2.2基本不等式 同步练习-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

2.2 基本不等式
同步练习
一、单选题
已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
已知，，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
若，则有( )
A. 最小值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最大值
已知，则的最小值是( )
A. B. C. D.
若，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
用长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是( )
A. B. C. D.
当时，不等式恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题
若，则下列选项成立的是( )
A. B. 若，则
C. 的最小值为 D. 若，则
已知，则下列函数的最小值为的有( )
A. B.
C. D.
已知，，且，则( )
A. B. C. D.
下列四个命题中，所有假命题为( )
A.
B. 设，都是正数，若，则的最小值是
C.
D. 若，则
三、填空题
已知，，，则的最大值为___
已知，，，则的最大值为________．
若正实数，满足，则的最小值等于 ．
已知两个正实数，满足，且恒有，则实数的取值范围 ．
四、解答题
如图，长方形表示一张单位：分米的工艺木板，其四周有边框，中间为薄板．木板上一瑕疵记为点到外边框，的距离分别为分米，分米．现欲经过点锯掉一块三角形废料，其中，分别在，上．设，的长分别为分米，分米．
求证：；
为使剩下木板的面积最大，试确定，的值；
求剩下木板的外边框长度的长度之和的最大值及取得最大值时，的值．
某公司推出一种新型家用轿车，购买时费用为万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第二年为万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加万元．
设该辆轿车使用年的总费用包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费为，求的表达式；
这种汽车使用多少年报废最合算即该车使用多少年，年平均费用最少
新余到吉安相距千米，汽车从新余匀速行驶到吉安，速度不超过，已知汽车每小时的运输成本单位：元由可变部分和固定部分两部分组成：可变部分与速度的平方成正比，比例系数为，固定部分为元，
把全程运输成本元表示为速度的函数；并求出当，时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小；
随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当，，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小．
某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量即该厂的年产量万件与年促销费用万元满足：为常数，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是万件已知年生产该产品的固定投入为万元，每生产万件该产品需要再投入万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍每件产品年平均成本
求的值
将该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数
该厂家促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大
解答下列各题．
若，求的最小值．
若正数，满足，求的最小值．
若正数，满足，求的取值范围．
用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
已知，．
求证：
利用的结论，试求当时，的最小值．
参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：过点分别作，的垂线，垂足分别为，，
，
则与相似，
从而，
所以，
即
欲使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料的面积最小．
由得， ，
当且仅当，即，时，“”成立，
故当，时，剩下木板的面积最大．

欲使剩下木板的外边框长度最大，即要最小．
由知，，
当且仅当即，时，“”成立，
故此时剩下木板的外边框长度的最大值为分米，此时，．
18.解：由题意得：每年的维修费构成一等差数列，
年的维修总费用为万元，
所以 万元；
该辆轿车使用年的年平均费用为：
万元，
当且仅当 时取等号，此时，
答：这种汽车使用年报废最合算．
19.解：由题意知，汽车从新余匀速到吉安所用时间为，
全程成本为，；
当，时，
当且仅当时取等号．
所以汽车应以的速度行驶，能使得全程运输成本最小．
当，时，，
由对勾函数的单调性可知在上单调递减，
所以时，有最小值．
所以汽车应以的速度行驶，才能使得全程运输成本最小．

20.解：由题意知，当时，，
，即
，
每万件产品的销售价格为万元，
利润
万元，
时，，
因为，
，
当且仅当，即万元时，万元．
故该厂家的促销费用投入万元时，厂家的利润最大为万元．

21.解：因为，所以，
因此
，
当且仅当，即时，等号成立．
解：原式
．
当且仅当时取等号
所以最小值为．
解：，
所以，
所以，
所以，
所以当且仅当取等号
所以的取值范围为．

22.解：设矩形菜园的长为，宽为，
则，篱笆的长为．
由，可得，
，当且仅当时等号成立，
即时，．
所以这个矩形的长、宽各为时，所用篱笆最短，最短的篱笆长；
设矩形的长和宽分别为，，，，
，
，
，，
矩形的面积，
当且仅当时，等号成立，
当长和宽都为时，面积最大为．
23.证明，， ，当且仅当时等号成立， 当且仅当时等号成立．
解 由于，可将看作中的，看作中的，根据的结论，则有，当且仅当，即时，等号成立，所求式子的最小值为．