指数函数值域类小全
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的单调性，结合交集运算，可得答案.
【详解】集合，集合，∴.
故选：D.
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将写成分段函数形式求值域，由指数函数性质求值域分别得到集合A、B，再结合各项判断正误即可.
【详解】，故，而，则，
所以，，即A、B、C错误，D正确.
故选：D
3．下列函数值域为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依次判断各个选项中函数的值域即可.
【详解】对于A，，且，即值域为，A错误；
对于B，，，即值域为，B错误；
对于C，当时，，值域为，C错误；
对于D，，，即值域为，D正确.
故选：D.
4．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出函数的取值集合，再利用指数函数的单调性求解作答.
【详解】函数定义域为R，，又函数在R上单调递减，则，
所以函数的值域为.
故选：A
5．已知函数有零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】转化为与有交点，再根据值域求解即可.
【详解】，
，
函数有零点，
与有交点，
，
即，
故选：C
6．若函数的值域是，则的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，根据的值域是，得到的值域是，再利用二次函数的性质求得a，然后再利用复合函数的单调性求解.
【详解】令
由于的值域是，所以的值域是
因此有，解得
这时，
由于的单调递减区间是，在R上递减；
所以的单调递增区间是
答案：A
【点睛】方法点睛：1、复合函数 的值域的求法：令，则 的值域即原函数的值域；
2、复合函数 的单调性的求法：令，则 ，先求定义域，
若这两个函数的单调性相同，则为增函数，在定义域内的增区间为的增区间，在定义域内的减区间为的减区间；
若这两个函数的单调性相异，则为减函数在定义域内的增区间为的减区间，在定义域内的减区间为的增区间；
7．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用换元法令，的值域等价于求的值域，根据二次函数性质即可得解.
【详解】令，
的值域等价于求的值域，
单调递减，单调递增，
，，
所以.
故选：D
8．已知函数在区间上的最大值为3，则实数的值为（ ）
A．-3或-1 B．-1或 C．1或 D．3或-1
【答案】B
【解析】令，根据的范围，求出的范围，得到，通过讨论的范围，得到关于的方程，解出即可.
【详解】令，，是单调递增函数，，
则，，
当时，，故舍去；
当时，二次函数，对称轴为
当时，二次函数开口向上，在上单减，在上单增，所以，故符合；
当时，二次函数开口向下，在上单增，在上单减，所以；，故符合；
综上：或.
故选：B.
【点睛】方法点睛：本题考查函数求值域问题，常用的方法有：
（1）图像法(针对二次函数和三角函数)
（2）配方法（针对二次函数）
（3）分离常数法 (形如函数，分子分母最高次一致)
（4）换元法（注意换元之后的范围）
9．已知集合，则函数的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
【答案】D
【详解】因为集合，所以，设，则，所以，且对称轴为，所以最小值为，
故选D．
10．函数的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【分析】令将原函数转化为关于的二次函数，即可求最小值.
【详解】令，则，
故原函数化为，
当时，可得最小值为．
故选：D．
11．若函数，则该函数在上是（ ）
A．单调递减无最小值
B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值
D．单调递增有最大值
【答案】A
【分析】根据给定的函数，结合指数函数的单调性及值域确定单调性、最值情况即可判断作答.
【详解】函数的定义域R，因函数在上单调递增，其值域为，
因此函数在上单调递减，则选项C，D都不正确，
又的值域为，显然函数无最小值，B不正确，A正确.
故选：A
12．函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对函数解析化简后，根据指数函数的性质结合不等式的性质求解即可.
【详解】，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，即，
所以的值域为，
故选：C
13．对于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．为奇函数 B．在上分别单调递减
C．的值域为 D．若，则
【答案】C
【分析】利用奇偶性的定义，可判断A；
转化，利用复合函数的单调性，可判断B；
转化，结合的范围，可判断C；
由，结合为奇函数，可判断D
【详解】依题意，由得函数的定义域：，
对于A，，为奇函数，A正确；
对于B，，显然在、都是增函数，于是得在，上分别单调递减，B正确；
对于C，当时，，有，当时，，有，即的值域为，C不正确；
对于D，因，则当时，，D正确.
故选：C
14．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把作为一个整体，求出其范围，再利用基本不等式求解．
【详解】由已知，
当且仅当，即时等号成立，
所以的值域是．
故选：B．
15．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出函数图像，判断函数的单调性，求得函数的最小值，从而得函数的值域.
【详解】由题意，作出函数的图像，如图所示，函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为，所以函数的值域为.
故选：C.
16．若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则可以是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得
【详解】由题意，直线与函数，且的图象有两个公共点，
当时，的图象如图所示，
由已知得，；
当时，的图象如图所示，
由已知可得，
，结合可得无解，
综上可知，的取值范围为，
故选：C
17．若关于x的方程有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，1） B．[1，2） C．[1，+∞） D．（2，+∞）
【答案】B
【分析】等价于有解，求出的取值范围即得解.
【详解】解： 有解等价于有解，
由于，所以，所以
所以，
则实数a的取值范围是[1，2）.
故选：B．
18．已知，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】判断函数的性质，令，转化成关于t的二次函数即可求得的值域.
【详解】函数是R上偶函数，因，即函数在R上单调递增，
而，，令，则，因此，原函数化为：，
显然在上单调递增，则当时，，
所以函数的值域为.
故选：A
19．已知函数，若关于的方程恰有两个不同实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知函数与的图象恰有两个不同的交点，作出函数的图象，数形结合即可求解.
【详解】若关于的方程恰有两个不同实根，
则函数与的图象恰有两个不同的交点，
作出的图象如图：
当时，，所以
当时，，
当时，，
当时，，此时最大值为，
由图知：当或时函数与的图象恰有两个不同的交点，
所以实数的取值范围是，
故选：C.
20．已知函数，则的图象上关于坐标原点对称的点共有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【答案】C
【分析】函数的图象上关于坐标原点对称的点，即为当时，关于原点对称的函数图象，与的图象的交点，画出函数图象，即可求出结果．
【详解】作出函数的图象，如图示，
则的图象上上关于坐标原点对称的点，
即为当时，关于原点对称的函数图象，与的图象的交点，
由图象可知，交点有2个，
所以函数的图象上关于坐标原点对称的点共有2对．
故选：．
21．已知函数，若实数满足，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出函数图象，根据图象先确定，再由函数确定出c的取值范围，
再由确定出，即可求解.
【详解】作出函数的图象，如图，
当时，，
由图可知，，即
得，则，
由，即，得，求得，
∴，
故选：D
22．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据换元法以及反比例函数的单调性即可求解的值域，根据高斯函数的定义即可求解的值域.
【详解】由令则，故为，，
由于在单调递增，故在单调递增，故当时，，
故，进而，
故选：D
23．我们知道比较适合生活的安静环境的声强级（噪音级）为，声强（单位：）与声强级（单位：）的函数关系式为（，为常数）．某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为，声强级为，驶进市区附近降低速度后的声强为，声强级为，若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求，则声强的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用题意得到，解出的值，代回得到，通过单调性可以得到最大值
【详解】由题意可知，解得，，所以，易得当越大时，越大，
所以当时，达到安静环境要求下的取得最大值．
故选：B．
24．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数，则函数y＝[f(x)]的值域为（ ）
A． B．{－1，0，1}
C．{－1，0，1，2} D．{0，1，2}
【答案】B
【分析】利用换元法求得的值域，由高斯函数的定义求得正确答案.
【详解】,
令，令，
二次函数开口向上，对称轴为，，
所以，也即.
所以.
故选：B指数函数值域类小全
一.直接应用
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．下列函数值域为的是（ ）
A． B． C． D．
二.二次函数复合指数型
4．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数有零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数的值域是，则的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
三.指数函数复合二次函数型
7．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数在区间上的最大值为3，则实数的值为（ ）
A．-3或-1 B．-1或 C．1或 D．3或-1
9．已知集合，则函数的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
10．函数的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
四.指数函数分式型
11．若函数，则该函数在上是（ ）
A．单调递减无最小值
B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值
D．单调递增有最大值
12．函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
13．对于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．为奇函数 B．在上分别单调递减
C．的值域为 D．若，则
14．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
五.指数函数绝对值型
15．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
16．若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则可以是（ ）
A．2 B． C． D．
17．若关于x的方程有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，1） B．[1，2） C．[1，+∞） D．（2，+∞）
18．已知，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
六.指数函数分段函数型
19．已知函数，若关于的方程恰有两个不同实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．已知函数，则的图象上关于坐标原点对称的点共有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
21．已知函数，若实数满足，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
七.新定义实际应用型
22．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
23．我们知道比较适合生活的安静环境的声强级（噪音级）为，声强（单位：）与声强级（单位：）的函数关系式为（，为常数）．某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为，声强级为，驶进市区附近降低速度后的声强为，声强级为，若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求，则声强的最大值为（ ）
A． B． C． D．
24．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数，则函数y＝[f(x)]的值域为（ ）
A． B．{－1，0，1}
C．{－1，0，1，2} D．{0，1，2}
