2022年秋季湘教版数学九年级上册期末复习检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·兰州）已知 ， ，若 ，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ．
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例可得，代入求解可得EF的值.
2．（2022·沈阳）如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，，则河宽PT的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：根据题意可得：
，
∴，
故答案为：C．
【分析】先求出，再求解即可。
3．（2022·西藏）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：若a＜0，b＜0，则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故A选项符合题意；
若a＜0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数（ab≠0）位于二、四象限，故B选项不符合题意；
若a＞0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故C选项不符合题意；
若a＞0，b＜0，则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数（ab≠0）位于二、四象限，故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】反比例函数y=（k≠0）中，当k>0时，图象过一、三象限；当k<0时，图象过二、四象限；一次函数y=ax+b（a≠0）中，当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，据此一一判断得出答案.
4．（2022·镇江）第1组数据为：0、0、0、1、1、1，第2组数据为：、，其中、是正整数．下列结论：①当时，两组数据的平均数相等；②当时，第1组数据的平均数小于第2组数据的平均数；③当时，第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数；④当时，第2组数据的方差小于第1组数据的方差．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】解：①第1组数据的平均数为： ，
当m＝n时，第2组数据的平均数为： ，
故①正确；
②第1组数据的平均数为： ，
当 时，m＋n＞2n，则第2组数据的平均数为： ，
∴第1组数据的平均数大于第2组数据的平均数；
故②错误；
③第1组数据的中位数是 ，
当 时，若m＋n是奇数，则第2组数据的中位数是1；当 时，若m＋n是偶数，则第2组数据的中位数是 ；
即当 时，第2组数据的中位数是1，
∴当 时，第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数；
故③正确；
④第1组数据的方差为 ，
当 时，第2组数据的方差为 ，
，
∴当 时，第2组数据的方差等于第1组数据的方差．
故④错误，
综上所述，其中正确的是①③；
故答案为：B.
【分析】①数据的总和除以数据的总个数等于这组数据的平均数，据此求出第1组、第2组平均数进行比较；②求出m＞n时，第2组数据的平均数进行比较；③中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数；据此求出1组数据的中位数，当m＜n时，若m＋n为奇数，m＋n为偶数，分情况讨论求出第2组数据的中位数进行比较；④方差就是一组数据的各个数据与平均数差的平方和的平均数，据此求出第1组、第2组方差进行比较．
5．（2022·巴中）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：.
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算可得x2-x-k=0，根据方程有两个不相等的实数根可得△>0，代入求解可得k的范围.
6．（2022·宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：依题意，得．
故答案为：A．
【分析】此题的等量关系为：92号汽油价格三月底的单价×（1+增长率）2=五月底的单价，列方程即可.
7．（2022·枣庄）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB＝＝3，
在△ABO和△BCE中，，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（﹣3，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，
∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理先求出OB=3，再求出△ABO≌△BCE，最后求解即可。
8．（2022·贵港）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，
∵每个小正方形的边长为1，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴.
故答案为：C.
【分析】过点C作AB的垂线交AB于一点D，利用勾股定理可得AC、BC、AB的值，设AD=x，则BD=5-x，在Rt△ACD、Rt△BCD中，根据勾股定理可得x，然后根据三角函数的概念进行计算.
9．（2022·连云港）如图，将矩形 沿着 、 、 翻折，使得点 、 、 恰好都落在点 处，且点 、 、 在同一条直线上，同时点 、 、 在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
【答案】B
【知识点】平行线的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD沿着GE、EC、GF折叠，使得点A、B、D恰好落在点O处，
∴DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，
∴∠FGE+∠GEC＝180°，
∴GF∥CE，
∴①符合题意；
设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，
∴CG＝OG+OC＝3a，
在Rt△AGE中，由勾股定理得GE2=AG2+AE2，即GE2=a2+b2，
在Rt△EBC中，由勾股定理得CE2=EB2+BC2，即CE2=b2+（2a）2，
在Rt△CGE中，由勾股定理得CG2＝GE2+CE2，
（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，
整理，解得：b＝a，
∴AB＝AD，
∴②不符合题意；
设OF＝DF＝x，则CF＝2b-x＝2a-x，
在Rt△COF中，由勾股定理得OF2+OC2=CF2，
∴x2+（2a）2＝（2 a-x）2，
解得：x＝a，
∴OF＝DF＝a，
∴DF＝×a＝a，
又∵GE2=a2+b2，
∴GE=a，
∴GE=DF，
∴③符合题意；
∵2OF＝2×a＝2a，
∴OC=2OF，
∴④符合题意；
∵无法证明∠FCO＝∠GCE，
∴无法判断△COF∽△CEG，
∴⑤不符合题意；
∴正确的有①③④.
故答案为：B.
【分析】由矩形性质和折叠的性质可得DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，从而可得∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，得∠FGE+∠GEC＝180°，可判定GF∥CE；设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，得CG＝OG+OC＝3a，由勾股定理得GE2=a2+b2，CE2=b2+（2a）2，CG2＝GE2+CE2，即得（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，解得b＝a，从而得AB＝AD；设OF＝DF＝x，则CF＝2b-x＝2a-x，由勾股定理得OF2+OC2=CF2，即x2+（2a）2＝（2 a-x）2，解得x＝a，从而得OF＝DF＝a，进而求得GE=DF；又2OF＝2×a＝2a，从而可得∴OC=2OF；因条件不足，无法证明∠FCO＝∠GCE，因而无法判断△COF∽△CEG. 据此逐项分析即可得出正确答案.
10．（2022·日照）如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（ ）
A．3 B．-3 C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点M、N均是反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象上，
∴，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象上，
∴S矩形OABC=k2，
∴S矩形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3，
∴k2-k1=3，
∴k1-k2=-3，
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出k2-k1=3，最后求解即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·梧州）一元二次方程 的根是 .
【答案】 或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可知： 或 ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 .
【分析】由两个因式的积等于0，则至少有一个因式等于0，得x-2=0或x+7=0，求解即可.
12．（2022·衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE=CE，CD=2BD，，则k= ．
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，
∵点C在反比例函数图象上，
设点C
∴，
∵CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，
∴，，
∴OA=OM=m，，
∴
解之：x=3m，
∴ON=3m，MN=3m-m=2m，
∴BN=m，
∴AB=m+m+2m+m=5m，
∵
解之：.
故答案为：.
【分析】过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，设点C，可得到OM，CM的长；再利用CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，利用平行线分线段成比例定理可表示出OA，DN的长，由此可得到关于x的方程，解方程表示出x，即可表示出ON，MN，BN，AB的长，然后利用△ABC的面积为6，可求出k的值.
13．（2022·内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 .
【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1 x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵＝x12+2x2﹣1，
∴＝2（x1+x2）﹣k，
∴＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2.
故答案为：2.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1 x2＝k-1，根据方程解的概念可得x12＝2x1-k+1，对已知中的等式进行变形可得＝2(x1+x2)-k，代入求解可得k的值，然后代入原方程中可得关于x的一元二次方程，求出判别式的值，进而可得k的值.
14．（2022·锦州）如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为 ．
【答案】3
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为3．
【分析】先证明可得，再结合，，可得，从而求出即可。
15．（2022·巴中）一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔30海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，，）
【答案】50
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图所示标注字母，
根据题意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，
∴∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53°，
∴∠B=37°， PAB为直角三角形，
∴，
∴BP=
故答案为：50.
【分析】对图形进行点标注，根据题意得∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，则∠PAB=90°，∠APB=53°，根据三角函数的概念可得BP.
16．（2022·鞍山）如图，在正方形中，点为的中点，，交于点，于点，平分，分别交，于点，，延长交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号即可）．
【答案】①③④
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图，过点G作GQ⊥DF于点Q，GP⊥EC于点P，设正方形ABCD的边长为2a．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵AE＝EB＝a，BC＝2a，
∴，
∵DF⊥CE，
∴∠CFD＝90°，
∴∠ECB＋∠DCF＝90°，
∵∠DCF＋∠CDF＝90°，
∴∠CDF＝∠ECB，
∴，故①符合题意，
∵BECD，
∴，
∵，，
∴，， ，
在Rt△CDF中，，CD＝2a，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，故②不符合题意；
∵FM平分∠DFE，GQ⊥DF，GP⊥EC，
∴GQ＝GP，
∵，
∴，
∴，
∴BG＝DG，
∵DMBN，
∴，
∴GM＝GN，
∵，
∴，
∴，
∵∠GPF＝∠PFQ＝∠FQG＝90°，GP＝GQ，
∴四边形GPFQ是正方形，
∴，
过点N作NJ⊥CE于点J，设FJ＝NJ＝m，则CJ＝2m，
∴，
∴，
∴，
∴MG＝GN＝GF＋FN＝，
∴MG：GF：FN＝，故③符合题意，
∵，
∴∠BEF＝∠HCD，
∵，，
∴，
∴△BEF∽△HCD，故④符合题意．
故答案为：①③④．
【分析】利用正方形的性质、相似三角形的性质和判定及解直角三角形的方法逐项判断即可。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·北京市）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲、乙两位同学得分的折线图：
b．丙同学得分：
10，10，10，9，9，8，3，9，8，10
c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：
同学 甲 乙 丙
平均数 8.6 8.6 m
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求表中m的值；
（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对 的评价更一致（填“甲”或“乙”）；
（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是 （填“甲”“乙”或“丙”）。
【答案】（1）解：丙的平均数：，
则．
（2）甲
（3）乙
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：(2)，
，
，
∴甲、乙两位同学中，评委对甲的评价更一致，
故答案为：甲．
(3)由题意得，去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为：
甲：，
乙：，
丙：，
∵去掉一个最高分和一个最低分后乙的平均分最高，
因此最优秀的是乙，
故答案为：乙．
【分析】（1）根据平均数的定义求解即可；
（2）利用方差的定义求解即可；
（3）根据平均分的定义计算求解即可。
18．（2022·湘西）如图，一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点B（1，3），过点B作BC⊥x轴于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）解：∵一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象经过点B（1，3），
∴a+1＝3，∴a＝2．
∴一次函数的解析式为y＝2x+1，
∵反比例函数y＝的图象经过点B（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）解：令y＝0，则2x+1＝0，
∴x＝﹣．
∴A（﹣，0）．
∴OA＝．
∵BC⊥x轴于点C，B（1，3），
∴OC＝1，BC＝3．
∴AC＝1＝．
∴△ABC的面积＝×AC BC＝．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入函数解析式，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到一次函数解析式；再将点B的坐标代入反比例函数解析式，可求出k的值，即可得到反比例函数解析式.
（2）利用一次函数解析式，由y=0可求出对应的x的值，可得到点A的坐标，即可求出OA的长；利用BC⊥x轴于点C，可求出OC，BC的长，从而可求出AC的长；然后利用三角形的面积公式求出△ABC的面积.
19．（2021·荆门）已知关于x的一元二次方程 有 ， 两实数根.
（1）若 ，求 及 的值；
（2）是否存在实数 ，满足 ？若存在，求出求实数 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意：Δ=( 6)2 4×1×(2m 1)>0，
∴m<5，
将x1=1代入原方程得：m=3，
又∵x1 x2=2m 1=5，
∴x2=5，m=3
（2）解：设存在实数m，满足 ，那么
有 ，
即 ，
整理得： ，
解得 或 .
由（1）可知 ，
∴ 舍去，从而 ，
综上所述：存在 符合题意
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）由题意可得△≥0，据从求出m≤5，再将x1=1代入原方程得m=3，利用根与系数的关系可得x1 x2=2m 1=5，从而求出；
（2）利用根与系数的关系可得x1+x2=6，x1 x2=2m 1，代入可得 ，解出m值并检验即可.
20．（2022·盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m．
（1）求、两点之间的距离；
（2）求长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，，）
【答案】（1）解：如图2，连接，过点作，交的延长线于．
在中，，
，所以，
，所以，
在中，m，m，
根据勾股定理得m，
答：、两点之间的距离约6.7m．
（2）解：如图2，过点作，垂足为，
则四边形为矩形，m，，
所以m，
在中，m，m，
根据勾股定理得m．
m．
答：的长为4.5m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）连接AC，过点A作AH⊥BC，交CB的延长线于H，根据三角函数的概念可得AH、BH，由CH=BC+BH可得CH，然后利用勾股定理进行计算；
（2）过点A作AG⊥DC，垂足为G，则四边形AGDO为矩形，GD=AO=1m，AG=OD，则CG=CD-GD=5m，利用勾股定理可得AG，据此解答.
21．（2022·上海市）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．
（1）如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）
（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度
【答案】（1）解：如图
由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α
∠B=∠D=∠CEB=90°
∴四边形CDBE为矩形，
则BE=CD=b，BD=CE=a，
在Rt ACE中，tanα= ，
得AE=CE=CE×tanα=a tanα
而AB=AE+BE，
故AB= a tanα+b
答：灯杆AB的高度为atanα+b米
（2）解：由题意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8
由于AB∥ED，
∴ ABF~ EDF，
此时
即①，
∵AB∥GC
∴ ABH~ GCH，
此时，
②
联立①②得
，
解得：
答：灯杆AB的高度为3.8米
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
22．（2022·鄂尔多斯）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＜0）的图像交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．
（1）根据图像直接写出不等式＜ax+b的解集；
（2）求反比例函数与一次函数的解析式；
（3）点P在y轴上，且S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标．
【答案】（1）解：当y＝的图像在y＝ax+b图像的下方时，＜ax+b成立，
∴；
（2）解：将A（﹣2，4）代入y＝得：﹣8＝m，
∴反比例函数为：y＝﹣．
将A（﹣2，4），B（﹣4，2）代入y＝ax+b得：，
解得： ，
∴一次函数的表达式为：y＝x+6；
（3）解：在y＝x+6中，当y＝0时，x＝﹣6，
∴C（﹣6，0）．
∴S△ABO＝S△AOC﹣S△BOC
＝OC×（yA﹣yB）
＝×6×2
＝6，
∴S△AOP＝×6＝3，
∵P在y轴上，
∴OP×|xA|＝3，
∴OP＝3．
∴P（0，3）或（0，﹣3）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象求解集即可；
（2）先求出反比例函数为：y＝﹣，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）结合题意，利用三角形的面积公式计算求解即可。
23．（2022·宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨.
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加 .5月份每吨再生纸的利润比上月增加 ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元.求 的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了 .求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
【答案】（1）解：设3月份再生纸产量为 吨，则4月份的再生纸产量为 吨，
由题意得： ，
解得： ，
∴ ，
答：4月份再生纸的产量为500吨；
（2）解：由题意得： ，
解得： 或 （不合题意，舍去）
∴ ，
∴ 的值20；
（3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为 ，5月份再生纸的产量为 吨，
∴
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元.
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设3月份再生纸产量为x吨，则4月份的再生纸产量为(2x-100)吨，根据3，4月份共生产再生纸800吨可列出关于x的方程，求解即可；
（2）根据4月份再生纸的产量×(1+m%)可得5月份再生纸的产量，根据4月份每吨再生纸的利润×(1+%)可得5月份每吨再生纸的利润，然后根据产量×每吨的利润=总利润可得关于m的方程，求解即可；
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，则6月份每吨再生纸的利润为100(1+y)2，6月份再生纸的产量为a(1+y)吨，根据6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%可得6月份再生纸项目月利润为1200(1+y)(1+25%)a，然后根据月利润可列出关于y的方程，求解即可.
24．（2022·山西）综合与实践
（1）问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：
如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
（2）问题解决：
如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
【答案】（1）解：四边形AMDN为矩形．
理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点，
∴MD∥AC，
∴∠AMD+∠A=180°，
∵∠A=90°，
∴∠AMD=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，
四边形AMDN为矩形；
（2）解：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴∠B+∠C=90°，．
∵点D是BC的中点，
∴CD=BC=5．
∵∠EDF=90°，
∴∠MDB+∠1=90°．
∵∠B=∠MDB，
∴∠1=∠C．
∴ND=NC．
过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°．
∴CG=CD=．
∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，
∴△CGN∽△CAB．
∴，即，
∴；
（3）
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，
∵MD⊥HN，∴MN=MH，
∵D是BC中点，
∴BD=DC，
又∵∠BDH=∠CDN，
∴△BDH≌△CDN，
∴BH=CN，∠DBH=∠C，
∵∠BAC=90°，
∵∠C+∠ABC=90°，
∴∠DBH+∠ABC=90°，
∴∠MBH=90°，
设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，
在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，
∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2，
解得x=，
∴线段AN的长为．
【分析】（1）由三角形中位线定理可得MD//AC，可证∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可求解；
（2）过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°，证明△CGN∽△CAB，可得，即，再求出即可；
（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，先证明△BDH≌△CDN，可得BH=CN，∠DBH=∠C，再求出∠MBH=90°，设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，利用勾股定理可得(6-x)2+(8-x)2=(x)2，求出x的值即可。
1 / 12022年秋季湘教版数学九年级上册期末复习检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·兰州）已知 ， ，若 ，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
2．（2022·沈阳）如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，，则河宽PT的长度是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·西藏）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·镇江）第1组数据为：0、0、0、1、1、1，第2组数据为：、，其中、是正整数．下列结论：①当时，两组数据的平均数相等；②当时，第1组数据的平均数小于第2组数据的平均数；③当时，第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数；④当时，第2组数据的方差小于第1组数据的方差．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
5．（2022·巴中）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A． B．
C．且 D．且
6．（2022·宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·枣庄）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3
8．（2022·贵港）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·连云港）如图，将矩形 沿着 、 、 翻折，使得点 、 、 恰好都落在点 处，且点 、 、 在同一条直线上，同时点 、 、 在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
10．（2022·日照）如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（ ）
A．3 B．-3 C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·梧州）一元二次方程 的根是 .
12．（2022·衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE=CE，CD=2BD，，则k= ．
13．（2022·内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 .
14．（2022·锦州）如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为 ．
15．（2022·巴中）一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔30海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，，）
16．（2022·鞍山）如图，在正方形中，点为的中点，，交于点，于点，平分，分别交，于点，，延长交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号即可）．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·北京市）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲、乙两位同学得分的折线图：
b．丙同学得分：
10，10，10，9，9，8，3，9，8，10
c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：
同学 甲 乙 丙
平均数 8.6 8.6 m
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求表中m的值；
（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对 的评价更一致（填“甲”或“乙”）；
（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是 （填“甲”“乙”或“丙”）。
18．（2022·湘西）如图，一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点B（1，3），过点B作BC⊥x轴于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）求△ABC的面积．
19．（2021·荆门）已知关于x的一元二次方程 有 ， 两实数根.
（1）若 ，求 及 的值；
（2）是否存在实数 ，满足 ？若存在，求出求实数 的值；若不存在，请说明理由.
20．（2022·盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m．
（1）求、两点之间的距离；
（2）求长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，，）
21．（2022·上海市）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．
（1）如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）
（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度
22．（2022·鄂尔多斯）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＜0）的图像交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．
（1）根据图像直接写出不等式＜ax+b的解集；
（2）求反比例函数与一次函数的解析式；
（3）点P在y轴上，且S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标．
23．（2022·宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨.
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加 .5月份每吨再生纸的利润比上月增加 ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元.求 的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了 .求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
24．（2022·山西）综合与实践
（1）问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：
如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
（2）问题解决：
如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ．
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例可得，代入求解可得EF的值.
2．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：根据题意可得：
，
∴，
故答案为：C．
【分析】先求出，再求解即可。
3．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：若a＜0，b＜0，则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故A选项符合题意；
若a＜0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数（ab≠0）位于二、四象限，故B选项不符合题意；
若a＞0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故C选项不符合题意；
若a＞0，b＜0，则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数（ab≠0）位于二、四象限，故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】反比例函数y=（k≠0）中，当k>0时，图象过一、三象限；当k<0时，图象过二、四象限；一次函数y=ax+b（a≠0）中，当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，据此一一判断得出答案.
4．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】解：①第1组数据的平均数为： ，
当m＝n时，第2组数据的平均数为： ，
故①正确；
②第1组数据的平均数为： ，
当 时，m＋n＞2n，则第2组数据的平均数为： ，
∴第1组数据的平均数大于第2组数据的平均数；
故②错误；
③第1组数据的中位数是 ，
当 时，若m＋n是奇数，则第2组数据的中位数是1；当 时，若m＋n是偶数，则第2组数据的中位数是 ；
即当 时，第2组数据的中位数是1，
∴当 时，第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数；
故③正确；
④第1组数据的方差为 ，
当 时，第2组数据的方差为 ，
，
∴当 时，第2组数据的方差等于第1组数据的方差．
故④错误，
综上所述，其中正确的是①③；
故答案为：B.
【分析】①数据的总和除以数据的总个数等于这组数据的平均数，据此求出第1组、第2组平均数进行比较；②求出m＞n时，第2组数据的平均数进行比较；③中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数；据此求出1组数据的中位数，当m＜n时，若m＋n为奇数，m＋n为偶数，分情况讨论求出第2组数据的中位数进行比较；④方差就是一组数据的各个数据与平均数差的平方和的平均数，据此求出第1组、第2组方差进行比较．
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：.
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算可得x2-x-k=0，根据方程有两个不相等的实数根可得△>0，代入求解可得k的范围.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：依题意，得．
故答案为：A．
【分析】此题的等量关系为：92号汽油价格三月底的单价×（1+增长率）2=五月底的单价，列方程即可.
7．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB＝＝3，
在△ABO和△BCE中，，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（﹣3，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，
∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理先求出OB=3，再求出△ABO≌△BCE，最后求解即可。
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，
∵每个小正方形的边长为1，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴.
故答案为：C.
【分析】过点C作AB的垂线交AB于一点D，利用勾股定理可得AC、BC、AB的值，设AD=x，则BD=5-x，在Rt△ACD、Rt△BCD中，根据勾股定理可得x，然后根据三角函数的概念进行计算.
9．【答案】B
【知识点】平行线的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD沿着GE、EC、GF折叠，使得点A、B、D恰好落在点O处，
∴DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，
∴∠FGE+∠GEC＝180°，
∴GF∥CE，
∴①符合题意；
设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，
∴CG＝OG+OC＝3a，
在Rt△AGE中，由勾股定理得GE2=AG2+AE2，即GE2=a2+b2，
在Rt△EBC中，由勾股定理得CE2=EB2+BC2，即CE2=b2+（2a）2，
在Rt△CGE中，由勾股定理得CG2＝GE2+CE2，
（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，
整理，解得：b＝a，
∴AB＝AD，
∴②不符合题意；
设OF＝DF＝x，则CF＝2b-x＝2a-x，
在Rt△COF中，由勾股定理得OF2+OC2=CF2，
∴x2+（2a）2＝（2 a-x）2，
解得：x＝a，
∴OF＝DF＝a，
∴DF＝×a＝a，
又∵GE2=a2+b2，
∴GE=a，
∴GE=DF，
∴③符合题意；
∵2OF＝2×a＝2a，
∴OC=2OF，
∴④符合题意；
∵无法证明∠FCO＝∠GCE，
∴无法判断△COF∽△CEG，
∴⑤不符合题意；
∴正确的有①③④.
故答案为：B.
【分析】由矩形性质和折叠的性质可得DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，从而可得∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，得∠FGE+∠GEC＝180°，可判定GF∥CE；设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，得CG＝OG+OC＝3a，由勾股定理得GE2=a2+b2，CE2=b2+（2a）2，CG2＝GE2+CE2，即得（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，解得b＝a，从而得AB＝AD；设OF＝DF＝x，则CF＝2b-x＝2a-x，由勾股定理得OF2+OC2=CF2，即x2+（2a）2＝（2 a-x）2，解得x＝a，从而得OF＝DF＝a，进而求得GE=DF；又2OF＝2×a＝2a，从而可得∴OC=2OF；因条件不足，无法证明∠FCO＝∠GCE，因而无法判断△COF∽△CEG. 据此逐项分析即可得出正确答案.
10．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点M、N均是反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象上，
∴，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象上，
∴S矩形OABC=k2，
∴S矩形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3，
∴k2-k1=3，
∴k1-k2=-3，
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出k2-k1=3，最后求解即可。
11．【答案】 或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可知： 或 ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 .
【分析】由两个因式的积等于0，则至少有一个因式等于0，得x-2=0或x+7=0，求解即可.
12．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，
∵点C在反比例函数图象上，
设点C
∴，
∵CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，
∴，，
∴OA=OM=m，，
∴
解之：x=3m，
∴ON=3m，MN=3m-m=2m，
∴BN=m，
∴AB=m+m+2m+m=5m，
∵
解之：.
故答案为：.
【分析】过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，设点C，可得到OM，CM的长；再利用CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，利用平行线分线段成比例定理可表示出OA，DN的长，由此可得到关于x的方程，解方程表示出x，即可表示出ON，MN，BN，AB的长，然后利用△ABC的面积为6，可求出k的值.
13．【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1 x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵＝x12+2x2﹣1，
∴＝2（x1+x2）﹣k，
∴＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2.
故答案为：2.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1 x2＝k-1，根据方程解的概念可得x12＝2x1-k+1，对已知中的等式进行变形可得＝2(x1+x2)-k，代入求解可得k的值，然后代入原方程中可得关于x的一元二次方程，求出判别式的值，进而可得k的值.
14．【答案】3
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为3．
【分析】先证明可得，再结合，，可得，从而求出即可。
15．【答案】50
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图所示标注字母，
根据题意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，
∴∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53°，
∴∠B=37°， PAB为直角三角形，
∴，
∴BP=
故答案为：50.
【分析】对图形进行点标注，根据题意得∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，则∠PAB=90°，∠APB=53°，根据三角函数的概念可得BP.
16．【答案】①③④
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图，过点G作GQ⊥DF于点Q，GP⊥EC于点P，设正方形ABCD的边长为2a．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵AE＝EB＝a，BC＝2a，
∴，
∵DF⊥CE，
∴∠CFD＝90°，
∴∠ECB＋∠DCF＝90°，
∵∠DCF＋∠CDF＝90°，
∴∠CDF＝∠ECB，
∴，故①符合题意，
∵BECD，
∴，
∵，，
∴，， ，
在Rt△CDF中，，CD＝2a，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，故②不符合题意；
∵FM平分∠DFE，GQ⊥DF，GP⊥EC，
∴GQ＝GP，
∵，
∴，
∴，
∴BG＝DG，
∵DMBN，
∴，
∴GM＝GN，
∵，
∴，
∴，
∵∠GPF＝∠PFQ＝∠FQG＝90°，GP＝GQ，
∴四边形GPFQ是正方形，
∴，
过点N作NJ⊥CE于点J，设FJ＝NJ＝m，则CJ＝2m，
∴，
∴，
∴，
∴MG＝GN＝GF＋FN＝，
∴MG：GF：FN＝，故③符合题意，
∵，
∴∠BEF＝∠HCD，
∵，，
∴，
∴△BEF∽△HCD，故④符合题意．
故答案为：①③④．
【分析】利用正方形的性质、相似三角形的性质和判定及解直角三角形的方法逐项判断即可。
17．【答案】（1）解：丙的平均数：，
则．
（2）甲
（3）乙
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：(2)，
，
，
∴甲、乙两位同学中，评委对甲的评价更一致，
故答案为：甲．
(3)由题意得，去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为：
甲：，
乙：，
丙：，
∵去掉一个最高分和一个最低分后乙的平均分最高，
因此最优秀的是乙，
故答案为：乙．
【分析】（1）根据平均数的定义求解即可；
（2）利用方差的定义求解即可；
（3）根据平均分的定义计算求解即可。
18．【答案】（1）解：∵一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象经过点B（1，3），
∴a+1＝3，∴a＝2．
∴一次函数的解析式为y＝2x+1，
∵反比例函数y＝的图象经过点B（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）解：令y＝0，则2x+1＝0，
∴x＝﹣．
∴A（﹣，0）．
∴OA＝．
∵BC⊥x轴于点C，B（1，3），
∴OC＝1，BC＝3．
∴AC＝1＝．
∴△ABC的面积＝×AC BC＝．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入函数解析式，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到一次函数解析式；再将点B的坐标代入反比例函数解析式，可求出k的值，即可得到反比例函数解析式.
（2）利用一次函数解析式，由y=0可求出对应的x的值，可得到点A的坐标，即可求出OA的长；利用BC⊥x轴于点C，可求出OC，BC的长，从而可求出AC的长；然后利用三角形的面积公式求出△ABC的面积.
19．【答案】（1）解：由题意：Δ=( 6)2 4×1×(2m 1)>0，
∴m<5，
将x1=1代入原方程得：m=3，
又∵x1 x2=2m 1=5，
∴x2=5，m=3
（2）解：设存在实数m，满足 ，那么
有 ，
即 ，
整理得： ，
解得 或 .
由（1）可知 ，
∴ 舍去，从而 ，
综上所述：存在 符合题意
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）由题意可得△≥0，据从求出m≤5，再将x1=1代入原方程得m=3，利用根与系数的关系可得x1 x2=2m 1=5，从而求出；
（2）利用根与系数的关系可得x1+x2=6，x1 x2=2m 1，代入可得 ，解出m值并检验即可.
20．【答案】（1）解：如图2，连接，过点作，交的延长线于．
在中，，
，所以，
，所以，
在中，m，m，
根据勾股定理得m，
答：、两点之间的距离约6.7m．
（2）解：如图2，过点作，垂足为，
则四边形为矩形，m，，
所以m，
在中，m，m，
根据勾股定理得m．
m．
答：的长为4.5m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）连接AC，过点A作AH⊥BC，交CB的延长线于H，根据三角函数的概念可得AH、BH，由CH=BC+BH可得CH，然后利用勾股定理进行计算；
（2）过点A作AG⊥DC，垂足为G，则四边形AGDO为矩形，GD=AO=1m，AG=OD，则CG=CD-GD=5m，利用勾股定理可得AG，据此解答.
21．【答案】（1）解：如图
由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α
∠B=∠D=∠CEB=90°
∴四边形CDBE为矩形，
则BE=CD=b，BD=CE=a，
在Rt ACE中，tanα= ，
得AE=CE=CE×tanα=a tanα
而AB=AE+BE，
故AB= a tanα+b
答：灯杆AB的高度为atanα+b米
（2）解：由题意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8
由于AB∥ED，
∴ ABF~ EDF，
此时
即①，
∵AB∥GC
∴ ABH~ GCH，
此时，
②
联立①②得
，
解得：
答：灯杆AB的高度为3.8米
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
22．【答案】（1）解：当y＝的图像在y＝ax+b图像的下方时，＜ax+b成立，
∴；
（2）解：将A（﹣2，4）代入y＝得：﹣8＝m，
∴反比例函数为：y＝﹣．
将A（﹣2，4），B（﹣4，2）代入y＝ax+b得：，
解得： ，
∴一次函数的表达式为：y＝x+6；
（3）解：在y＝x+6中，当y＝0时，x＝﹣6，
∴C（﹣6，0）．
∴S△ABO＝S△AOC﹣S△BOC
＝OC×（yA﹣yB）
＝×6×2
＝6，
∴S△AOP＝×6＝3，
∵P在y轴上，
∴OP×|xA|＝3，
∴OP＝3．
∴P（0，3）或（0，﹣3）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象求解集即可；
（2）先求出反比例函数为：y＝﹣，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）结合题意，利用三角形的面积公式计算求解即可。
23．【答案】（1）解：设3月份再生纸产量为 吨，则4月份的再生纸产量为 吨，
由题意得： ，
解得： ，
∴ ，
答：4月份再生纸的产量为500吨；
（2）解：由题意得： ，
解得： 或 （不合题意，舍去）
∴ ，
∴ 的值20；
（3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为 ，5月份再生纸的产量为 吨，
∴
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元.
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设3月份再生纸产量为x吨，则4月份的再生纸产量为(2x-100)吨，根据3，4月份共生产再生纸800吨可列出关于x的方程，求解即可；
（2）根据4月份再生纸的产量×(1+m%)可得5月份再生纸的产量，根据4月份每吨再生纸的利润×(1+%)可得5月份每吨再生纸的利润，然后根据产量×每吨的利润=总利润可得关于m的方程，求解即可；
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，则6月份每吨再生纸的利润为100(1+y)2，6月份再生纸的产量为a(1+y)吨，根据6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%可得6月份再生纸项目月利润为1200(1+y)(1+25%)a，然后根据月利润可列出关于y的方程，求解即可.
24．【答案】（1）解：四边形AMDN为矩形．
理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点，
∴MD∥AC，
∴∠AMD+∠A=180°，
∵∠A=90°，
∴∠AMD=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，
四边形AMDN为矩形；
（2）解：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴∠B+∠C=90°，．
∵点D是BC的中点，
∴CD=BC=5．
∵∠EDF=90°，
∴∠MDB+∠1=90°．
∵∠B=∠MDB，
∴∠1=∠C．
∴ND=NC．
过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°．
∴CG=CD=．
∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，
∴△CGN∽△CAB．
∴，即，
∴；
（3）
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，
∵MD⊥HN，∴MN=MH，
∵D是BC中点，
∴BD=DC，
又∵∠BDH=∠CDN，
∴△BDH≌△CDN，
∴BH=CN，∠DBH=∠C，
∵∠BAC=90°，
∵∠C+∠ABC=90°，
∴∠DBH+∠ABC=90°，
∴∠MBH=90°，
设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，
在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，
∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2，
解得x=，
∴线段AN的长为．
【分析】（1）由三角形中位线定理可得MD//AC，可证∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可求解；
（2）过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°，证明△CGN∽△CAB，可得，即，再求出即可；
（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，先证明△BDH≌△CDN，可得BH=CN，∠DBH=∠C，再求出∠MBH=90°，设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，利用勾股定理可得(6-x)2+(8-x)2=(x)2，求出x的值即可。
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