基本不等式层层过关
1．下列四个命题中真命题的个数是（ ）
①函数的最小值为2；②函数的最小值为3；
③函数的最大值为；④函数的最小值为2．
A．2 B．3 C．1 D．4
【答案】A
【分析】利用基本不等式判断各命题即可，注意验证“一正二定三相等”的条件．
【详解】①需满足和大于零，当时，，则最小值不为2，故①错误；
②因为，所以，，当且仅当即时等号成立，故②正确；
③因为，所以，，当且仅当，即时等号成立，所以，故③正确；
④因为，所以，当且仅当时等号成立，但是无实数解，故④错误．
故选：A．
2．下列命题中，真命题的是（ ）
A．，都有 B．，使得
C．任意非零实数，，都有 D．函数的最小值为2
【答案】B
【分析】对于A，利用特殊值判断即可；对于B，当即可判断；对于C，令，即可判断；对于D，由基本不等式即可判断.
【详解】解：对于A，当时，，显然，
所以，都有成立为假命题.
对于B，显然当时，成立，故为真命题.
对于C，当时，则，故不成立，为假命题.
对于D，，当且仅当时，取等号，即，显然无解，即取不到最小值，故不成立，为假命题.
故选：B.
3．已知，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】根据均值不等式求解即可.
【详解】因为，
所以，
当且仅当时，即或时等号成立，
故选：C
4．已知，为正实数，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】B
【分析】对原式进行配凑，使用两次不等式，即可求得结果.
【详解】因为
,
当且仅当且，即时取得等号，
即的最小值为.
故选：B.
5．若，，求 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把变形为，再由基本不等式求其最小值．
【详解】，，
,
当且仅当即时等号成立，
的最小值为．
故选：．
6．下列函数中，为偶函数且有最小值的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据奇偶性定义可判断出ABC错误；根据奇偶性定义和基本不等式可知D正确.
【详解】对于A，定义域为，，为奇函数，A错误；
对于B，；当时，，，为奇函数，B错误；
对于C，的定义域为，为非奇非偶函数，C错误；
对于D，定义域为，，为偶函数；
令，（当且仅当时取等号），
的最小值为，D正确.
故选：D.
7．下列函数的最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式及对勾函数的性质逐项分析即得.
【详解】对于A，当时，函数没有最小值，故A错误；
对于B，，因为，
根据对勾函数的性质可得，故B错误；
对于C，因为，，所以，当且仅当取等号，故C正确；
对于D，，当且仅当取等号，又，故等号不成立，故D错误.
故选：C.
8．设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】先将函数化简变形得，然后构造函数，可判断为奇函数，再利用奇函数的性质结合可得，从而可求得结果
【详解】由题意知，（），
设，则，
因为，
所以为奇函数，
在区间上的最大值与最小值的和为0，
故，
所以.
故选:C.
9．已知函数在时取得最小值，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将函数的解析式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，利用等号成立的条件可求得的值.
【详解】因为，则，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，故，解得.
故选：C.
10．若，则的最小值为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．25
【答案】D
【分析】利用基本不等式即可求得最小值.
【详解】由已知
当且仅当，等号成立. 的最小值为
故答案为：D
11．已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】使用基本不等式，将“1”进行代换求解，求解时需注意基本不等式取等条件.
【详解】由已知，
∵，，
∴，，
∴，当且仅当，即且时取等号，
∴，
即当且仅当且时，的最小值为.
故选：D.
12．已知正数，满足，那么的最小值是（ ）
A．1 B． C．9 D．2
【答案】B
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值.
【详解】因为正数，满足，
所以，即.
所以（当且仅当，即时等号成立）.
所以的最小值是.
故选：B
13．已知实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式时，，构造基本不等式，求出的最大值
【详解】因为，
所以，
可得，即，
所以的最大值为2，
当且仅当时，等号成立
故选:B．
14．已知正实数，满足方程，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由基本不等式求解与的范围后判断，
【详解】∵，是正实数，∴有，当且仅当“”时取“=”，
将代入得，解得，∴A，C错误；
将代入得，解得，∴D错误，B正确，
故选：B
15．已知，若，则的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式的性质，解一元二次不等式即可得出结果.
【详解】由，得，所以，
令，则，解得，
即，故，当且仅当时等号成立，的最大值为1，
故选：A．
16．已知两个正实数x，y满足，则的最大值是（ ）
A． B． C．6 D．9
【答案】B
【分析】由题意得，再利用基本不等式求解即可
【详解】因为正实数x，y满足，则，
当且仅当时，等号成立.
故选：B
17．若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】原不等式即，再利用基本不等式求得的最大值，可得a的范围.
【详解】依题意得，当时，恒成立，
又因为，当且仅当时取等号，
所以，的最大值为，所以，解得a的取值范围为.
故选：B.
18．已知，，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察已知等式和所求式子均为非齐次式，考虑等式变形为 利用“1”的代换，化分式为齐次式，利用换元法，转化为函数问题求最值或利用基本不等式求最值.
【详解】解法一：（转换成函数求最值）
由题意，，，，即有且，
将代入化简得：，令，
∴，则有，
当，有，单调递减；当，有单调递增，
∴.
故选C.
解法二：（利用基本不等式求最值）
由题意，，，，即有且，
将代入化简得：，令，
原式
，
当且仅当，即，等号成立，取到最小值.
故选C.
19．数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】通过图形，并因为，，所以，，从而可以通过勾股定理求得，又因为，从而可以得到答案.
【详解】等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，，
，
而，所以，故选项B正确.
故选：B
20．《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用表示出，由勾股定理求得，由可得结论.
【详解】，，
，，
（当且仅当与重合，即时取等号），.
故选：D.
21．在古巴比伦时期的数学泥版上，有许多三角形和梯形的分割问题，涉及到不同的割线.如图，梯形中，，且，，和为平行于底的两条割线，其中为中位线，过对角线交点，则比较这两条割线可以直接证明的不等式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先设交于点，根据三角形相似性质得到，即可得到答案.
【详解】设交于点，如图所示：
因为，所以，即.
又因为，
即，解得.
又因为，，所以.
故选：B基本不等式层层通关小题
一.一正(关注应用前提)
1．下列四个命题中真命题的个数是（ ）
1)函数的最小值为2； 2)函数的最小值为3；
3)函数的最大值为；4)函数的最小值为2．
A.2 B．3 C．1 D．4
2．下列命题中，真命题的是（ ）
A．，都有 B．，使得
C．任意非零实数，，都有 D．函数的最小值为2
二.二定(构造定值)
3．已知，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．1 D．
4．已知，为正实数，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
5．若，，求 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
三.相等取最值(注意取等条件是否成立)
6．下列函数中，为偶函数且有最小值的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列函数的最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
8．设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．2
9．已知函数在时取得最小值，则（ ）
A． B． C． D．
四.常值代换
10．若，则的最小值为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．25
11．已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知正数，满足，那么的最小值是（ ）
A．1 B． C．9 D．2
五. 和积转换
13．已知实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
14．已知正实数，满足方程，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知，若，则的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
六.取倒数
16．已知两个正实数x，y满足，则的最大值是（ ）
A． B． C．6 D．9
17．若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
18．已知，，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
七.实际应用型
19．数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
20．《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
21．在古巴比伦时期的数学泥版上，有许多三角形和梯形的分割问题，涉及到不同的割线.如图，梯形中，，且，，和为平行于底的两条割线，其中为中位线，过对角线交点，则比较这两条割线可以直接证明的不等式为（ ）
A．
B．
C．
D．
