对数函数10类小题过关小全
一.对数运算
1．设，那么m等于（ ）
A． B．9 C．18 D．27
2．已知， ，设，则N所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
3．设，，都是正数，且，那么（ ）
A． B． C． D．
二.对数实际应用问题
4．从2007年10月24日18时05分，我国首颗绕月人造卫星“嫦娥一号”成功发射以来，中国航天葆有稳步前进的力量，标志着中国人一步一步将“上九天缆月”的神话变为了现实，月球距离地球大约38万千米，有人说，在理想状态下，将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次，其厚度就可以超过月球与地球之间的距离，那么至少对折的次数是（ ）（参考数据：）
A．41 B．42 C．43 D．44
5．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足.有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为（）（ ）
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.6天
6．当把一个任意正实数N表示成的时候，就可以得出正实数N的位数是n＋1，如：，则235是一个3位数．利用上述方法，判断的位数是（ ）（参考数据：，）
A．61 B．62 C．63 D．64
三.比较大小
7．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
8．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
四.对数函数图形类
10．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．C． D．
11．函数的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
12．函数的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
五.对数函数与指数函数结合
13．在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
14．函数的图像大致为（ ）
A．B．C． D．
15．已知函数，，的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
六.对数不等式
16．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
17．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
18．设集合，，则（ ）
A． B．（－∞，1] C．（－1，1] D．[0，1]
19．若定义在区间内的函数满足，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
七.对数函数值域
20．已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（ ）
A． B． C． D．
21．已知函数f（x）=m+log2x2的定义域是[1，2]，且f（x）≤4，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-，2] B．（-，2）
C．[2，+） D．（2，+）
22．已知函数的定义域为，函数的值域为，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
八.对数函数相关分段函数
23．已知函数 ，在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．已知函数 (a>0且a≠1)是R上的单调函数，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
25．设函数（，且）的值域是，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
九.单调性
26．在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
27．函数在上单调递增的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
28．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
十.含绝对值的对数函数
29．记在时的最大值为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
30．已知函数，若函数在区间（t，t+1）（tR）上有最小值，则实数t的取值可能为（ ）
A．-2 B． C．0 D．1
31．函数，若正实数、满足，且在区间上的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．对数函数10类小题过关小全
1．设，那么m等于（ ）
A． B．9 C．18 D．27
【答案】B
【分析】利用换底公式化简得到对数方程，求出即可.
【详解】,
，，
故选：B.
2．已知， ，设，则N所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意结合对数运算求的近似值，再化为指数判断范围.
【详解】∵,
则
，
∴.
故选：D.
3．设，，都是正数，且，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，根据指数与对数的关系将指数式化为对数式，再由换底公式及对数的运算法则计算可得.
【详解】解：由，，都是正数，令，则，，，
所以，，，
对于A：，故A错误；
对于B：，，
所以，故B正确；
对于C：，
所以，故C错误；
对于D：，
所以，故D错误；
故选：B．
4．从2007年10月24日18时05分，我国首颗绕月人造卫星“嫦娥一号”成功发射以来，中国航天葆有稳步前进的力量，标志着中国人一步一步将“上九天缆月”的神话变为了现实，月球距离地球大约38万千米，有人说，在理想状态下，将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次，其厚度就可以超过月球与地球之间的距离，那么至少对折的次数是（ ）（参考数据：）
A．41 B．42 C．43 D．44
【答案】B
【分析】由题知第次对折后纸张的厚度为毫米，再根据题意解不等式即可.
【详解】解：由题知，第一次对折后纸张的厚度为毫米，
第二次对折后纸张的厚度为毫米，
第三次次对折后纸张的厚度为毫米，
……
所以，第次对折后纸张的厚度为毫米，
因为38万千米为毫米，
所以，，
所以两边取以为底的对数得，即，解得，
所以，至少对折的次数是次.
故选：B
5．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足.有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为（）（ ）
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.6天
【答案】D
【分析】根据所给模型求得，令，求得，根据条件可得方程，然后解出即可．
【详解】解：把，代入，可得，，
当时，，则，
两边取对数得，解得．
故选：D
6．当把一个任意正实数N表示成的时候，就可以得出正实数N的位数是n＋1，如：，则235是一个3位数．利用上述方法，判断的位数是（ ）（参考数据：，）
A．61 B．62 C．63 D．64
【答案】C
【分析】设，则，计算即可求出，从而得出结果．
【详解】设，则
又因为
故，所以的位数是
故选：C
7．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对数的运算公式化简，再结合对数函数的单调性比较大小.
【详解】由对数运算公式可得，
因为对数函数在上单调递增，，所以，所以，即
因为对数函数在上单调递增，，所以，所以，即，
所以，
故选：B.
8．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性及特殊值即可比较三者大小.
【详解】因为在上单调递减，且，所以，即，
因为在上单调递增，所以，即，
因为在上单调递增，所以，即，
所以．
故选：D．
9．已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据换底公式整理，再利用作差法结合基本不等式、对数函数单调性运算判断.
【详解】∵，
则，
∵，即，
∴，则，即，
同理可证：，故.
故选：A.
10．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据特殊点的函数值、函数的奇偶性求得正确答案.
【详解】，排除C选项.
，的定义域为，
，
所以是偶函数，排除D选项.
，所以B选项错误.
故A选项正确.
故选：A
11．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的图象和性质即得.
【详解】由对数函数性质知为增函数，故排除BD；
当时，，即函数过点，排除C.
故选：A．
12．函数的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】当时，根据函数的极值可以排除C、D，当时，根据函数的单调性可以排除B，从而得到结果.
【详解】当时，，在处取得最小值，排除C、D，
当时，为减函数，
故选:A．
13．在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】结合两个函数过定点，以及单调性相异判断即可.
【详解】函数与的图象过定点，
所以C，D错误；
又因为与单调性相异.
故选：A
14．函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】判断出是偶函数，结合可选出答案.
【详解】由已知可得函数的定义域为，，
所以是偶函数，函数图像关于轴对称，可排除A ，B；
由，可排除D．
故选：C
15．已知函数，，的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函数图象可确定大小关系，结合指数函数单调性可得结果.
【详解】由图象可知：，.
故选：C.
16．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解不等式得到集合，，然后求补集和交集即可.
【详解】，
，
或，
所以或.
故选：B.
17．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解不等式和，再求交集即可.
【详解】由得：，所以，
由得：，所以，
所以.
故选：C
18．设集合，，则（ ）
A． B．（－∞，1] C．（－1，1] D．[0，1]
【答案】D
【分析】根据集合的交集和补集的定义，直接计算求解.
【详解】由，得，解得或，
则，
由，得，解得，
故
故选：D
19．若定义在区间内的函数满足，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，讨论、，结合对数函数的性质确定参数的范围.
【详解】由题意，
当，即时，在上，满足要求；
当，即时，在上，不满足要求.
综上，.
故选：A
20．已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分类讨论最值，当时，当时，分别求出最值解方程，即可得解.
【详解】若，则在上单调递减，则，不符合题意；
若，则在上单调递增，则，
又因为的值域为，所以，解得．
故选：A．
21．已知函数f（x）=m+log2x2的定义域是[1，2]，且f（x）≤4，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-，2] B．（-，2）
C．[2，+） D．（2，+）
【答案】A
【分析】根据函数f（x）的定义域，得到函数f（x）在上的单调性，进而求得其值域求解.
【详解】解：因为函数f（x）=m+log2x2的定义域是[1，2]，
所以函数f（x）=m+log2x2，且函数f（x）在上递增，
所以函数f（x）的值域为，
因为f（x）≤4，
所以，解得，
故选：A
22．已知函数的定义域为，函数的值域为，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先化简集合与，再利用，即可求解
【详解】根据题意得，
因为，所以
所以，
由可得，则．
故选：D．
23．已知函数 ，在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用函数是增函数，所以有二次函数的对称轴大于等于1，对数函数底数大于1，函数的最小值大于的最大值.列方程解不等式即可.
【详解】因为在上单调递增，所以 解得．
24．已知函数 (a>0且a≠1)是R上的单调函数，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数和对数函数的单调性，结合分段函数的性质进行求解即可.
【详解】二次函数的对称轴为：，
因为二次函数开口向上，所以当时，该二次函数不可能单调递增，
所以函数是实数集上的减函数，
则有，
故选：C
25．设函数（，且）的值域是，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分段函数确定当时， ，从而可得可求解.
【详解】由题，当时， ，
当时，
若，单调递减，所以，
不满足的值域是;
若，单调递增，所以，
要使的值域是，则有，解得.
故选:D.
26．在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复合函数的单调性可判断A；通过分离常数、反比例函数的性质以及平移变换可判断B；利用一元二次函数性质可判断CD.
【详解】对于A：由题意可知，的定义域为，
因为在在单调递减，单调递增，
所以在上为减函数，故A错误；
对于B：由题意可知，，
由反比例函数性质以及平移变换可知，在单调递增，故B正确；
对于C：由二次函数性质可知，在上单调递增，在上单调递减，故C错误；
对于D：由二次函数性质可知，在上单调递减，故D错误.
故选：B.
27．函数在上单调递增的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复合函数单调性法则“同增异减”求出，对照四个选项，得到正确答案.
【详解】设，可得函数在单调递减，在单调递增，又由函数，满足，解得或，根据复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间为.在上单调递增.所以对照四个选项，可以得到一个充分不必要条件是：.
故选：D
28．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，则函数在内递增，且恒大于0，可得不等式，从而可求得a的取值范围
【详解】解：令，
∵ 在上单调递减，
∴ 在内递增，且恒大于0，
且，
．
故选：C．
29．记在时的最大值为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出的图象，然后讨论与，的大小关系，利用对数函数的性质，得出的解析式，然后求出最小值即可．
【详解】由已知可得，
画出的图象，如下图所示，
当即时，由图象知，在上单调递减，
所以，
当即时，由图象知，在上单调递增，
所以，
当即时，由图象知，在上单调递减，在单调递增，
所以的最大值可能为或，
又，
所以当时，，
当时，，
综上
由对数函数的性质知的最小值为．
故选:A
30．已知函数，若函数在区间（t，t+1）（tR）上有最小值，则实数t的取值可能为（ ）
A．-2 B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】在单调递增，函数在开区间，上恒有最小值，等价于在开区间，上恒有最小值，进而求解．
【详解】在单调递增，
函数在开区间，上恒有最小值，
等价于在开区间，上恒有最小值，
，作出的大致图象如图，
若使在，上恒有最小值，
则或，
解得或，
故选：C．
31．函数，若正实数、满足，且在区间上的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作出图形，可得出，结合图形可得出，求出的值，进而可得出的值，进而可求得的值.
【详解】，正实数、满足，
，且，，
，解得，
又在区间上的最大值为，
易知，此时，，
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题考查利用对数型函数在区间上的最值求参数，解题的关键就是利用推导出，再转化处理题中最值的条件时，充分利用了图象将题中信息进行等价处理，能将抽象问题直观化.
