第四章《指数函数与对数函数》章末检测（答案）
选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、函数y＝log2(2x－4)＋的定义域是( D )
A.(2，3) B.(2，＋∞)
C.(3，＋∞) D.(2，3)∪(3，＋∞)
2、设alog34＝2，则4－a＝( B )
A. B. C. D.
3、给出下列函数：
①；②；③；④.
其中是对数函数的有（ A ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、函数（，且）的图象一定经过的点是（ B ）
A． B． C． D．
5、已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的图象可能是( C )
6、若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( B )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
7、设a＝log32，b＝log53，c＝，则( A )
A．a
C．b8、设函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调增函数；②存在[m，n] D(n>m)，使得f(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，那么就称y＝f(x)是定义域为D的“成功函数”.若函数g(x)＝loga(a2x＋t)(a>0且a≠1)是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是( A )
A. B.
C. D.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9、下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( CD )
A.y＝x2 B.y＝
C.y＝2x D.y＝3x－1
10、若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ BC ）
A． B． C． D．
11、在通信技术领域中，香农公式C＝Wlog2是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比.
根据香农公式，以下说法正确的是(参考数据：lg 5≈0.699 0)( ACD )
A.若不改变信噪比，而将信道带宽W增加一倍，则C增加一倍
B.若不改变信道带宽W和信道内所传信号的平均功率S，而将信道内部的高斯噪声功率N降低为原来的一半，则C增加一倍
C.若不改变信道带宽W，而将信噪比从255提升至1 023，则C增加了25%
D.若不改变信道带宽W，而将信噪比从999提升至4 999，则C大约增加了23.3%
12、已知a＞b＞0，且ab＝4，则( ACD )
A.2a－b＞1 B.log2a－log2b＞1
C.2a＋2b＞8 D.log2a·log2b＜1
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．
13、化简=___x2y_____．
14、函数f(x)＝的单调递减区间为___(－∞，1] _____．
15、函数的值域为_________．
16、已知定义域为R的函数f(x)＝－＋，则关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)＜0的解集为___∪(1，＋∞)_____.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、计算：（1）－×＋8×－；
（2）log29×log34＋2log510＋log50.25
解：（1）原式＝×1＋2×2－＝2.
（2）原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6.
18、已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).
(1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围.
解 (1)因为f(x)的图象过A(1，6)，B(3，24)，
所以
所以a2＝4，又a>0，所以a＝2，b＝3.
所以f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知a＝2，b＝3，则当x∈(－∞，1]时，＋－m≥0恒成立，即m≤＋在x∈(－∞，1]上恒成立.
又因为y＝与y＝均为减函数，所以y＝＋也是减函数，所以当x＝1时，y＝＋有最小值.
则m≤，故m的取值范围是.
19、设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求实数a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值.
解 (1)∵f(1)＝2，
∴loga4＝2(a＞0，且a≠1)，
∴a＝2.由得－1＜x＜3，
∴函数f(x)的定义域为(－1，3).
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2[(1＋x)(3－x)]
＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈[0，1]时，f(x)单调递增；
当x∈时，f(x)单调递减，
故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
20、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)＞－2.
解 (1)当x＜0时，－x＞0，
则f(－x)＝log(－x).
因为函数f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x).
所以x＜0时，f(x)＝log(－x)，
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)＞－2可化为
f(|x2－1|)＞f(4).
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以0＜|x2－1|＜4，解得－＜x＜且x≠±1，
而x2－1＝0时，f(0)＝0＞－2，所以x＝1或x＝－1.
所以－＜x＜.
所以不等式的解集为{x|－＜x＜}.
21、已知函数f(x)＝－＋4(－1≤x≤2).
(1)若λ＝，求函数f(x)的值域；
(2)若方程f(x)＝0有解，求实数λ的取值范围.
解 (1)f(x)＝－＋4
＝－2λ·＋4(－1≤x≤2).
设t＝，得g(t)＝t2－2λt＋4.
当λ＝时，g(t)＝t2－3t＋4
＝＋.
所以g(t)max＝g＝，
g(t)min＝g＝.
所以f(x)max＝，f(x)min＝，
故函数f(x)的值域为.
(2)方程f(x)＝0有解可转化为
λ＝2·2x＋·(－1≤x≤2).
设φ(x)＝2·2x＋，
当2x＝，即x＝－1时，φ(x)min＝2；
当2x＝4，即x＝2时，φ(x)max＝.
∴函数φ(x)的值域为.
故实数λ的取值范围是.
22、已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围.
解 (1)h(x)＝(4－2log2x)log2x
＝2－2(log2x－1)2.
因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，
故函数h(x)的值域为[0，2].
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，
得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，
令t＝log2x，因为x∈[1，4]，
所以t＝log2x∈[0，2]，
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0，2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15，
因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，
所以4t＋－15的最小值为－3.
所以k<－3.
综上，实数k的取值范围为(－∞，－3).第四章《指数函数与对数函数》章末检测
选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、函数y＝log2(2x－4)＋的定义域是( )
A.(2，3) B.(2，＋∞)
C.(3，＋∞) D.(2，3)∪(3，＋∞)
2、设alog34＝2，则4－a＝( )
A. B. C. D.
3、给出下列函数：
①；②；③；④.
其中是对数函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、函数（，且）的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
5、已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的图象可能是( )
6、若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
7、设a＝log32，b＝log53，c＝，则( )
A．aC．b8、设函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调增函数；②存在[m，n] D(n>m)，使得f(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，那么就称y＝f(x)是定义域为D的“成功函数”.若函数g(x)＝loga(a2x＋t)(a>0且a≠1)是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9、下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A.y＝x2 B.y＝
C.y＝2x D.y＝3x－1
10、若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
11、在通信技术领域中，香农公式C＝Wlog2是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比.
根据香农公式，以下说法正确的是(参考数据：lg 5≈0.699 0)( )
A.若不改变信噪比，而将信道带宽W增加一倍，则C增加一倍
B.若不改变信道带宽W和信道内所传信号的平均功率S，而将信道内部的高斯噪声功率N降低为原来的一半，则C增加一倍
C.若不改变信道带宽W，而将信噪比从255提升至1 023，则C增加了25%
D.若不改变信道带宽W，而将信噪比从999提升至4 999，则C大约增加了23.3%
12、已知a＞b＞0，且ab＝4，则( )
A.2a－b＞1 B.log2a－log2b＞1
C.2a＋2b＞8 D.log2a·log2b＜1
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．
13、化简=________．
14、函数f(x)＝的单调递减区间为________．
15、函数的值域为_________．
16、已知定义域为R的函数f(x)＝－＋，则关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)＜0的解集为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、计算：（1）－×＋8×－；
（2）log29×log34＋2log510＋log50.25
18、已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).
(1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围.
19、设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求实数a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值.
20、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)＞－2.
21、已知函数f(x)＝－＋4(－1≤x≤2).
(1)若λ＝，求函数f(x)的值域；
(2)若方程f(x)＝0有解，求实数λ的取值范围.
22、已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围.