江苏省南通市如东县2022-2023学年高三上学期期中数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 江苏省南通市如东县2022-2023学年高三上学期期中数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-14 20:28:51 | ||
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文档简介
2022~2023学年度第一学期期中学情检测
高三数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页，包含[选择题（1~12））填空题（第13题~第16题，共80分）、解答题（第17~22题，共70分）]。本次考试时间120分钟，满分150分。请将答题卡交回。
2.答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。
3.答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。
4.如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。
一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数（i为虚数单位），则
A.2 B.3 C.4 D.5
2.满足的集合的个数为（ ）个.
A.16 B.15 C.8 D.7
3.下列选项正确的是
A. B.
C. D.
4.2022年9月16日，接迎第九批在韩志愿军烈士遗骸回国的运20专机在两架歼20战机护航下抵达沈阳国际机场.歼20战机是我国自主研发的第五代最先进的战斗机，它具有高隐身性、高态势感知、高机动性能等特点，歼20机身头部是一个圆锥形，这种圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形，则机身头部空间大约（ ）立方米
A. B. C. D.
5.过双曲线的右顶点作轴的垂线与两渐近线交于两点，这两个点与双曲线的左焦点恰好是一个正三角形的三顶点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.4
6.已知，则不等式的解集为
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，且，对定义域内任意的，，当时，.若，，，则a，b，c的大小关系为
A. B. C. D.
8.对于集合A，B，我们把集合记作.例如，，，，则，.现已知，集合A，B是M的子集，若，，则内元素最多有（ ）个
A.20个 B.25个 C.50个 D.75个
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若函数，则下列命题正确的是
A.函数的图象与的图象重合
B.
C.
D.存在唯一的，使得
10.用一个平面去截正方体，截面形状不可能是下列哪个图形
A.五边形 B.直角三角形 C.直角梯形 D.钝角三角形
11.已知函数，其导函数为，下列说法正确的是
A.函数的单调减区间为
B.函数的极小值是-15
C.当时，对于任意的，都有
D.函数的图象有条切线方程为
12.已知圆：直线：，下列说法正确的是
A.直线上存在点，过向圆引两切线，切点为A，B，使得
B.直线上存在点，过点向圆引割线与圆交于A，B，使得
C.与圆内切，与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
D.与圆外切，与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13.如图，已知M，N是边BC上的两个三等分点，若，，则=_______________.
14.若数列第二项起，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，已知数列是一个二阶等差数列，且，，，则_______________.
15.已知直线与抛物线交于A，B两点，若（O为坐标原点），则实数m的值为_______________.
16.已知正实数x，y满足，函数的最小值为，则实数取值的集合为_______________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，其中，，且.
（1）求A的大小；
（2）求的面积.
18.（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，O是AD的中点，且，，.
（1）求证：平面POB；
（2）求点B到面PAC的距离.
19.（本小题满分12分）
已知正项数列的前项和为，且，.
（1）求；
（2）求数列的前项的和.
20.（本小题满分12分）
已知直三棱柱，，，.
（1）证明：面；
（2）当最短时，求二面角的余弦值.
21.（本小题满分12分）
已知直线：，：，线段AB的两个端点分别在直线与上滑动，且.
（1）求线段AB中点P的轨迹C的方程；
（2）直线：，：与轨迹C有四个交点，求以这四个点为顶点的四边形面积的最大值.
22.（本小题满分12分）
已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若直线与函数的图象相切于点，，且，求直线的方程.
2022~2023学年度第一学期期中学情检测
高三数学
一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】A
【解析】，∴，∴，选A.
2.【答案】C
【解析】A可取，，，，，，，，共8个结果，选C.
3.8
【答案】C.
【解析】在，∴，A错.
，，，在
∴，即，B错.
，C对.
4.【答案】B
【解析】，.
5.【答案】B
【解析】，，，为正三角形
∴，即，即，∴，选B.
6.【答案】D
【解析】当时，，，解得
当时，因为，所以，解得.
综上，不等式的解集为.
7.【答案】D
【解析】当时，，
所以为上的增函数.
令，因为，所以为上的增函数.
因为，所以.
8.【答案】B
【解析】设集合A中元素个数为m，集合B中元素个数为n，A，B是M的子集，若，，则.
所以.当且仅当时取等号
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.【答案】AC.
【解析】，A对.
，
∴，B错.
，
，C对.
，，
则有两解，D错.
10.【答案】BCD
【解析】如图所示，截面为如图
设，，，
∴，，，，，，
∴为锐角三角形，
B，D都不可能，BD都要选
如图截面可以是五边形EFGHI，A可能，A不选
如图（红色）截面可以是梯形，但不可以是直角梯形，C要选.
11.【答案】AB
【解析】方法一：，，
∴的单调减区间为，A对.
在，，，
∴，B对.
，
可得到，
矛盾，C错.
，或，时切点不在上
时切点不在上，D错，选AB.
12.【答案】ABCD
【解析】，A对.
有解，B对.
动圆圆心设为，半径设为，对于C，，作的平行线与的距离为1，
这样的平行线有两条，与同侧的设为，与异侧的设为
则A到O的距离等于A到的距离，A点轨迹为抛物线，C对.
对于D，，则A到O的距离等于A到的距离
∴A点的轨迹为抛物线，D对，ABCD全对.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13.【答案】-4
【解析】取MN中点E，∴，
∴，∴.
14.【答案】
【解析】，，∴
∴∴
∴.
15.【答案】
【解析】令，，消可得
，，
，
，
，∴.
16.【答案】
【解析】，∴，，
令，，
当时，，矛盾
当时，在
∴，∴
∴的取值集合.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【解析】
（1）因为，根据正弦定理得，
即，所以.
因为，所以，
所以，所以.
（2）在中，，，，
根据余弦定理，，解得，
所以.
18.【解析】
（1）设BO与AC交于M，连接PM，OC.
因为，，所以，，
所以四边形ABCO为平行四边形，
因为，所以平行四边形ABCO为菱形，
所以，且
在中，，，所以
因为，，，面POB，面POB，
所以面POB.
（2）因为平行四边形ABCO为菱形，，
所以，.
在中，，为AD的中点，所以，
所以.
同理，.
在中，，为AD的中点，所以.
因为面POB，面POB，所以.
因为，，，面ABCD，面ABCD，
所以面ABCD，
所以.
所以点B到面PAC的距离.
19.【解析】
（1）因为，
所以，整理得，，
因为数列为正项数列，所以，
所以，即.
因为，，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.
所以，即.
（2）由（1）得
当时，.
当时，.
，①
，②
①-②，得
，
即.
当时，，适合上式
综上，.
20.【解析】
（1）直三棱柱中，，
以为正交基底如图建立空间直角坐标系
设，则，，，
所以，.
因为，，所以，，
所以.
因为面，所以面的一个法向量为.
因为，面，所以面ABC.
（2）由（1）得，.
当时，最短，所以，.
所以，.
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，
所以平面的一个法向量为.
同理，平面的一个法向量为
设二面角的平面角为，则
.
所以二面角的余弦值为.
21.【解析】（1）设，，则，
所以，
所以，
所以P的轨迹C的方程为
（2）设直线与直线相交于点，
①当点在椭圆内部时
设直线与椭圆相交于，
由图象的对称性可知，直线与椭圆相交于，
所以，即，
因为直线：与轨迹有交点，且点在椭圆内部，
所以，且
所以
所以，
当时，取最大值为.
②当点在椭圆外部时
设直线与椭圆相交于，
由图象的对称性可知，直线与椭圆相交于，
所以，即，
因为直线：与轨迹有交点，且点在椭圆外部，
所以，且
所以
所以，.
令，，则在区间上单调递减
于是
综上得：当时，以这四个点为顶点的四边形面积的最大值为.
22.【解析】（1）因为所以
当时，，
因为在上单调递减，且，
令，解得，
当时，，
令，解得.
综上，的增区间为，；减区间为，.
（2）直线与函数图像的两个切点坐标分别为，，，
则当时，；当时，.
所以的方程为.
所以①
②
将①代入②得，即.
令，，
则，
，所以在上单调递减，所以，
则直线的方程为，即.
高三数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页，包含[选择题（1~12））填空题（第13题~第16题，共80分）、解答题（第17~22题，共70分）]。本次考试时间120分钟，满分150分。请将答题卡交回。
2.答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。
3.答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。
4.如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。
一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数（i为虚数单位），则
A.2 B.3 C.4 D.5
2.满足的集合的个数为（ ）个.
A.16 B.15 C.8 D.7
3.下列选项正确的是
A. B.
C. D.
4.2022年9月16日，接迎第九批在韩志愿军烈士遗骸回国的运20专机在两架歼20战机护航下抵达沈阳国际机场.歼20战机是我国自主研发的第五代最先进的战斗机，它具有高隐身性、高态势感知、高机动性能等特点，歼20机身头部是一个圆锥形，这种圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形，则机身头部空间大约（ ）立方米
A. B. C. D.
5.过双曲线的右顶点作轴的垂线与两渐近线交于两点，这两个点与双曲线的左焦点恰好是一个正三角形的三顶点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.4
6.已知，则不等式的解集为
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，且，对定义域内任意的，，当时，.若，，，则a，b，c的大小关系为
A. B. C. D.
8.对于集合A，B，我们把集合记作.例如，，，，则，.现已知，集合A，B是M的子集，若，，则内元素最多有（ ）个
A.20个 B.25个 C.50个 D.75个
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若函数，则下列命题正确的是
A.函数的图象与的图象重合
B.
C.
D.存在唯一的，使得
10.用一个平面去截正方体，截面形状不可能是下列哪个图形
A.五边形 B.直角三角形 C.直角梯形 D.钝角三角形
11.已知函数，其导函数为，下列说法正确的是
A.函数的单调减区间为
B.函数的极小值是-15
C.当时，对于任意的，都有
D.函数的图象有条切线方程为
12.已知圆：直线：，下列说法正确的是
A.直线上存在点，过向圆引两切线，切点为A，B，使得
B.直线上存在点，过点向圆引割线与圆交于A，B，使得
C.与圆内切，与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
D.与圆外切，与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13.如图，已知M，N是边BC上的两个三等分点，若，，则=_______________.
14.若数列第二项起，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，已知数列是一个二阶等差数列，且，，，则_______________.
15.已知直线与抛物线交于A，B两点，若（O为坐标原点），则实数m的值为_______________.
16.已知正实数x，y满足，函数的最小值为，则实数取值的集合为_______________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，其中，，且.
（1）求A的大小；
（2）求的面积.
18.（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，O是AD的中点，且，，.
（1）求证：平面POB；
（2）求点B到面PAC的距离.
19.（本小题满分12分）
已知正项数列的前项和为，且，.
（1）求；
（2）求数列的前项的和.
20.（本小题满分12分）
已知直三棱柱，，，.
（1）证明：面；
（2）当最短时，求二面角的余弦值.
21.（本小题满分12分）
已知直线：，：，线段AB的两个端点分别在直线与上滑动，且.
（1）求线段AB中点P的轨迹C的方程；
（2）直线：，：与轨迹C有四个交点，求以这四个点为顶点的四边形面积的最大值.
22.（本小题满分12分）
已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若直线与函数的图象相切于点，，且，求直线的方程.
2022~2023学年度第一学期期中学情检测
高三数学
一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】A
【解析】，∴，∴，选A.
2.【答案】C
【解析】A可取，，，，，，，，共8个结果，选C.
3.8
【答案】C.
【解析】在，∴，A错.
，，，在
∴，即，B错.
，C对.
4.【答案】B
【解析】，.
5.【答案】B
【解析】，，，为正三角形
∴，即，即，∴，选B.
6.【答案】D
【解析】当时，，，解得
当时，因为，所以，解得.
综上，不等式的解集为.
7.【答案】D
【解析】当时，，
所以为上的增函数.
令，因为，所以为上的增函数.
因为，所以.
8.【答案】B
【解析】设集合A中元素个数为m，集合B中元素个数为n，A，B是M的子集，若，，则.
所以.当且仅当时取等号
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.【答案】AC.
【解析】，A对.
，
∴，B错.
，
，C对.
，，
则有两解，D错.
10.【答案】BCD
【解析】如图所示，截面为如图
设，，，
∴，，，，，，
∴为锐角三角形，
B，D都不可能，BD都要选
如图截面可以是五边形EFGHI，A可能，A不选
如图（红色）截面可以是梯形，但不可以是直角梯形，C要选.
11.【答案】AB
【解析】方法一：，，
∴的单调减区间为，A对.
在，，，
∴，B对.
，
可得到，
矛盾，C错.
，或，时切点不在上
时切点不在上，D错，选AB.
12.【答案】ABCD
【解析】，A对.
有解，B对.
动圆圆心设为，半径设为，对于C，，作的平行线与的距离为1，
这样的平行线有两条，与同侧的设为，与异侧的设为
则A到O的距离等于A到的距离，A点轨迹为抛物线，C对.
对于D，，则A到O的距离等于A到的距离
∴A点的轨迹为抛物线，D对，ABCD全对.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13.【答案】-4
【解析】取MN中点E，∴，
∴，∴.
14.【答案】
【解析】，，∴
∴∴
∴.
15.【答案】
【解析】令，，消可得
，，
，
，
，∴.
16.【答案】
【解析】，∴，，
令，，
当时，，矛盾
当时，在
∴，∴
∴的取值集合.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【解析】
（1）因为，根据正弦定理得，
即，所以.
因为，所以，
所以，所以.
（2）在中，，，，
根据余弦定理，，解得，
所以.
18.【解析】
（1）设BO与AC交于M，连接PM，OC.
因为，，所以，，
所以四边形ABCO为平行四边形，
因为，所以平行四边形ABCO为菱形，
所以，且
在中，，，所以
因为，，，面POB，面POB，
所以面POB.
（2）因为平行四边形ABCO为菱形，，
所以，.
在中，，为AD的中点，所以，
所以.
同理，.
在中，，为AD的中点，所以.
因为面POB，面POB，所以.
因为，，，面ABCD，面ABCD，
所以面ABCD，
所以.
所以点B到面PAC的距离.
19.【解析】
（1）因为，
所以，整理得，，
因为数列为正项数列，所以，
所以，即.
因为，，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.
所以，即.
（2）由（1）得
当时，.
当时，.
，①
，②
①-②，得
，
即.
当时，，适合上式
综上，.
20.【解析】
（1）直三棱柱中，，
以为正交基底如图建立空间直角坐标系
设，则，，，
所以，.
因为，，所以，，
所以.
因为面，所以面的一个法向量为.
因为，面，所以面ABC.
（2）由（1）得，.
当时，最短，所以，.
所以，.
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，
所以平面的一个法向量为.
同理，平面的一个法向量为
设二面角的平面角为，则
.
所以二面角的余弦值为.
21.【解析】（1）设，，则，
所以，
所以，
所以P的轨迹C的方程为
（2）设直线与直线相交于点，
①当点在椭圆内部时
设直线与椭圆相交于，
由图象的对称性可知，直线与椭圆相交于，
所以，即，
因为直线：与轨迹有交点，且点在椭圆内部，
所以，且
所以
所以，
当时，取最大值为.
②当点在椭圆外部时
设直线与椭圆相交于，
由图象的对称性可知，直线与椭圆相交于，
所以，即，
因为直线：与轨迹有交点，且点在椭圆外部，
所以，且
所以
所以，.
令，，则在区间上单调递减
于是
综上得：当时，以这四个点为顶点的四边形面积的最大值为.
22.【解析】（1）因为所以
当时，，
因为在上单调递减，且，
令，解得，
当时，，
令，解得.
综上，的增区间为，；减区间为，.
（2）直线与函数图像的两个切点坐标分别为，，，
则当时，；当时，.
所以的方程为.
所以①
②
将①代入②得，即.
令，，
则，
，所以在上单调递减，所以，
则直线的方程为，即.
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