第四章 指数函数与对数函数 单元测试卷（含解析）

指数函数与对数函数测试(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．方程的解所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域是 ( 　　)
A．[0，) B．[0，] C．[1，) D．[1，]
3．函数的零点为1，则实数a的值为（　 　）
A．﹣2 B．－ C． D．2
4．函数的单调递增区间是
A． B．
C． D．
5．设，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知a=21.3，b=40.7，c=log38，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是
A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)
C．f(bx)>f(cx) D．与x有关，不确定
8．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.1
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若函数(,且)的图像经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有（ ）
A． B． C． D．
11．若，，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若，则
D．若，则.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)的反函数g(x)过点(9,2)，则f(2)＝____.
14．已知函数f(x)＝为定义在区间[－2a,3a－1]上的奇函数，则a＝____，b＝____.
15．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0.2,0.6)内有唯一的零点，如果用二分法求这个零点的近似值(精确度为0.01)，则应将区间(0.2,0.6)至少等分的次数为____.
16．某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生薇甘菊的面积就会超过30 m2；
③设野生薇甘菊蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3；
④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．
其中正确的说法有____(请把正确说法的序号都填在横线上)．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知，函数．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若方程的解集恰有一个元素，求的取值范围．
18（12分）已知．
(1)当时，求函数的定义域及不等式的解集；
(2)若函数只有一个零点，求实数a的取值范围．
19（12分） 已知定义在上的函数是偶函数．
(1)求a的值；
(2)判断函数在上的单调性并证明；
(3)解不等式：．
20（12分）（1）已知函数的图像恒过定点A，且点A又在函数的图像上，求不等式的解集；
（2）已知，求函数的最大值和最小值.
21（12分）．已知函数，.
（1）若在区间上单调递增，求m的取值范围；
（2）求在区间上的最小值；
（3）讨论在区间上的零点个数.
22（12分）．设为实数，函数.
（I）若，求实数的取值范围；
（II）当时，讨论方程在上的解的个数.
参考答案
1【答案】C
【解析】设，则由指数函数与一次函数的性质可知，函数与的上都是递增函数，所以在上单调递增，故函数最多有一个零点，而，，根据零点存在定理可知，有一个零点，且该零点处在区间内，故选答案C.
2【答案】C
【解析】要使函数有意义，需满足,解得,则函数的定义域为，故选C.
3【答案】B
【解析】函数的零点为1，所以.解得.故选B.
4【答案】D
【解析】由>0得：x∈( ∞, 2)∪(4,+∞)，令t=，则y=lnt，
∵x∈( ∞, 2)时,t=为减函数；
x∈(4,+∞)时,t=为增函数；y=lnt为增函数，
故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.
5【答案】B
【解析】
因为，，
所以，
所以，所以，所以选B.
6【答案】C
【解析】
，
．
故选：C．
7【答案】A
【解析】
∵f（1+x）＝f（1﹣x），
∴f（x）图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2．
又f（0）＝3，
∴c＝3．
∴f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
若x≥0，则3x≥2x≥1，
∴f（3x）≥f（2x）．
若x＜0，则3x＜2x＜1，
∴f（3x）＞f（2x）．
∴f（3x）≥f（2x）．
故选A．
8【答案】A
【解析】
两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
9【答案】CD
【解析】对于选项A,因为，而，即A错误；
对于选项B，因为，即B错误；
对于选项C， ，即C正确；
对于选项D， ，即D正确，
故选：CD．
10【答案】AD
【解析】因为函数 (,且)的图像经过第 一、三、四象限，所以其大致图像如图所示:
由图像可知函数为增函数，所以.当时，，故选AD.
11【答案】ACD
【解析】由，，得，，则
，，
，
故正确的有：故选：.
12【答案】ACD
【解析】由题,故.
对A,函数为增函数正确.
对B, 不为偶函数.
对C,当时, 成立.
对D,因为往上凸,故若，则成立.
故选：ACD
13【答案】9
【解析】由函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(9,2)，可得：y＝ax图象过点(2,9)，
所以a2＝9，又a>0，所以a＝3.所以f(2)＝32＝9.
14【答案】1 1
【解析】因为f(x)是定义在[－2a,3a－1]上的奇函数，
所以定义域关于原点对称，即－2a＋3a－1＝0，所以a＝1，
因为函数f(x)＝为奇函数，
所以f(－x)＝＝＝－，
即b·2x－1＝－b＋2x，所以b＝1.
15【答案】6
【解析】由<0.01，得2n>＝40，故n的最小值为6.
16【答案】①②③
【解析】∵其关系为指数函数，图象过点(4,16)，
∴指数函数的底数为2，故①正确；
当t＝5时，S＝32>30，故②正确；
∵t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，
∴t1＋t2＝t3，故③正确；
根据图象的变化快慢不同知④不正确，综上可知①②③正确．
17【答案】(1)(2)
【解析】（1）解：当时，不等式，即，所以，解得，故不等式的解集为；
（2）解：由，可得，解得，，若，则，检验定义域，符合题意；若是原方程的解，则，；若是原方程的解，则，即．因为方程的解集恰有一个元素，所以实数的取值范围为．
18【答案】(1)(2)
【解析】（1）解：当时，，∴的定义域为，∴，即，∴函数的定义域为，不等式等价于，∴，即，∴不等式的解集为；
（2）解：，∵函数只有一个零点，∴只有一解，将代入，得，∴关于x的方程只有一个正根，当时，，符合题意；当时，若有两个相等的实数根，则，解得，此时，符合题意；若方程有两个相异实数根，则，即，∴两根之和与积均为，∴方程两根只能异号，∴，即此时方程只有
一个正根，符合题意．综上，实数a的取值范围是：．
19【答案】(1)1；(2)单调递减，理由见解析；(3).
【解析】(1)依题意，函数，因是R上的偶函数，即，，
因此，，，
而当时，，于是得，
所以a的值是1.
(2)由（1）知，，函数在上单调递减，
，，，
因，则，，，因此，，即，所以函数在上单调递减.
(3)依题意，，
而，，
由（2）知，，解得，所以原不等式的解集是.
20【答案】（1）；（2），.
【解析】
（1）由题意知定点A的坐标为，
∴解得.
∴.
∴由得，.
∴.
∴.
∴.
∴不等式的解集为.
（2）由得令，则，
.
∴当，即，时，，
当，即，时，.
21【答案】（1）；（2）；（3）当时，函数有2个零点，当或时，函数有1个零点.
【解析】
（1）由题意，函数开口向上，对称轴的方程为，
若使得函数在上单调递增，则满足，解得，
即实数m的取值范围.
（2）①当即时，函数在区间单调递增，
所以函数的最小值为；
②当，即时，
函数在区间单调递减，在区间上单调递
增，
所以函数的最小值为；
③当即时，函数在区间单调递减，
所以函数的最小值为，
综上可得，函数的最小值为.
（3）因为函数的对称轴方程为，且恒成立，
①当，即时，函数在区间上有2个零点；
②当，此时m不存在；
③当，此时m不存在；
④当，即，解得或时，函数在区间上有1个零点.
综上可得：当时，函数在区间上有2个零点，
当或时，函数在区间上有1个零点.
22【答案】（I）； （II）2个.
【解析】
（I）因为，即，
当时，不等式为恒成立，满足条件，
当时，不等式为，解得，
综上所述的取值范围是.
（II）由题意，函数，
可得当时，函数的对称轴方程为；
当时，函数的对称轴方程为；
当时，函数的对称轴方程为，
所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
因为，
又由，
所以在上单调递减，
所以，
所以在和上各有一个零点，
综上所述时，函数在上有两个解.