基本初等函数单调性小题小全
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在已知等式中取对数得到，根据三数的结构形式，令，则,利用导数研究函数的单调性，然后可以得到答案.
【详解】，
令，
，
在上单调递减，
,
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以,
即.
故选：D
2．若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用对数的单调性证明，即得解.
【详解】解：因为，则，则，所以，从而，所以
故选：A．
3．已知正数，满足，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先根据对数定义把指数化为对数，再根据对数运算结合基本不等式逐个运算判断.
【详解】设，则
∴
对A：，A正确；
对B：由题意可得：，同理可得：
∵
∴，则，B错误；
对C：∵
∴，C正确；
对D：
∴，D正确；
故选：B.
4．设，，为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，可得，，，然后利用对数函数的图象即得；或利用换底公式及对数函数的性质即得.
【详解】令，则，，，，
在平面直角坐标系中画出，，的图象及直线，结合图象知．
方法二 令，则，
易得，，，
又当时，函数在上单调递增，且，
∴，
∴，即．
故选：D.
5．已知函数，若函数存在两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定的函数，探讨其性质并作出图象，结合图象求出a的范围作答.
【详解】当时，在上单调递增，，
当时，在上单调递减，，由，得，
因此函数的零点即为直线与函数图象的交点的横坐标，
在同一坐标系内作出直线与函数图象，如图，
观察图象得：直线与函数的图象有两个公共点时，，
所以函数存在两个零点，实数a的取值范围是.
故选：C
6．已知函数，若存在实数，满足且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分段函数及根的个数问题采用图象辅助解题是常用手段，通过画出函数图象，得到，得，则所求式子即关于的函数求值域问题，根据复合函数求值域的方法求出值域即可．
【详解】分别画出与的图象，如图所示
所以，，得，
则，
令，，得，
又，对称轴为，所以在上单调递增，由于则的取值范围为；
故选：B
7．设函数若存在，且，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】考虑的对称轴与1比较，分与两种情况，结合函数的单调性，列出不等式，求出实数a的取值范围.
【详解】当时，，对称轴为，
当，即时，此时存在，使得，满足题意；
当，即时，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，
要想存在，且，使得，
则，解得：，
与取交集得：
综上：的取值范圃为.
故选：A．
8．设定义域为R的函数，若关于x的方程有3 个不同的实数解x1、x2、x3且x1< x2A． B．1 + a + b = 0
C．x1 + x3 = D．x1 + x3 > 2x2
【答案】D
【分析】根据函数的对称性可知有解时总会有2个根，进而根据方程有且仅有3个实数根可知必含有1这个根，进而根据解得，即可求出，即可判断．
【详解】分段函数的图象如图所示：
由图可知，只有当时，它有三个根，其余的根为0或2个，
由，即，
解得，或．
若关于的方程有且只有3个不同实数解，只能为，
其解分别是，，0，因为，即，，，
，，，故正确的有ABC
故选：D．
9．已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数、反比例函数的性质以及分段函数的单调性得到关于的不等式组，解出即可．
【详解】若函数是R上的减函数，
则，
解得,
即实数a的取值范围是.
故选：B．
10．函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由分段函数单调性列不等式组求解
【详解】，故在上单调递减，
由题意得解得，
故选：B
11．条件p:f(x)=在R上为增函数. 条件q:g(x)=log2(2ax+1)在[1，2]单调递增.则p是q成立（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分必要条件的定义，从p推q，再从q推p即可.
【详解】若p： 是增函数，则 且，
即 ， 是增函数，即由p可以推出q；
若q : 在 时是增函数，
根据复合函数的单调性规则，则必定有 ，比如 ，
则 在R上不一定是增函数，即由q不能推出p；
故p是q的充分不必要条件；
故选：A.
12．已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可知分段函数在R上单调递增，只需要每段函数单调递增且在临界点处的函数值左边小于等于右边，列出不等式即可．
【详解】可知函数在R上单调递增，
所以；
对称轴，即；
临界点处，即；
综上所述：
故选：B
13．已知定义在上的奇函数满足.当时，，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据且为奇函数得到4是的一个周期，根据为奇函数得到，可求得的解析式，然后利用周期性和奇偶性即可求.
【详解】因为，且为奇函数，所以，，即，所以4是的一个周期，
因为为定义在R上的奇函数，所以，即，解得，则，
，
，
所以.
故选：B.
14．已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据条件明确函数的周期性为4，则，结合所给分段函数，即可得到结果.
【详解】∵为偶函数，，
∴，即，即函数的周期为4，
∴，
又当时，，
∴.
故选：C
15．已知是定义域为R的奇函数，若的最小正周期为2，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．1是的一个周期
C． D．
【答案】C
【分析】由函数与的关系得其最小正周期，判断B，利用周期性与奇偶性求得和判断C，假若A成立，结合周期性得出函数为偶函数，从而判断A，利用周期性与奇偶性得出与的关系判断D．
【详解】的最小正周期是2，则的最小正周期是2，B错；
∴又，∴，C正确；
若，又，则，令，则有，因此是偶函数，与题意不符，A错；
，∴，D错．
故选：C．
16．已知函数对任意的，总有，若时，，且，则当时，的最大值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】先令，求出，再判断函数的奇偶性，然后利用函数的单调性的定义结合已知条件判断其单调性，再利用单调性可求出函数的最大值.
【详解】令，则，得，
令，则，
所以，
所以为奇函数，
任取，且，则，，
所以
，
所以，
所以在上递减，
所以当时，的最大值为，
因为，所以，
所以，
故选：D
17．函数的单调递增区间是（ ）
A． B．∪
C．和 D．
【答案】C
【分析】先对函数化简，然后画出函数图象，结合图象可求出函数的增区间.
【详解】，
函数图象如图所示，
由图可知函数的递增区间为和，
故选：C
18．若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【分析】当可求得；当时，，由已知关系式可得，进而得到；由二次函数性质可得单调递增区间.
【详解】当时，，则，
在上单调递增；
当时，，，
，
在上单调递增；
综上所述：的单调递增区间为和.
故选：B.
19．已知是定义在上的单调函数，若对任意的，都有，且方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，设，则，利用解方程可得，即，方程可化为，再分类讨论当时，当时，利用图象可得结论.
【详解】由题意，设，则，
由题知，得，即，
，，，
解得，所以．
方程可化为，
令，，
当时，，不合题意；故，
此时．
在同一坐标系内分别画出，的大致图象，由图可知，
要使方程有两个不相等的实数根，则应满足．
故选：B.
【点睛】本题考查函数与方程的综合，考查分类讨论思想，属于中档题．
20．已知函数，则（ ）
A．的最大值为3，最小值为1
B．的最大值为，无最小值
C．的最大值为，最小值为1
D．的最大值为3，最小值为-1
【答案】B
【分析】解方程可得函数与图象的交点坐标，画出函数的图象即可求出．
【详解】解：，
由与，
解得；
解得；
所以与的交点坐标为，，
因为，所以，
所以的图象如下图所示：
由图象，可知最大值为，无最小值，
故选：B．
21．函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求定义域，再利用复合函数的同增异减可得函数单调递减区间.
【详解】
，解得
即函数的定义域为，
因为函数在定义域内是单调递增函数，
要求函数的单调递减区间，
即求函数在上的单调减区间
由于其开口向下，且对称轴为，故减区间为
故选：A.
22．已知在上是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复合函数的单调性即可求解.
【详解】令，则，
因为在上是减函数，由复合函数的单调性知，
函数与的单调性相反；
又因为单调递减，
所以需在上单调递增.
函数的对称轴为，所以只需要，
故选:A.
23．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数、对数函数单调性可判断AB，利用复合函数单调性可判断C，取和可判断D
【详解】对于A，在上单调递减，故A错误；
对于B，由对数函数性质在上单调递减，故B错误；
对于C，设，∵在上单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增，故C正确；
对于D，函数当和时函数值相等，故在区间上递增不成立，故D错误.
故选：C.
24．函数 的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先考虑函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判断方法可求函数的单调减区间.
【详解】错解：
令，是有，
而在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数同增异减的原则可知：在上单调递减，
即其减区间为.
故选：A.
错因：
没有考虑函数的定义域.
正解：
由可得或，故函数的定义域为.
令，是有，
而在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数同增异减的原则可知：在上单调递减，
即其减区间为.
故选：D基本初等函数单调性小题小全
一.比较大小
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知正数，满足，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．设，，为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
二.分段函数应用求范围
5．已知函数，若函数存在两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若存在实数，满足且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．设函数若存在，且，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设定义域为R的函数，若关于x的方程有3 个不同的实数解x1、x2、x3且x1< x2A． B．1 + a + b = 0
C．x1 + x3 = D．x1 + x3 > 2x2
三.分段函数单调性
9．已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．条件p:f(x)=在R上为增函数. 条件q:g(x)=log2(2ax+1)在[1，2]单调递增.则p是q成立（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分不必要条件
12．已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
四.抽象函数单调性求值
13．已知定义在上的奇函数满足.当时，，则（ ）
A． B． C．2 D．4
14．已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
15．已知是定义域为R的奇函数，若的最小正周期为2，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．1是的一个周期
C． D．
16．已知函数对任意的，总有，若时，，且，则当时，的最大值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
五.含绝对值类函数
17．函数的单调递增区间是（ ）
A． B．∪
C．和 D．
18．若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
19．已知是定义在上的单调函数，若对任意的，都有，且方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．已知函数，则（ ）
A．的最大值为3，最小值为1
B．的最大值为，无最小值
C．的最大值为，最小值为1
D．的最大值为3，最小值为-1
六.复合函数单调性
21．函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
22．已知在上是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
23．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
24．函数 的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
