拿到计算题不要着急开始算，先观察题目中所给数字，能不能运用运算律，进行简便计算．
(2)
【答案】
【解析】先把所有的除法变成乘法，再从左到右依次计算，能巧算的用运算律进行巧算
【易错点】学生看到 可化为 和 一定想直接相乘，互为倒数乘积为 ，化简计算，但是乘除法的运算属于同级运算，应该从左到右依次进行，要按照法则来计算．
(3)
【答案】
【解析】有乘方的要先算乘方，再进行乘除法的运算．
过关检测
1.请完成下列计算：
(1)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
【答案】
九. 有理数的混合运算
课中讲解
有理数的混合运算法则：
（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；
（2）如果有括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号；
（3）同级运算，按照从左到右的顺序进行．
注意：混合运算中，互相没有影响时，多个运算可同时进行．
例1.请完成下列计算：
(1)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
【答案】
(4)
【答案】
过关检测
1.请完成下列计算：
(1)
【答案】
【解析】原式
(2)
【答案】
【解析】原式
(3)
【答案】
【解析】原式
(4)
【答案】
【解析】原式
十. 使用运算律进行简便运算
内容讲解
（1）①回顾：加法交换律：a+b=b+a ；加法结合律：a+b+c=a+(b+c)．
②当多个有理数相加的时候，运用交换律和结合律会让计算变得简便，常用的结合技巧有四种，简称“四结合：①相反数结合（相反数和为0）；②凑整；③同分母分数或易通分的分数结合；④同号加数结合．
（2）回顾：乘法交换律：ab=ba ；乘法结合律：（ab）c=a（bc）；乘法分配律：a（b+c）=ab+ac
（一）加法交换律和结合律
例1．计算下列各式：
(1)
【解析】原式
(2)
【解析】原式
(3)
【解析】
过关检测
1．(1)
【解析】原式
(2)
【解析】原式
(3)
【解析】
（二）乘法交换律、结合律和分配律
例1.计算下列各题
（1）
（2）
（3）
（4）．
【分析】（1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（2）根据有理数的乘法运算，约分即可得解；
（3）利用乘法分配律进行计算即可得解；
（4）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解．
【解答】解：（1），
，
；
（2），
，
；
（3），
，
，
，
；
（4），
，
，
，
．
例2. 用简便方法计算：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【分析】（1）①利用乘法分配律计算；②先计算括号，然后再进行有理数的乘法运算；
（2）根据先乘除，后加减的法则直接运算；
（3）利用乘法交换律和分配律进行计算；
（4）提取后再计算．
【解答】解：（1）方法一：
原式
；
方法二：
原式
．
（2）方法一：原式
；
方法二：原式
（3）方法一：原式
．
方法二：原式
（4）方法一：原式
．
方法二：原式．
过关检测
1.计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；
（2）根据负因式个数为偶数个，得到结果为正，约分即可得到结果；
（3）原式第1、3项结合，2、4项结合，计算即可得到结果；
（4）原式变形后，利用乘法分配律逆运算计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
2.用简便方法计算．
（1），
，
，
，
．
（2）
．
（3）
【答案】
【解析】原式
（4）
【答案】
【解析】原式
（5）
【答案】
【解析】观察发现，提出一个 或 更好算，需要注意的是最后一项是除以 ，不能提出．
（三）裂项相消法
+
例1.阅读下面计算+++…+的过程，然后填空．
解：∵＝（﹣），＝（﹣），…，＝（﹣），
∴+++…+
＝（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝（﹣）
＝．
以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成：
（1）+＝ ；
（2）当+++…+x＝时，最后一项x＝ ．
解：（1）+
＝×（﹣）+×（﹣）
＝×（﹣+﹣）
＝×（﹣）
＝× ＝， 故答案为：；
（2）设x＝，
则+++…+＝，
×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝，
×（1﹣）＝，
1﹣＝，
＝，则2n+1＝13，解得：n＝6，∴x＝，故答案为：．
过关检测
1.阅读下列计算过程，然后根据你发现的规律解答问题
1+2＝＝3；
1+2+3＝＝6；
1+2+3+4＝＝10；
…
1+2+3+…+n＝．
将从1开始的n个连续自然数之和的计算规律用语言叙述出来： 首项与末项的和乘以项数的积的一半 ．
解；∵1+2+3+…+n＝，其中首项为1，末项为n，项数为n，
∴用语言叙述出来为：首项与末项的和乘以项数的积的一半．
2.请你观察：
＝﹣，＝﹣；＝﹣；…
+＝﹣+﹣＝1﹣＝；
++＝﹣+﹣+﹣＝1﹣＝；…
以上方法称为“裂项相消求和法”
请类比完成：
（1）+++＝ ；
（2）++++…+＝ ．
（3）计算：++++的值．
解：（1）原式＝﹣+﹣+﹣+﹣＝1﹣＝，故答案为：；
（2）原式＝﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝，
故答案为：；
（3）原式＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）
＝（1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣）
＝×（1﹣）
＝×
＝．
(四)连续自然数的加减
例2．阅读下面计算过程，发现规律，然后利用规律计算
1+2＝＝3，1+2+3＝＝6，1+2+3+4＝，1+2+…+n＝
（1）n个连续自然数之和的计算规律用语言叙述是 首项与末项的和乘以项数的积的一半
（2）计算：1+2+…+99+100
（3）求1+++…+的值．
解：（1）∵1+2+3+…+n＝，其中首项为1，末项为n，项数为n，
∴用语言叙述出来为：首项与末项的和乘以项数的积的一半．
故答案为：首项与末项的和乘以项数的积的一半；
（2）1+2+…+99+100
＝
＝5050；
（3）1+++…+
＝1+2（﹣+…+﹣）
＝1+2（﹣）
＝1．
过关检测
1．探索规律：从1开始，连续的自然数相加，它们的和的倒数情况如下表：
分母中加数的个数（n） 和的倒数
2
3
4
5
… …
（1）根据表中规律，求．＝ ；
（2）根据表中规律，则．＝ ；
（3）求的值．
解：（1）＝2（﹣）＝；
（2）＝2（﹣）＝；
（3）＝2（﹣+﹣+…+﹣）＝．
故答案为：，．
十一．绝对值的性质
内容讲解
（1）的意义
1．绝对值的概念：在数轴上，一个数所对应点与原点的________，叫做这个数的绝对值，记作：叫做的绝对值。正数的绝对值是________;负数的绝对值是_______；0的绝对值是________
2.绝对值的意义：
（1）几何定义：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值.（在数轴上表示数的点与原点的距离一定是非负数）
（2）代数定义：
3.绝对值的性质:非负性｜a｜和a的关系如下：
(1)｜｜＝ (2)() (3)()
（2）的意义
1.的意义：在数轴上表示到的距离；
2.的意义: 在数轴上表示到的距离
3.的意义：在数轴上表示到的距离
例1. 若，则a的取值范围是 。
【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，可得结论．
【解答】解：若，则的取值范围是)．
例2. 如果，则的值为 或6 ．
【分析】根据绝对值的性质求出，再加上即可求解．
【解答】解：，
，
或，
故答案为：或6．
例3．已知，则的取值范围是 ．
【解答】
例4. 数轴上点与数轴上表示3的点相距6个单位，点表示的数是
A．3 B． C．9 D．或9
例5．当，，且，则的值为
A． B．或 C．2 D．
例6．已知，则的值为
A．4 B． C． D．
例7. 已知与互为相反数，试求代数式
的值．
【分析】利用非负数的性质求出与的值，代入所求式子计算即可求出值．
【解答】解：，
，，
则原式
过关检测
1．，则是
A．2 B． C． D．2或
2．下列说法正确的是
A．0是最小的整数
B．若，则
C．互为相反数的两数之和为零
D．数轴上两个有理数，较大的数离原点较远
3．如果，那么
A． B． C． D．
4．的值是
A．0 B． C．或0 D．不能确定
5． 已知、满足，那么的值为 1 ．
【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质得出，的值，进而得出答案．
【解答】解：，
，，
解得：，，
故．
故答案为：1．
6. 的倒数是 ；的相反数是 -2 ；的绝对值是 9 ．
7．在数轴上，若点表示，则距点3个单位长的点表示的数是 或1 ．
8．已知
（1）求、的值；
（2）求下列式子的值：
【分析】（1）根据非负数的性质列方程即可得到结论；
（2）把，的值代入代数式即可得到结论．
【解答】解：（1），
，，
解得：，，
（2）当，时，
，
，
，
．
十二．化简绝对值
内容讲解
解决口诀：一看二定三算
(一).根据已知范围化简绝对值
例1.若，，则化简的结果为 ．
【分析】根据所给条件，可以判断出，的正负值，然后再去绝对值化简．
【解答】解：因为，，
所以，则，，
则．
故本题的答案是．
过关检测
1．如果，并且，那么代数式化简后得到的最后结果是（ ）
A．－10 B．10 C． D．
【解答】D，
2.若||+=0，||=，||﹣=0，化简：||﹣||﹣||+|c|= ．
【解答】b
(二).根据数轴化简绝对值
例1. 有理数，，在数轴上的位置如图所示：
试化简： ．
【解答】解：由数轴可知，，，，
则：．
例2. 已知、、在数轴上的位置如图所示，化简：
【分析】先根据数轴上各点的位置确定、、、的符号，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可．
【解答】解：、在原点的左侧，，
，，
，，
，
，
，
原式
．
故答案为：．
过关检测
1．如图，数轴上的三点、、分别表示有理数，，，化简 ．
【分析】由数轴可知：，，所以可知：，，．根据负数的绝对值是它的相反数可求值．
【解答】解：由数轴得，，，
因而，，．
．
故答案为：．
2. 已知有理数、、在数轴上位置如图所示．
（1）比较大小：用“”符号把、、、、、连接起来；
（2）化简：．
【分析】（1）根据有理数的大小比较即可；（2）根据绝对值化简解答即可．
【解答】解：（1）由图可得：，
所以；
（2）因为，，，
所以
．
十三：实际应用
内容讲解
（一）直接加减
例1.规定向北为正，某人走了+5米，又继续走了﹣10米，那么，他实际上（ D ）
A．向北走了15米 B．向南走了15米
C．向北走了5米 D．向南走了5米
解：∵5+（﹣10）＝﹣5km，∴实际上向南走了5米． 故选：D．
例2.某工厂某周计划每日生产自行车100辆，由于每日上班人数不一定相等，由于工人实行轮休，实际每日生产量与计划量相比情况如表（增加的为正数，减少的为负数），则本周是增加还是减少？ 减少 ，实际生产总量为 696 辆．
星期 一 二 三 四 五 六 七
增加/辆 ﹣1 +3 ﹣2 +4 +7 ﹣5 ﹣10
解：﹣1+3+（﹣2）+4+7+（﹣5）+（﹣10）＝﹣4，
本周减少了，本周生产量为700﹣4＝696辆， 故答案为：减少，696．
过关检测
1.规定向东为正，某人走了+6米，又继续走了﹣22米，那么，他实际上（ A ）
A．向西走了16米 B．向南走了15米
C．向北走了5米 D．向东走了5米
解：∵6+（﹣22）＝﹣16m，∴实际上向西走了16米． 故选：A．
2. 某检修小组从A地出发，在东西方向的线路上检修线路，如果规定向东方向行驶为正，向西方向行驶为负，一天行驶记录如下（单位：km）：﹣4，+7，﹣9，+8，+5，﹣3，+1，﹣5．求收工时的位置；
解：﹣4+（+7）+（﹣9）+（+8）+（+5）+（﹣3）+（+1）+（﹣5）
＝﹣4+7﹣9+8+5﹣3+1﹣5＝0km． 答：收工时回到出发地A地．
（二）绝对值后加减
例3. 某检修小组从A地出发，在东西方向的线路上检修线路，如果规定向东方向行驶为正，向西方向行驶为负，一天行驶记录如下（单位：km）：﹣4，+7，﹣9，+8，+5，﹣3，+1，﹣5．若每km耗油量为0.5升，则从出发到收工共耗油多少升？
解： （|﹣4|+|+7|+|﹣9|+|+8|+|+5|+|﹣3|+|+1|+|﹣5|）×0.5
＝（4+7+9+8+5+3+1+5）×0.5
＝42×0.5＝21（升）．答：从出发到收工共耗油21升．
例4. 小王在一条南北路上往返跑．如果向南记作“+”，向北记作“﹣”．他这天下午跑步情况如下：（单位：千米）
﹣2.4，+2.5，﹣1.8，+1.7，﹣2.4，+2，﹣2.4，+2.2
请回答：小王这天下午一共跑了多少千米？
解：|﹣2.4|+2.5+|﹣1.8|+1.7+|﹣2.4|+2+|﹣2.4|+2.2
＝17.4
答：小王这天下午一共跑了17.4千米．
过关检测
1.一只蚂蚁从某点M出发，在一条直线上来回爬行，把它向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则它爬过的各段路程依次为：﹣3cm，+10cm，﹣8cm，+5cm，﹣6cm，+12cm，﹣10cm．
蚂蚁在爬行过程中，如果每爬行2cm就1粒芝麻，那么最后它共得到多少粒芝麻？
小蚂蚁从离开出发点开始走的路程：|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|+5|+|﹣6|+|12|+|﹣10|＝54厘米
在爬行过程中，小蚂蚁得到的奖励是：54÷2＝27（粒）
答：在爬行过程中，最后它共得到27粒芝麻．
2.出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作“+”，向北记作“﹣”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米；每次行车都有乘客）
﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，﹣5，+6
请回答：
若小王的出租车每千米耗油0.3升，每升汽油6元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午是盈利还是亏损了？盈利（或亏损）多少钱？
解：（|﹣2|+5+|﹣1|+10+|﹣3|+|﹣2|+|﹣5|+6）×0.3×6
＝34×0.3×6
＝61.2（元），
108﹣61.2＝46.8（元）
答：小王这天下午是盈利，盈利46.8元．
（三）后一天与前一天的比较
例5.“十 一”黄金周期间，武汉东湖风景区在7天假期中每天旅游人数变化如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前天少）
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化 单位：万人 +1.8 ﹣0.6 +0.2 ﹣0.7 ﹣1.3 +0.5 ﹣2.4
（1）若9月30日的旅客人数为4.2万人，则10月4日的旅客人数为 4.9 万人；
（2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多 4.3 万人
（3）如果每万人带来的经济收入约为100万元，则黄金周七天的旅游总收入约为多少万元？
解：（1）根据题意列得：4.2+（1.8﹣0.6+0.2﹣0.7）＝4.2+0.7＝4.9（万人）；
（2）根据表格得：七天中旅客最多的是1日为6万人，最少的是7日为1.7万人，
则七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多6﹣1.7＝4.3（万人）；
（3）根据表格得：每天旅客人数分别为6万人、5.4万人、5.6万人、4.9万人、3.6万人、4.1万人、1.7万人，
则黄金周七天的旅游总收入约为（6+5.4+5.6+4.9+3.6+4.1+1.7）×100＝3130（万元）．
例6．股民小万上周五以每股13元的价格买进某种股票10000股，该股票这周内与前一天相比的涨跌情况如下表（单位：元）
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌
（1）本周内哪一天把股票抛出比较合算？为什么？
（2）已知小万买进股票时付了3‰的手续费，卖出时需付成交额3‰的手续费和2‰的交易税，如果小万在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？
解：（1）星期一的股票价格为元，星期二的股票价格为元，星期三的股票价格为元，星期四的股票价格为元，
星期五的股票价格为元，
本周内星期五股票价格最高，这天把股票抛出比较合算；
（2）小万在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收入‰‰‰（元．
过关检测
1.一位病人发高烧进医院进行治疗，医生给他开了药并挂了水，同时护士每隔1小时对病人测体温，及时了解病人的好转情况，现护士对病人测体温的变化数据如下表：
时间 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00 14：00 15：00
体温（与前一次比较） 升0.2 降1.0 降0.8 降1.0 降0.6 升0.4 降0.2 降0.2 降0
注：病人早晨进院时医生测得病人体温是40.2℃．
问：（1）病人什么时候体温达到最高，最高体温是多少？
（2）病人中午12点时体温多高？
（3）病人几点后体温稳定正常？（正常体温是37℃）
解：（1）早上7：00，最高达40.4℃；
（2）病人中午12点时体温为：40.2+0.2﹣1﹣0.8﹣1﹣0.6+0.4＝37.4℃；
（3）14：00以后．
时间 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00 14：00 15：00
体温（与前一次比较） 升0.2 40.4 降1.0 39.4 降0.8 38.6 降1.0 37.6 降0.6 37 升0.4 37.4 降0.2 37.2 降0.2 37 降0 37
2．小红爸爸上星期六买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况．（单位：元）
星期 一 二 三 四 五 六
每股涨跌
（1）通过上表你认为星期三收盘时，每股是多少？
（2）本周内每股最高是多少？最低是多少元？
（3）已知小红爸爸买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时还需付成交额，1.5‰的手续费和1‰的交易税，如果小红爸爸在星期六收盘时将全部股票卖出，你对他的收益情况怎样评价？
解：（1），
则星期三收盘时，每股是元；
（2）本周内最高价是元；最低价是元；
（3）买入时，‰元，
卖出时每股：元，
所以卖出时的总钱数为‰‰元，
所以小红爸爸的收益为元，故赚了889.5元．
十四：数轴动点问题
内容讲解
例1. ．点在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧．若一个点从点处向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，此时中点所表示的数是 A
A．0 B．6 C． D．
解：点在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧．若一个点从点处向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，点表示的数是，，
即点最终的位置在数轴上对应的数是0， 故选：．
例2.（1）在数轴上标出数，，1，3.5所对应的点，，，；
（2），两点间距离 2.5 ；，两点间距离 ；
（3）数轴上有两点，，点对应的数为，点对应的数为，那么，两点之间的距离 ；
（4）若动点，分别从点，同时出发，沿数轴负方向运动；已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，问①为何值时，两点重合？②为何值时，两点之间的距离为1？
解：（1）如图所示：
（2），；
（3）；
（4）①依题意有，解得．故为3秒时，两点重合；
②依题意有，解得；或，解得．
故为2秒或4秒时，两点之间的距离为1．
故答案为：2.5，3；．
例3． 已知如图，在数轴上有，两点，所表示的数分别为，，点以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为秒，解答下列问题：
（1）运动前线段的长为 6 ； 运动1秒后线段的长为 4 ；
（2）运动秒后，点，点运动的距离分别为 和 ；
（3）求为何值时，点与点恰好重合；
（4）在上述运动的过程中，是否存在某一时刻，使得线段的长为5，若存在，求的值； 若不存在，请说明理由．
解：（1），运动1秒后，表示，表示，
． 故答案为6，4．
（2）运动秒后，点，点运动的距离分别为，，故答案为，．
（3）由题意：，．
（4）由题意：或，解得或，
的值为或秒时，线段的长为5．
过关检测
1. 点在数轴上距原点3个长度单位，且位于原点左侧．若一个点从点向右移动4个单位长度，再向左移动1个长度单位，此时终点所表示的数是 0 ．
解：点在数轴上距原点3个长度单位，且位于原点左侧，点表示的数为；
从点向右移动4个单位长度，此时点表示的数为；
再向左移动1个长度单位，此时点所在终点所表示的数是．故答案为：0．
2. 在数轴上把表示的点沿数轴移动6个单位后得到点，则所表示的数为 1或 ．
解：将表示的点沿数轴向右移动6个单位后得到点所表示的数为1；
将表示的点沿数轴向左移动6个单位后得到点所表示的数为，故答案为：1或
3． 已知点在数轴上对应的有理数为，将点向左移动6个单位长度，再向右移动2个单位长度与点重合，点对应的有理数为．
（1）求；
（2）如果数轴上的点在数轴上移动3个单位长度后，距点8个单位长度，那么移动前的点距离原点有几个单位长度？
解：（1）依题意有，解得．
（2）点在数轴上向左移动3个单位长度是或；
点在数轴上向右移动3个单位长度是或．
故移动前的点距离原点有29或13或35或19个单位长度．
学习任务
1．同舟共济克时艰，众志成城战疫魔，全国广大共产党员为支持新冠肺炎疫情防控工作踊跃捐款，他们的善心和爱意汇聚成汩汩暖流，在春天的神州大地奔涌流淌．据统计，截止到2020年3月10日，全国党员自愿捐款共计76.8亿元，将数据76.8亿用科学记数法表示为
A． B． C． D．7680000000
2. 下列各数中3，﹣7，﹣，5.6，0，﹣8，15，，非正数有（ D ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：由题意可知负数有3个，加上0，非正数有4个，故选：D．
3. 把数轴上表示数2的点移动3个单位后，表示的数为 D
A．5 B．1 C．5或1 D．5或
解：把数轴上表示数2的点移动3个单位后，表示的数为5或．故选：．
4．下列说法中：
①0是最小的整数；
②有理数不是正数就是负数；
③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；
④非负数就是正数；
⑤不仅是有理数，而且是分数；
⑥是无限不循环小数，所以不是有理数；
⑦无限小数不都是有理数；
⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．
其中错误的说法的个数为
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
5．下面图形是数轴的是
A． B．
C． D．
6．相反数不大于它本身的数是
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
7．的相反数
A． B． C． D．
8．如果，，那么的值为
A．1 B．3 C．1或3 D．或
9．某种零件，标明加工要求是表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是，该零件 不合格 （填“合格”或“不合格” ．
10．把下列各数按要求分类
① ② ③ ④0 ⑤ ⑥ ⑦0.6 ⑧ ⑨ ⑩
负整数： ①⑥ ；分数：②③⑤⑦⑧⑨；非正整数：①④⑥．
11．若与互为相反数，则 ．
12. 已知为有理数，则下列四个数中一定为非负数的是
A． B． C． D．
【分析】根据绝对值的性质，可得答案．
【解答】解：、可能是负数、可能是零、可能是正数，故不符合题意；
、可能是负数、可能是零、可能是正数，故不符合题意；
、是非负数，故符合题意；
、是非正数，故不符合题意；
故选：．
13. 数轴上表示数和表示的两点之间的距离是 9 ．
【分析】数轴上两点之间的距离等于这两点的数的差的绝对值，即较大的数减去较小的数．
【解答】解：．
14. 在数轴上与表示的点的距离等于5的点所表示的数是 或4 ．
【分析】在数轴上和表示的点的距离等于5的点，可能表示左边的比小5的数，也可能表示在右边，比大5的数．据此即可求解．
【解答】解：表示左边的，比小5的数时，这个数是；
表示右边的，比大5的数时，这个数是．
故答案为或4．
15. （1）如果，则 ；
（2）如果，则 ．
【分析】（1）根据绝对值的性质，直接求解即可；
（2）因为，则有或，故可求．
【解答】解：（1），
；
（2），
，
，
或，
．
故或．
16. 已知，，互为相反数，求的值．
【分析】根据非负数的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，
，，
，，
原式
17. 已知有理数，，在数轴上的位置如图所示且
（1）求；
（2）化简．
【分析】（1）根据数轴表示数的方法得到，，而，所以与互为相反数，则，；
（2）根据数轴表示数的方法得，然后根据绝对值的意义去绝对值后合并即可．
【解答】解：（1），，，
，；
（2）原式
．
18.用简便方法计算：
①16+（﹣25）+24+（﹣35）
②7
③（﹣2.48）+（+4.33）+（﹣7.52）+（﹣4.33）
④（﹣2）+3+1+（﹣3）+2+（﹣4）
【分析】利用有理数加法交换结合律计算即可，①正数与正数结合，负数与负数结合，②同分母相结合，③、④互为相反数的相结合．
【解答】解：①16+（﹣25）+24+（﹣35）
＝（16+24）+[（﹣25）+（﹣35）]
＝40+（﹣60）
＝﹣20；
②7
＝[]+[（﹣）+]
＝2+（﹣2）
＝﹣；
③（﹣2.48）+（+4.33）+（﹣7.52）+（﹣4.33）
＝[（﹣2.48）+（﹣7.52）]+[（+4.33）+（﹣4.33）]
＝（﹣10）+0
＝﹣10；
④（﹣2）+3+1+（﹣3）+2+（﹣4）
＝[（﹣2）+2]+[3+（﹣3）]+1+（﹣4）
＝0+0+1+（﹣4）
＝﹣3．
19.计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】分别根据有理数的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的进行计算即可得解．
【解答】解：（1），
，
，
；
（2），
，
，
；
（3），
，
；
（4），
，
，
．
20.计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值；
（2）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值；
（3）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值；
（4）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
21.计算题：
（1）8+（﹣3）2×（﹣2）﹣（﹣3） （2）﹣12﹣24×（﹣+﹣）
解：（1）原式＝8+9×（﹣2）+3
＝8﹣18+3
＝﹣10+3
＝﹣7；
（2）原式＝﹣1﹣24×（﹣）﹣24×﹣24×（﹣）
＝﹣1+4﹣16+18
＝3﹣16+18
＝﹣13+18 ＝5．
22.（1）；
（2）．
解：（1）原式＝﹣×（﹣24）+×（﹣24）﹣×（﹣24）
＝8﹣20+9
＝﹣3；
（2）原式＝﹣1+25×（﹣）﹣|﹣|
＝﹣1﹣﹣
＝﹣43．
23.计算+++…+
解：因为＝（﹣），＝（﹣）…＝（﹣）
所以+++…+
＝（﹣）+（﹣）+（﹣）…+（﹣）
＝（﹣+﹣+﹣…+﹣）＝（﹣）＝
24.股市一周内周六、周日两天不开市，股民小王上周五以每股25.20元的价格买进某公司股票10000股，下表为本周内每天该股票的涨跌情况：
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌情况 ﹣0.1 +0.4 ﹣0.2 ﹣0.4 +0.5
注：表中正数表示股价比前一天上涨，负数表示股价比前一天下跌．
（1）星期四收盘时，每股多少元？
（2）本周内哪一天股价最高，是多少元？
（3）股民小王本周末将该股票全部售出（不记交易税），小王在本次交易中获利多少元？
（4）股民在本周哪一天将股票全部售出获利最多？（不计交易税）
解：（1）25.2﹣0.1+0.4﹣0.2﹣0.4＝24.9（元）；
（2）周一：25.2﹣0.1＝25.1（元），周二：25.1+0.4＝25.5（元），
周三：25.5﹣0.2＝25.3（元），周四：25.3﹣0.4＝24.9（元），
周五：24.9+0.5＝25.4（元），所以本周内周二股价最高，是25.5元；
（3）（25.4﹣25.2）×10000＝0.2×10000＝2000（元）；
（4）由（2），得到周二股价最高，所以股民在本周二天将股票全部售出获利最多．
25. 一只蚂蚁从某点M出发，在一条直线上来回爬行，把它向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则它爬过的各段路程依次为：﹣3cm，+10cm，﹣8cm，+5cm，﹣6cm，+12cm，﹣10cm．
（1）问这只蚂蚁最后是否回到了出发点M？
（2）蚂蚁离出发点M最远时是多少厘米？是在出发点的左边还是右边？
解：（1）根据题意可得：向右爬行的路程记为“+”，向左爬行的路程记为“﹣”．
则小蚂蚁最后离开出发点的距离是：﹣3+10﹣8+5﹣6+12﹣10＝0．
答：小蚂蚁最后回到了出发点M．
（2）﹣3+10＝7，7﹣8＝﹣1，﹣1+5＝4，4﹣6＝﹣2，﹣2+12＝10，10﹣10＝0，
小蚂蚁在爬行过程中离出发点M最远时在右边，离开出发点M相距10厘米；
26．已知数轴上的点和点之间的距离为28个单位长度，点在原点左边，距离原点8个单位长度，点在原点的右边．
（1）请直接写出，两点所对应的数．
（2）数轴上点以每秒1个单位长度的速度出发向左运动，同时点以每秒3个单位长度的速度出发向左运动，在点处追上了点，求点对应的数．
【解答】解：（1）根据题意得：点所对应的数是；对应的数是20；
（2）设经过秒点、相遇，
根据题意得：，
解得：，
则点对应的数为；
27．根据给出的数轴，解答下面的问题：
（1）请你根据图中、两点的位置，分别写出它们所表示的有理数 1， ．
（2）观察数轴，与点的距离为4的点表示的数是： 5和 ．
（3）若将数轴折叠，使得点与表示的点重合，则：①点与哪个数表示的点重合？②若数轴上、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经过折叠后互相重合，求、两点表示的数分别是多少？
、两点表示的数分别是，1005
28. 如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．
（1）请写出与、两点距离相等的点所对应的数；
（2）现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，你知道点对应的数是多少吗？
（3）若当电子蚂蚁从点出发时，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？
解：（1）点对应的数是；
（2）它们的相遇时间是（秒，
即相同时间点运动路程为：（个单位），
即从数向右运动48个单位到数28；
（3）相遇前：（秒，
相遇后：（秒．
故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度．
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第1讲 有理数的复习
目标层级图
课中讲解
一．有理数的概念
内容讲解
①为了表示具有相反意义的量，我们通常把其中一个数前面加上____号，把另一个数前面加上______号来进行区分；前面带__________号的数叫做正数，前面的_______号经常可以省略不写，前面带__________号的数叫做负数;
②__________既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点；
③__________大于零，________小于零，正数_______一切负数.
例1．某地气象资料表明，高度每增加1000米，气温就下降大约，现在5 000米高空的气温是，则地面气温约是 ．
例2．纽约与北京的时差为小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），当北京时间1月7日8时时，纽约的时间是
A．1月6日21时 B．1月7日21时 C．1月6日19时 D．1月6日20时
例3． 某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有“、、”的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差
A． B． C． D．
过关检测
1.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上记为，则表示气温为 ．
2．某种食品保存的温度是，以下几个温度中，适合储存这种食品的是
A． B． C． D．
3．巴黎与北京的时差为小时，李阳在北京乘坐8点的航班飞行10小时到达巴黎，那么李阳到达巴黎时间是 点．
二．有理数的分类
内容讲解
有理数： 与 统称为有理数
整数： 、 和 统称为整数
分数： 、 统称为分数，有限小数和无限循环小数也是分数
有理数的分类：
1.按符号分类: 2.按定义分类：
注：非负数： 、非正数： 、非负整数： 、自然数： .
例1. 、45、、0、、、、
解：正整数集： .
负分数集： .
非负数集： .
过关检测
1．在数2，0，，，，，中，负分数有 ；非负数有 ；整数有 ．
2 . 把下列各数分别填在相应的大括号内
7，，，，106，，，31.25，， ，0 ， 2.1 ， 10% ，，，，
正整数集合{ }；负整数集合{ }；
整数集合{ }；正分数集合{ }；
负分数集合{ }；非负整数集合{ }。
有理数集合{ }
三．数轴
内容讲解
1. 数轴三要素： 、 、 .
2. 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示．
3. 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数 0；负数 0；正数 负数。
例1. 下列图形中，数轴画正确是
A． B．
C． D．
例2. 如图，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有的整数为 ．
例3．有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是
A． B． C． D．
例4．一个点从数轴的原点开始，向右移动5个单位长度，再向左移动8个单位长度，到达的终点表示的数是 ．
过关检测
1. 下列说法：
①规定了原点、正方向的直线是数轴；
②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；
③有理数在数轴上无法表示出来；
④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点
其中正确的是
A．①②③④ B．②②③④ C．③④ D．④
2. 下列图形中，属于数轴的是
A． B．
C． D．
3．若数轴上表示和3的两点分别是点和，则点和点之间的距离是
A． B． C．1 D．5
4．在数轴上表示下列各数：0，，，，，，并用“”号连接．
四．相反数、倒数
内容讲解
1. 倒数的定义： 的两个有理数互为倒数。（注意：0没有倒数）
2. 相反数定义： , 的两个数互为相反数。
例如:-2 与 互为相反数。用字母表示a与 是相反数, 0的相反数是 。
例1. 下面两个数中互为相反数的是
A．和0.5 B．和 C．和0.333 D．和
例2. 如图所示，数轴上点所表示的数的相反数是
A．2 B． C．3 D．
例3．和互为相反数，并且，那么 ， ．
例4．2020的倒数是
A． B．2020 C． D．
例5．若和互为倒数，则 ．
过关检测
1．绝对值等于它本身的数是 ；倒数等于它本身的数是 ．
2. 有这样四句话：（1）是相反数；（2）和4都是相反数；（3）是4的相反数，同样4也是的相反数；（4）与4互为相反数，其中说得对的是
A．（1）与（2） B．（2）与（3） C．（1）与（4） D．（3）与（4）
3．已知，若、互为相反数，则 ，2007．
4．的倒数是
A． B． C． D．3
5．若，互为相反数，则下列等式不一定成立的是
A． B． C． D．
6．若，互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是
A．和 B．和 C．和 D．和
7．若的相反数是3，那么的值是
A． B． C． D．
五．科学计数法
内容讲解
一般地，一个大于 10 的数可以表示成 的形式，其中 ，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。
1万= ，1亿= ，1米= 纳米 ，1吨=
例1. 钓鱼岛是中国的固有领土，其渔业资源十分丰富，年捕鱼量达16万吨，数据16万用科学记数法表示为
A． B． C． D．
例2. 据统计，截至2021年4月14日，全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗175 623 000剂次，这个数用科学记数法表示为 ．
过关检测
1. 火星到地球的最远距离约为4.01亿千米，4.01亿千米用科学记数法表示为
A． 千米 B． 千米
C． 千米 D． 千米
2．2020年5月6日，成都市又添一座崭新的、面向世界、面向未来的成渝地区双城经济圈新兴城市一成都东部新区．新区规划到2035年，地区生产总值达到3200亿元，3200亿用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3. 国家林业和草原局发布的最新数据显示，“十三五”以来，中国荒漠化防治成效显著，全国累计完成防沙治沙任务8800000公顷，8800000用科学记数法表示为 ．
六. 有理数的加、减法运算
内容讲解
1.有理数的加法：
（1）同号两数相加
①法则：取与加数 的符号，并把绝对值 ．
②运算步骤：先 ，取与加数相同的符号，作为结果的符号；再 ，把加数的绝对值相加，作为结果的绝对值．
③注意书写格式：第一个加数前若有符号，此加数可以不带括号也可以带括号，如+15+（+35）=+50或（+15）+（+35）=+50；第二个加数前若有括号，必须带括号，如15+（+35）=+50（正确） 15++35=+50（错误）
（2）异号两数相加
①法则：绝对值相等时和为 ；绝对值不等时，取绝对值较 的加数的符号，并用 ．
②运算步骤：先 ，取绝对值较大的加数的符号，作为结果的符号；再 ，用较大的绝对值减去较小的绝对值．
③注意：异号两数相加，计算前要先找出绝对值较大的加数．
（3）一个数和 相加，仍得这个数．
2.有理数的减法
①法则：减去一个数，等于 这个数的 ．如果用字母 a、b表示有理数，那么有理数减法法则可表示为：
②运算步骤：变号，减号变加号；变数，减数变为相反数；算结果，运用加法法则求出结果．
3.去括号法则：
（1）括号前是“加号”：去掉“加号”及括号，括号内每个数前面的“加减号” ；
即：
（2）括号前是“减号”：去掉“减号”及括号，括号内每个数前面的“加减号” ．
即：
（一）有理数的加法运算
1． 同号两数相加
例1．计算同号两数相加：
（1） =________； （2） =________；
（3） =________； （4） =________；
（5） ________；
过关检测
1．填空题：
（1） ________； （2） ________；
（3） ________； （4）；
（5）； （6）；
（7） ________； （8） ________．
2．异号两数相加
例2．计算异号两数相加：
（1） =________； （2） =________；
（3） ________； （4） ________；
（5） =________．
过关检测
1．计算：
（1） ________， （2） ________，
（3） ________， （4） ________．
（二）有理数的减法运算
例1．（1） （2）．
(3) （4）．
例2．
过关检测
1．计算：（1） （2）
（3） （4）
2．
（三）有理数的加减混合运算
例1. 请完成下列计算：
(1) (2)
(3)
例2. 有理数加减混合运算：
(1) (2)
过关检测
1. 请完成下列计算：
(1) (2)
(3)
2. 有理数加减混合运算：
(1) (2)
七. 有理数的乘、除法运算
内容讲解
1.有理数的乘法
（1）法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0．
（2）运算步骤：先定号，同号得 ，异号得 ；再算值，把因数的绝对值相乘．
（3）注意书写格式：第一个数若前面有符号，可以带括号也可以 ；第二个数若前面有符号， ．如，（-4）x（+5）=-20（正确） （-4）x（+5）=-20（正确） （-4）x+5=-20（错误）
（4）多个数相乘的运算法则：
①几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为 ；当负因数有偶数个时，积为 ；再把每个因数的绝对值相乘作为结果的绝对值．
②有一个因数为0，积为0．
2.有理数的除法
（1）法则：两数相除，同号 ，异号 ，并把绝对值相除．
（2）0除以任何一个不为0的数，都得 ．
注意：0不可作为 ，否则无意义．
（3）除以一个不等于0的数，等于 ．即：
总结：有理数除法的两种思路：①直接除 ②变除法为乘法
3.有理数的乘除法混合运算步骤：
（1）先定号：奇负偶正，再把绝对值做乘除运算；
（2）除法变乘法：除以一个数等于乘以它的倒数；
（3）灵活运用乘法运算律巧算．
（一）有理数的乘法运算
例1.（1） ________；（2） ________．
过关检测
1. 计算：
（1） _____;（2） ______;（3） ________.
（二）有理数的除法运算
例1. 计算：
（1） ________ ； （2） ________ ；
（3） ________ ；（4） ________ .
例2. 填空题：
（1） ________， ________；
（2） ________， ________；
（3） ________ ， ________ .
过关检测
1. 计算：
（1） ________；（2） ________；
（3） ________；（4） ________．
2. 计算：
① ________；② ________；
③ ________； ④ ________ ．
（三）有理数乘除混合运算
例1. 计算：
(1) ； (2) ； (3) ．
过关检测
1. 计算：
(1) (2)
(3) (4)
【备注】乘除法混合运算顺序：
（1）若有绝对值先计算绝对值
（2）定号：奇负偶正；然后绝对值进行乘除运算
（3）若有带分数化成假分数
（4）将除法变成乘法
八. 有理数的乘方运算
内容讲解
乘方运算的符号法则：
（1）正数的任何次幂都是 ；
（2）负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ；
（3）0的正数次幂都是0，任何不等于0的数的0次方都等于 ；
特别注意：1的任何次方都等于1；-1的偶次方等于1；-1的奇次方等于-1．
（一）有理数的乘方运算
例1. 计算：
（1），，； （2），，； （3），．
过关检测
1. 计算．
（1）； （2）； （3）；（ 4）； （5）．
2. 计算：
（1）； （2）； （3）； （4）； （5）；
（6）； （7）； （8）．
（二）有理数乘除及乘方混合运算
例1. 请完成下列计算：
(1) (2)
(3)
过关检测
1. 请完成下列计算：
(1) (2) (3)
九. 有理数的混合运算
内容讲解
有理数的混合运算法则：
（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；
（2）如果有括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号；
（3）同级运算，按照从左到右的顺序进行．
注意：混合运算中，互相没有影响时，多个运算可同时进行．
例1. 请完成下列计算：
(1) (2)
(3) (4)
过关检测
1. 请完成下列计算：
(1) (2)
(3) (4)
十. 使用运算律进行简便运算
内容讲解
（1）①回顾：加法交换律： ；加法结合律： .
②当多个有理数相加的时候，运用交换律和结合律会让计算变得简便，常用的结合技巧有四种，简称“四结合：①相反数结合（相反数和为0）；②凑整；③同分母分数或易通分的分数结合；④同号加数结合．
（2）回顾：乘法交换律： ；乘法结合律： ；乘法分配律： .
（一）加法交换律和结合律
例1．计算下列各式：
(1) (2)
(3)
过关检测
1．(1) (2)
(3)
（二）乘法交换律、结合律和分配律
例1. 计算下列各题
（1） （2）
（3） （4）．
例2. 用简便方法计算：
（1）． （2）．
（3）． （4）．
过关检测
1. 计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
2. 用简便方法计算．
（1）， （2）
（3） （4）
（5）
（三）裂项相消法
+
例1. 阅读下面计算+++…+的过程，然后填空．
解：∵＝（﹣），＝（﹣），…，＝（﹣），
∴+++…+
＝（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝（﹣）
＝．
以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成：
（1）+＝ ；
（2）当+++…+x＝时，最后一项x＝ ．
过关检测
1. 阅读下列计算过程，然后根据你发现的规律解答问题
1+2＝＝3；
1+2+3＝＝6；
1+2+3+4＝＝10；
…
1+2+3+…+n＝．
将从1开始的n个连续自然数之和的计算规律用语言叙述出来： ．
2. 请你观察：
＝﹣，＝﹣；＝﹣；…
+＝﹣+﹣＝1﹣＝；
++＝﹣+﹣+﹣＝1﹣＝；…
以上方法称为“裂项相消求和法”
请类比完成：
（1）+++＝ ；
（2）++++…+＝ ．
（3）计算：++++的值．
(四)连续自然数的加减
例2．阅读下面计算过程，发现规律，然后利用规律计算
1+2＝＝3，1+2+3＝＝6，1+2+3+4＝，1+2+…+n＝
（1）n个连续自然数之和的计算规律用语言叙述是 .
（2）计算：1+2+…+99+100
（3）求1+++…+的值．
过关检测
1．探索规律：从1开始，连续的自然数相加，它们的和的倒数情况如下表：
分母中加数的个数（n） 和的倒数
2
3
4
5
… …
（1）根据表中规律，求．＝ ；
（2）根据表中规律，则．＝ ；
（3）求的值．
十一．绝对值的性质
内容讲解
（1）的意义
1．绝对值的概念：在数轴上，一个数所对应点与原点的________，叫做这个数的绝对值，记作：叫做的绝对值。正数的绝对值是________;负数的绝对值是_______；0的绝对值是________
2.绝对值的意义：
（1）几何定义：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值.（在数轴上表示数的点与原点的距离一定是非负数）
（2）代数定义：
3.绝对值的性质:非负性｜a｜和a的关系如下：
(1)｜｜＝ (2)() (3)()
（2）的意义
1.的意义：在数轴上表示到的距离；
2.的意义: 在数轴上表示到的距离
3.的意义：在数轴上表示到的距离
例1. 若，则a的取值范围是 .
例2. 如果，则的值为 ．
例3．已知，则的取值范围是 ．
例4. 数轴上点与数轴上表示3的点相距6个单位，点表示的数是
A．3 B． C．9 D．或9
例5．当，，且，则的值为
A． B．或 C．2 D．
例6．已知，则的值为
A．4 B． C． D．
例7. 已知与互为相反数，试求代数式
的值．
过关检测
1．，则是
A．2 B． C． D．2或
2．下列说法正确的是
A．0是最小的整数
B．若，则
C．互为相反数的两数之和为零
D．数轴上两个有理数，较大的数离原点较远
3．如果，那么
A． B． C． D．
4．的值是
A．0 B． C．或0 D．不能确定
5． 已知、满足，那么的值为 ．
6. 的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 ．
7．在数轴上，若点表示，则距点3个单位长的点表示的数是 ．
8．已知
（1）求、的值；
（2）求下列式子的值：
十二．化简绝对值
内容讲解
解决口诀：一看二定三算
(一).根据已知范围化简绝对值
例1. 若，，则化简的结果为 ．
过关检测
1．如果，并且，那么代数式化简后得到的最后结果是（ ）
A．－10 B．10 C． D．
2. 若||+=0，||=，||﹣=0，化简：||﹣||﹣||+|c|= ．
(二).根据数轴化简绝对值
例1. 有理数，，在数轴上的位置如图所示：
试化简： ．
例2. 已知、、在数轴上的位置如图所示，化简：
过关检测
1．如图，数轴上的三点、、分别表示有理数，，，化简 ．
2. 已知有理数、、在数轴上位置如图所示．
（1）比较大小：用“”符号把、、、、、连接起来；
（2）化简：．
十三. 实际应用
内容讲解
（一）直接加减
例1. 规定向北为正，某人走了+5米，又继续走了﹣10米，那么，他实际上（ ）
A．向北走了15米 B．向南走了15米
C．向北走了5米 D．向南走了5米
例2. 某工厂某周计划每日生产自行车100辆，由于每日上班人数不一定相等，由于工人实行轮休，实际每日生产量与计划量相比情况如表（增加的为正数，减少的为负数），则本周是增加还是减少？ ，实际生产总量为 辆．
星期 一 二 三 四 五 六 七
增加/辆 ﹣1 +3 ﹣2 +4 +7 ﹣5 ﹣10
过关检测
1. 规定向东为正，某人走了+6米，又继续走了﹣22米，那么，他实际上（ ）
A．向西走了16米 B．向南走了15米
C．向北走了5米 D．向东走了5米
2. 某检修小组从A地出发，在东西方向的线路上检修线路，如果规定向东方向行驶为正，向西方向行驶为负，一天行驶记录如下（单位：km）：﹣4，+7，﹣9，+8，+5，﹣3，+1，﹣5．求收工时的位置；
（二）绝对值后加减
例3. 某检修小组从A地出发，在东西方向的线路上检修线路，如果规定向东方向行驶为正，向西方向行驶为负，一天行驶记录如下（单位：km）：﹣4，+7，﹣9，+8，+5，﹣3，+1，﹣5．若每km耗油量为0.5升，则从出发到收工共耗油多少升？
例4. 小王在一条南北路上往返跑．如果向南记作“+”，向北记作“﹣”．他这天下午跑步情况如下：（单位：千米）
﹣2.4，+2.5，﹣1.8，+1.7，﹣2.4，+2，﹣2.4，+2.2
请回答：小王这天下午一共跑了多少千米？
过关检测
1. 一只蚂蚁从某点M出发，在一条直线上来回爬行，把它向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则它爬过的各段路程依次为：﹣3cm，+10cm，﹣8cm，+5cm，﹣6cm，+12cm，﹣10cm．蚂蚁在爬行过程中，如果每爬行2cm就1粒芝麻，那么最后它共得到多少粒芝麻？
2. 出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作“+”，向北记作“﹣”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米；每次行车都有乘客）
﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，﹣5，+6
请回答：若小王的出租车每千米耗油0.3升，每升汽油6元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午是盈利还是亏损了？盈利（或亏损）多少钱？
（三）后一天与前一天的比较
例5. “十 一”黄金周期间，武汉东湖风景区在7天假期中每天旅游人数变化如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前天少）
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化 单位：万人 +1.8 ﹣0.6 +0.2 ﹣0.7 ﹣1.3 +0.5 ﹣2.4
（1）若9月30日的旅客人数为4.2万人，则10月4日的旅客人数为 万人；
（2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多 万人
（3）如果每万人带来的经济收入约为100万元，则黄金周七天的旅游总收入约为多少万元？
例6．股民小万上周五以每股13元的价格买进某种股票10000股，该股票这周内与前一天相比的涨跌情况如下表（单位：元）
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌
（1）本周内哪一天把股票抛出比较合算？为什么？
（2）已知小万买进股票时付了3‰的手续费，卖出时需付成交额3‰的手续费和2‰的交易税，如果小万在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？
过关检测
1. 一位病人发高烧进医院进行治疗，医生给他开了药并挂了水，同时护士每隔1小时对病人测体温，及时了解病人的好转情况，现护士对病人测体温的变化数据如下表：
时间 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00 14：00 15：00
体温（与前一次比较） 升0.2 降1.0 降0.8 降1.0 降0.6 升0.4 降0.2 降0.2 降0
注：病人早晨进院时医生测得病人体温是40.2℃．
问：（1）病人什么时候体温达到最高，最高体温是多少？
（2）病人中午12点时体温多高？
（3）病人几点后体温稳定正常？（正常体温是37℃）
2．小红爸爸上星期六买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况．（单位：元）
星期 一 二 三 四 五 六
每股涨跌
（1）通过上表你认为星期三收盘时，每股是多少？
（2）本周内每股最高是多少？最低是多少元？
（3）已知小红爸爸买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时还需付成交额，1.5‰的手续费和1‰的交易税，如果小红爸爸在星期六收盘时将全部股票卖出，你对他的收益情况怎样评价？
十四. 数轴动点问题
内容讲解
例1. 点在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧．若一个点从点处向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，此时中点所表示的数是
A．0 B．6 C． D．
例2.（1）在数轴上标出数，，1，3.5所对应的点，，，；
（2），两点间距离 ；，两点间距离 ；
（3）数轴上有两点，，点对应的数为，点对应的数为，那么，两点之间的距离 ；
（4）若动点，分别从点，同时出发，沿数轴负方向运动；已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，问①为何值时，两点重合？②为何值时，两点之间的距离为1？
例3． 已知如图，在数轴上有，两点，所表示的数分别为，，点以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为秒，解答下列问题：
（1）运动前线段的长为 ； 运动1秒后线段的长为 ；
（2）运动秒后，点，点运动的距离分别为 和 ；
（3）求为何值时，点与点恰好重合；
（4）在上述运动的过程中，是否存在某一时刻，使得线段的长为5，若存在，求的值； 若不存在，请说明理由．
过关检测
1. 点在数轴上距原点3个长度单位，且位于原点左侧．若一个点从点向右移动4个单位长度，再向左移动1个长度单位，此时终点所表示的数是 ．
2. 在数轴上把表示的点沿数轴移动6个单位后得到点，则所表示的数为 ．
3． 已知点在数轴上对应的有理数为，将点向左移动6个单位长度，再向右移动2个单位长度与点重合，点对应的有理数为．
（1）求；
（2）如果数轴上的点在数轴上移动3个单位长度后，距点8个单位长度，那么移动前的点距离原点有几个单位长度？
学习任务
1．同舟共济克时艰，众志成城战疫魔，全国广大共产党员为支持新冠肺炎疫情防控工作踊跃捐款，他们的善心和爱意汇聚成汩汩暖流，在春天的神州大地奔涌流淌．据统计，截止到2020年3月10日，全国党员自愿捐款共计76.8亿元，将数据76.8亿用科学记数法表示为
A． B． C． D．7680000000
2. 下列各数中3，﹣7，﹣，5.6，0，﹣8，15，，非正数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3. 把数轴上表示数2的点移动3个单位后，表示的数为
A．5 B．1 C．5或1 D．5或
4．下列说法中：
①0是最小的整数；
②有理数不是正数就是负数；
③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；
④非负数就是正数；
⑤不仅是有理数，而且是分数；
⑥是无限不循环小数，所以不是有理数；
⑦无限小数不都是有理数；
⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．
其中错误的说法的个数为
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
5．下面图形是数轴的是
A． B．
C． D．
6．相反数不大于它本身的数是
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
7．的相反数
A． B． C． D．
8．如果，，那么的值为
A．1 B．3 C．1或3 D．或
9．某种零件，标明加工要求是表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是，该零件 （填“合格”或“不合格” ．
10．把下列各数按要求分类
① ② ③ ④0 ⑤ ⑥ ⑦0.6 ⑧ ⑨ ⑩
负整数： ；分数： ；非正整数： ．
11．若与互为相反数，则 ．
12. 已知为有理数，则下列四个数中一定为非负数的是
A． B． C． D．
13. 数轴上表示数和表示的两点之间的距离是 ．
14. 在数轴上与表示的点的距离等于5的点所表示的数是 ．
15. （1）如果，则 ；（2）如果，则 ．
16. 已知，，互为相反数，求的值．
17. 已知有理数，，在数轴上的位置如图所示且
（1）求；
（2）化简．
18. 用简便方法计算：
①16+（﹣25）+24+（﹣35） ②7
③（﹣2.48）+（+4.33）+（﹣7.52）+（﹣4.33） ④（﹣2）+3+1+（﹣3）+2+（﹣4）
19. 计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
20. 计算：
（1） （2）
（3） （4）
21. 计算题：
（1）8+（﹣3）2×（﹣2）﹣（﹣3） （2）﹣12﹣24×（﹣+﹣）
22.（1）； （2）．
23. 计算+++…+
24. 股市一周内周六、周日两天不开市，股民小王上周五以每股25.20元的价格买进某公司股票10000股，下表为本周内每天该股票的涨跌情况：
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌情况 ﹣0.1 +0.4 ﹣0.2 ﹣0.4 +0.5
注：表中正数表示股价比前一天上涨，负数表示股价比前一天下跌．
（1）星期四收盘时，每股多少元？
（2）本周内哪一天股价最高，是多少元？
（3）股民小王本周末将该股票全部售出（不记交易税），小王在本次交易中获利多少元？
（4）股民在本周哪一天将股票全部售出获利最多？（不计交易税）
25. 一只蚂蚁从某点M出发，在一条直线上来回爬行，把它向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则它爬过的各段路程依次为：﹣3cm，+10cm，﹣8cm，+5cm，﹣6cm，+12cm，﹣10cm．
（1）问这只蚂蚁最后是否回到了出发点M？
（2）蚂蚁离出发点M最远时是多少厘米？是在出发点的左边还是右边？
26．已知数轴上的点和点之间的距离为28个单位长度，点在原点左边，距离原点8个单位长度，点在原点的右边．
（1）请直接写出，两点所对应的数．
（2）数轴上点以每秒1个单位长度的速度出发向左运动，同时点以每秒3个单位长度的速度出发向左运动，在点处追上了点，求点对应的数．
27．根据给出的数轴，解答下面的问题：
（1）请你根据图中、两点的位置，分别写出它们所表示的有理数 ， ．
（2）观察数轴，与点的距离为4的点表示的数是： ．
（3）若将数轴折叠，使得点与表示的点重合，则：①点与哪个数表示的点重合？②若数轴上、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经过折叠后互相重合，求、两点表示的数分别是多少？
28. 如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．
（1）请写出与、两点距离相等的点所对应的数；
（2）现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，你知道点对应的数是多少吗？
（3）若当电子蚂蚁从点出发时，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？
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