幂函数10类小题过关小全
一.幂函数定义
1．下列函数是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的图像经过，则______．
3．幂函数y＝f（x）的图象经过点，则f（x）的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二.幂函数图像
4．如图所示是函数(且互质)的图象，则（ ）
A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，且
5．已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
6．若幂函数在同一坐标系中的部分图象如图所示，则 的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．若幂函数（，且、互素）的图像如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．、是奇数且 B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且 D．、是偶数，且
8．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（ ）
A．①，②，③，④ B．①，②，③，④
C．①，②，③，④ D．①，②，③，④
9．如图是幂函数的部分图象，若n取，四个值，则下图中对应于曲线，，，的n的值依次为（ ）
A．，，，3 B．3，，，
C．，，3， D．3，，，
过关题
10．已知幂函数的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p为奇数，且 B．p为奇数，且 C．p为偶数，且 D．p为偶数，且
11．若幂函数与在第一象限内的图像如图所示，则（ ）
A．； B．，；
C．，； D．，．
12．已知函数，，的图像如图所示，则（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
三.幂函数图像与有界值比较
13．幂函数，及直线将直角坐标系第一象限分成八个“卦限： （如图所示），那么，而函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ）
A． B． C． D．
14．已知幂函数与的部分图象如图所示，直线，与，的图象分别交于A B C D四点，且，则（ ）
A． B．1 C． D．2
四.幂函数图像与一次函数
15．在同一坐标系内，函数和的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
16．函数与在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
五.幂函数图像与指数函数图像
17．函数与的图象如图所示，则实数a的值可能是（ ）
A．2 B．3 C． D．
18．函数与的图象如图，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
19．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
六.幂函数图像与对数函数图像
20．函数且在同一直角坐标系中的部分图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
21．在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
22．在同一个直角坐标系中，函数，（且）的图象如图，则a，b的取值可能是（ ）
A． B．
C． D．
七.幂指对函数图像
23．已知函数，，的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
24．函数,,,其中,,存在某个实数,使得以上三个函数图像在同一平面直角坐标系中,则其图像只可能是
A．B．C． D．
25．函数的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
26．用函数表示函数和中的较大者，记为：，若，，则的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
八.比较大小
27．若，则（ ）
A． B．
C． D．
28．已知，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
29．已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
30．若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
31．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
九.幂函数单调性和奇偶性
32．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
33．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A． B． C．y=|x| D．
34．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
35．下列函数中，既是偶函数又在上不单调的是（ ）
A． B． C． D．
36．若,则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
37．函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
十.应用幂函数单调性解不等式
38．已知幂函数，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
39．设；，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
40．已知幂函数满足，则（ ）
A． B． C． D．幂函数10类小题过关小全
1．下列函数是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义即可求解.
【详解】根据幂函数的定义：形如，而，符合幂函数的定义,正确.
ABD在形式上都不符合幂函数定义，错误.
故选：C
2．已知函数的图像经过，则______．
【答案】##0.5
【分析】根据函数的图像经过，可求得的值，可得，即可求的值.
【详解】解：函数的图像经过，所以，则
所以，则.
故答案为：.
3．幂函数y＝f（x）的图象经过点，则f（x）的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据幂函数y＝f（x）的图象经过点，求得幂函数解析式，然后根据函数的图象和性质判断.
【详解】设幂函数
因为幂函数y＝f（x）的图象经过点，
所以，即，
所以，
解得
所以幂函数的定义域是，在上递增越来越慢，
故选：D
【点睛】本题主要考查幂函数的定义和图象与性质，属于基础题.
4．如图所示是函数(且互质)的图象，则（ ）
A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，且
【答案】C
【分析】根据幂函数的性质及图象判断即可；
【详解】解：函数的图象关于轴对称，故为奇数，为偶数，
在第一象限内，函数是凸函数，故，
故选：C.
5．已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
【答案】D
【分析】根据给定函数的图象分析函数的性质，即可得出p、q的取值情况.
【详解】因函数的图象关于y轴对称，于是得函数为偶函数，即p为偶数，
又函数的定义域为，且在上单调递减，则有0，
又因p、q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确.
故选：D
6．若幂函数在同一坐标系中的部分图象如图所示，则 的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的性质以及图象的特点即可得 的大小关系，进而可得正确选项.
【详解】和在上单调递增，所以，，
当时，图象在上方，所以，
当时，图象在下方，所以，
所以，
故选：A.
7．若幂函数（，且、互素）的图像如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．、是奇数且 B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且 D．、是偶数，且
【答案】C
【分析】利用幂函数的性质直接推出结果；或利用函数的定义域、值域、单调性推出结果.
【详解】将分数指数式化为根式，，
由定义域为，值域为知为奇数，为偶数，故排除A、D，
又由幂函数，当时，图像在第一象限的部分下凸，
当时，图像在第一象限的部分上凸.
故选：C
【点睛】本题考查了幂函数的性质，需熟记幂函数的性质，属于基础题.
8．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（ ）
A．①，②，③，④ B．①，②，③，④
C．①，②，③，④ D．①，②，③，④
【答案】B
【解析】判断函数的定义域、奇偶性、单调性等，结合幂函数的图像性质分析判断即可.
【详解】对于图①，函数图象关于原点对称，为奇函数，且在上递增，故只有符合；
对于图②，函数图象关于轴对称，为偶函数，且在上递增，故只有符合；
对于图③，函数的定义域为，且为增函数，故符合；
对于图④，函数的定义域为，且为奇函数，并且在上递减，故符合.
故选：B．
【点睛】对于幂函数，其主要性质如下：
（1）当时，在上递增，当时，在上递减；
（2）当，若为偶数，为奇数，则的定义域为，且为增函数；若为奇数，为偶数，则为偶函数，且在上递增．
9．如图是幂函数的部分图象，若n取，四个值，则下图中对应于曲线，，，的n的值依次为（ ）
A．，，，3 B．3，，，
C．，，3， D．3，，，
【答案】B
【分析】根据幂函数的图像特征即可求解.
【详解】当时，幂函数在上单调递增，当时，幂函数在上单调递减，并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数n依次增大.
故选：B.
10．已知幂函数的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p为奇数，且 B．p为奇数，且 C．p为偶数，且 D．p为偶数，且
【答案】D
【分析】从图象的奇偶性与在第一象限的单调性判断解析式的特征
【详解】因为函数的图象关于y轴对称，
所以函数为偶函数，即p为偶数，
又函数的定义域为，
且在上单调递减，
则有，
所以．
故选：D．
11．若幂函数与在第一象限内的图像如图所示，则（ ）
A．； B．，；
C．，； D．，．
【答案】B
【分析】利用幂函数的图象和性质判断.
【详解】由图象知；在上递增，
所以，
由的图象增长的越来越慢，
所以，
在上递减，
所以，
又当时，的图象在的下方，
所以，
故选：B
12．已知函数，，的图像如图所示，则（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】D
【解析】根据函数图象的对称性可得函数的奇偶性，根据奇偶性可得对应函数解析式.
【详解】由的图象关于轴对称可知为偶函数，故，
由的图象可知，为非奇非偶函数，故，
由的图象关于原点对称可知为奇函数，故.
故选：D
【点睛】关键点点睛：掌握幂函数的奇偶性是本题解题关键.
13．幂函数，及直线将直角坐标系第一象限分成八个“卦限： （如图所示），那么，而函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据幂函数的图象与性质，结合指数变化时的规律即可求解.
【详解】对于幂函数，因为 ，所以在第一象限单调递减，
根据幂函数的性质可知：在直线的左侧，幂函数的指数越大越接近轴 ，
因为，所以的图象比的图象更接近轴 ，所以进过第卦限，
在直线的右侧，幂函数的指数越小越接近轴，因为，
所以的图象位于和之间，所以经过卦限，
所有函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是，
故选：B
14．已知幂函数与的部分图象如图所示，直线，与，的图象分别交于A B C D四点，且，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】把用函数值表示后变形可得．
【详解】由得，即，
所以，
故选：B．
15．在同一坐标系内，函数和的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据幂函数和一次函数的图像特征，对四个选项一一判断.
【详解】对于A：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过一、三象限可以判断出.矛盾.故A错误；
对于B：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、四象限可以判断出，所以，所以直线与y轴的交点应该在x轴上方，矛盾.故B错误；
对于C：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过一、三象限可以判断出，所以，所以直线与y轴的交点应该在x轴下方，符合题意.故C正确；
对于D：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、四象限可以判断出，矛盾.故D错误.
故选：C
16．函数与在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数和幂函数的图象，依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A，由一次函数的图象，可得，函数的图象不符合；
对选项B，由一次函数的图象，可得，函数的图象不符合；
对选项C，由一次函数的图象，可得，函数的图象不符合；
对选项D，由一次函数的图象，可得，函数的图象符合.
故选：D
【点睛】本题主要考查一次函数和幂函数的图象，属于简单题.
17．函数与的图象如图所示，则实数a的值可能是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】利用排除法，结合指数函数和幂函数的图象特征分析判断即可.
【详解】显然．由，知①是函数的图象，②是函数的图象．
由函数的图象可知，排除A，B．
由②知，函数在时有意义，排除C，
故选：D．
18．函数与的图象如图，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由指数函数和幂函数的单调性可判断，，带特殊值逐一分析选项即可.
【详解】由图可知，单调递增，则；单调递减，则，
A：0不一定成立，如；
B：不一定成立，如；
C：，成立；
D：不成立，，，.
故选：C.
【点睛】结论点睛：（1）指数函数当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，且恒过定点；
（2）幂函数当时，在上单调递增，当时，在上单调递减.且恒过定点.
19．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和幂函数的图象性质即可判断.
【详解】根据指数函数和幂函数的图象性质可得B选项符合.
故选：B.
20．函数且在同一直角坐标系中的部分图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】分别当时和当时，分析两个函数的图象可得答案.
【详解】当时，选项中图象正确；选项中，的图象错误；选项中的图象错误；选项中的图象错误.
当时，选项中与的图象都错误，选项中的图象错误；选项中的图象错误；选项中与的图象都错误.
故选：A
【点睛】关键点点睛：掌握幂函数的图象与指数的关系和对数函数的图象与底数的关系是解题关键.
21．在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据和分类讨论可得．
【详解】A中没有的图象，
时，只可能为B，B中另一图象不是的图象，不合；
时，的图象可能为C或D，D中另一图象是的图象，
故选：D．
22．在同一个直角坐标系中，函数，（且）的图象如图，则a，b的取值可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】直接观察图像可得的值，特殊值代入可确定的范围.
【详解】设，，
由图像观察，
，
，，
则；
故选：B.
【点睛】本题主要考查了对数函数以及幂函数的图像问题.属于容易题.
23．已知函数，，的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函数图象可确定大小关系，结合指数函数单调性可得结果.
【详解】由图象可知：，.
故选：C.
24．函数,,,其中,,存在某个实数,使得以上三个函数图像在同一平面直角坐标系中,则其图像只可能是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在同一选项中的三个函数的图像，假设其中的一个正确去判断另外两个是否正确，这样就可以选出正确答案.
【详解】A：假设指数函数的图像是正确的，所以有，这时对数函数是单调递增的，但是选项中的图像是单调递减的，所以假设不成立，故本选项不正确；
B：假设指数函数的图像是正确的，所以有，这时对数函数是单调递减的，但是选项中的图像是单调递增的，所以假设不成立，故本选项不正确；
C：假设指数函数的图像是正确的，所以有，这时对数函数是单调递减的，选项中的图像是单调递减的，假设不成立，这时幂函数图像有可能正确，也有可能错误，故存在某个实数,使得这三个图像是正确的，故本选项正确；
D假设指数函数的图像是正确的，所以有，这时对数函数是单调递增的，选项中的图像是单调递增的，所以假设成立，这时幂函数的图像是不正确的，因为这时的幂函数的定义域是全体实数集，故本选项不正确.
故选：C
【点睛】本题考查了同一直角坐标系对数函数、指数函数、幂函数的图像，考查了数形结合思想.其时本题也可以这样思考，因为指数函数和对数函数具有相同的单调性，这样直接可以排除A，B，再根据幂函数的图像性质，结合指数函数或对数函数的单调性可以排除D.
25．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据幂函数的性质判断即可；
【详解】解：因为的定义域为，
又，故为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除C、D；
当时，由幂函数的性质可知，在上单调递增，但是增长趋势越来越慢，故B错误；
故选：A
26．用函数表示函数和中的较大者，记为：，若，，则的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用特殊值确定正确选项.
【详解】依题意，
，排除CD选项.
，排除B选项.
所以A选项正确.
故选：A
27．若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据幂函数及指数函数的单调性判断即得.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以，即，
又函数在定义域上单调递减，
所以，而，所以，
所以.
故选：C.
28．已知，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数单调性即可比较大小作答.
【详解】函数是定义域R上的单调减函数，且，则，即，
又函数 在上单调递增，且，于是得，即，
所以a、b、c的大小关系为．
故选：C
29．已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，利用中间量法即可得出答案.
【详解】解：，
，
，
因为，
所以.
故选：D.
30．若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将都化为的形式，利用在上单调递增，判断的大小关系可得结果.
【详解】解：，， ，令，则在上单调递增，所以.
故选：A
31．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的单调性比较大小．
【详解】在上是增函数，
则，所以，
又，所以，
综上，．
故选：A.
32．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确答案.
【详解】函数和函数是奇函数，不符合题意，CD选项错误.
函数是偶函数，且在上递减，不符合题意，A选项错误.
函数是偶函数，且在上单调递增，符合题意，B选项正确.
故选：B
33．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A． B． C．y=|x| D．
【答案】D
【分析】判断每个函数的奇偶性与单调性得答案.
【详解】，都是奇函数，排除A，B.
，都是偶函数，在上递增，在递减，
故选：D．
34．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对A，B，C，D各项逐个分析单调性和奇偶性，得到答案.
【详解】A. 是奇函数，在R上单调递增；
B. 是偶函数，在上单调递减，满足题意；
C. 是偶函数，在上单调递增；
D. 是奇函数，在上单调递减.
故选：B.
35．下列函数中，既是偶函数又在上不单调的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性与单调性的概念判断即可.
【详解】对于A，定义域，但，为奇函数，且在上单调递减，故A错误；
对于C，为偶函数，且在上既有增区间，也有减区间，所以在上不单调，故B正确；
对于C，在单调递减，不符合题意，故C错误；
对于D，在单调递增，不符合题意，故D错误.
故选：B
36．若,则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造,通过函数单调性及定义域,列出不等式,求出取值范围.
【详解】解:由题知构造,
由幂函数性质可知单调递增,
,
,
,
综上:.
故选:D
37．函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求定义域，再利用复合函数的同增异减可得函数单调递减区间.
【详解】
，解得
即函数的定义域为，
因为函数在定义域内是单调递增函数，
要求函数的单调递减区间，
即求函数在上的单调减区间
由于其开口向下，且对称轴为，故减区间为
故选：A.
38．已知幂函数，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的单调性与定义域可解不等式.
【详解】因为幂函数的定义域为，且是定义域上的减函数，
所以若，则解得.
故选：D.
39．设；，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由题意结合幂函数的性质可转化条件得，由充分条件和必要条件的概念即可得解.
【详解】由得解得，
因为不能推出，可推出，
所以p是q成立的必要不充分条件.
故选：B．
【点睛】本题考查了幂函数性质的应用及充分条件、必要条件的判断，属于基础题.
40．已知幂函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数为幂函数可得出关于的等式，求出的值，再结合可得出的值.
【详解】因为函数为幂函数，则，解得或.
①当时，，此时函数在上为减函数，则，合乎题意；
②当时，，此时函数在上为增函数，则，不合乎题意.
综上所述，.
故选：D.
