高中数学人教A版（2019）必修一 第四章 第五节 函数的应用

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高中数学人教A版（2019）必修一 第四章 第五节 函数的应用
一、单选题
1．（2022高一上·汕尾期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）毫克/毫升，小于毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到毫克/毫升．如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时的速度减少，则他次日上午最早（　　）点（结果取整数）开车才不构成酒驾．（参考数据：，）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的应用
【解析】【解答】假设经过小时后，驾驶员开车才不构成酒驾，
则，即，，
则，，
次日上午最早点，该驾驶员开车才不构成酒驾.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得不等式，解不等式可求得，由此可得结论.
2．（2022高一上·太原期末）已知若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数k的取值范围是（　　）
A．{-1} B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数的应用；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】作出函数的图象与直线，
观察图象，或时，直线与曲线有两个交点，故实数的取值范围是．
故答案为：D
【分析】根据题意由二次函数和对数函数的图象和性质，即可得出分段函数的图象，利用数形结合法即可得出满足题意的a的取值范围。
二、解答题
3．（2022高一上·南阳期中）网店和实体店各有利弊，两者的结合已成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月的运营发现，投入实体店体验安装的费用（单位：万元）与产品的月销量（单位：万件）（）之间满足：当时，与成正比且比例系数为1；当时，．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，每件产品的进价为64元，且每件产品的售价定为“进价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和．
（1）设该产品的月净利润为（单位：万元），试建立与的函数关系式；
（2）求该产品月净利润的最大值．
【答案】（1）解：因为每件产品的售价为%
所以该产品的月净利润
因为
所以，即
（2）解：当时，单调递增，所以当时，
当时，
因为，，当且仅当，即时，等号成立
所以，即
故该产品月净利润的最大值为77.5万元．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；分段函数的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件建立分段函数 与的函数关系式 。
（2）利用（1）中分段函数的模型结合一次函数的单调性求最值的方法和均值不等式求最值的方法，再结合比较法得出该产品月净利润的最大值。
4．（2022高一上·南阳期中）定义：若存在正数a，b，当时，函数的值域为，则称为“保值函数”．已知是定义在R上的奇函数，当时，．
（1）当时，求的解析式．
（2）试问是否为“保值函数”？说明你的理由．
【答案】（1）解：当时，，
，
因为是定义在R上的奇函数，
所以，即．
（2）解：根据（1）得当时，，
则，，
因为在上是减函数，所以令，
由此得到是方程的两个根，
化简得，即，
即，解得或，
所以存在正数，，当时，的值域为．
故为“保值函数”．
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；奇函数
【解析】【分析】（1）利用 “保值函数” 的定义和奇函数的定义，再结合转化的方法得出当时的函数的解析式。
（2） 根据（1）得出当时的函数的解析式，再利用二次函数的图象求最值的方法，进而得出a的取值范围，再利用函数在上是减函数，令，由此得到是方程的两个根，再结合一元二次方程求解方法得出存在正数，，当时，进而得出函数的值域，从而判断出函数为“保值函数”。
5．（2022高一上·贵阳月考）已知函数是定义域为的偶函数，当时，.
（1）求函数的解析式.
（2）讨论直线与曲线的交点个数.
【答案】（1）解：当时，.所以
又因为为偶函数，所以
所以，函数的解析式为.
（2）解：
画出的图像如上图所示，
当时，二次函数开口向上，对称轴为，取得最小值，
当时，直线与曲线无交点；
当或时，直线与曲线有2个交点；
当时，直线与曲线有3个交点；
当时，直线与曲线有4个交点.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；偶函数；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合偶函数的定义和转化的方法，进而得出分段函数f(x)的解析式。
（2）利用直线方程和分段函数f(x)的解析式画出直线与曲线的图象，再利用分类讨论的方法，从而讨论出直线与曲线的交点个数。
6．（2022高一上·自贡期末）已知函数与.
（1）判断的奇偶性；
（2）若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：∵的定义域为R，
∴，∴为偶函数.
（2）解：函数只有一个零点
即
即方程有且只有一个实根.
令，则方程有且只有一个正根.
①当时，，不合题意；
②当时，若方程有两相等正根，则，且，解得；满足题意
③若方程有一个正根和一个负根，则，即时，满足题意.
∴实数a的取值范围为.
【知识点】函数奇偶性的判断；函数的零点
【解析】【分析】（1）根据奇偶性定义判断；
（2）函数只有一个零点，转化为方程只有一个根，用换元法转化为二次方程只有一个正根（或两个相等正根），再根据二次方程根分布分类讨论可得．
7．（2022高一上·天津市期末）已知函数.
（1）求，的值；
（2）在给定的坐标系中，画出的图像（不必列表）；
（3）若关于的方程恰有3个不相等的实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由解析可得：，
因为，所以.
（2）解：函数的图像如下：
（3）解：方程有3个不相等的实数解等价于函数的图像与的图像有三个交点，
结合（2）中的图像可得的取值范围为.
【知识点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由函数解析式直接代入求解；
（2）根据函数解析式及函数的性质画出图像；
（3）利用数形结合方法可求解.
8．（2022高一上·武汉期末）已知为奇函数，为偶函数，且.
（1）求及的解析式及定义域；
（2）如果函数，若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为是奇函数，是偶函数，
所以，，
∵，①
∴令取代入上式得，
即，②
联立①②可得，，
.
（2）解：，，，可得，
∴，.
设，
∴，，
∵当时，与有两个交点，
要使函数有两个零点，
即使得函数，在有一个零点，（时，只有一个零点）
即方程在内只有一个实根，∵，
令，则使即可，∴或.
∴的取值范围.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合奇函数的定义和偶函数的定义，从而解方程组求出函数 及的解析式，再利用对数型函数的定义域，进而结合交集的运算法则得出函数 及的定义域。
（2）利用 ，结合绝对值不等式求解方法得出x的取值范围，从而可得，，设，所以，，当时，与有两个交点，再利用两函数交点的横坐标与函数的零点的等价关系，则函数有两个零点，从而得出函数，在有一个零点，（时，只有一个零点），再利用函数的零点与方程的根的等价关系，则方程在内只有一个实根，再利用判别式法和，从而利用零点存在性定理得出实数的取值范围 。
9．（2022高一上·台州期末）已知函数为自然对数的底数）.
（1）当时，判断函数的单调性和零点个数，并证明你的结论；
（2）当时，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：函数的定义域为.
当时，函数在上单调递减，证明如下：
任取，且，
∵，∴，
∴，即.
所以函数在上单词递减.
又
∴在区间上存在零点，且为唯一的零点.
∴函数的零点个数为1个
（2）解：可化为.
可化为.
可化为.
令，可知在R单调递增，
所以有，即
令，可知在上单调递增.
即在上单调递增，
，
所以实数a的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再利用已知条件结合减函数的定义，从而判断出函数为减函数，再利用函数的单调性结合零点存在性定理，进而得出函数的零点个数。
（2）将化为，令，再利用增函数的定义，从而判断出函数在R单调递增，进而求出函数的值域，所以，令，再利用增函数的定义，从而判断出函数在上单调递增，即在上单调递增，从而得出函数的最大值，所以
，从而得出实数a的取值范围。
10．（2022高一上·宝安期末）已知奇函数（a为常数）．
（1）求a的值；
（2）若函数有2个零点，求实数k的取值范围；
【答案】（1）解：由是上的奇函数，可得，
所以，解得，经检验满足奇函数，
所以
（2）解：函数有2个零点，
可得方程函数有2个根，即有2个零点，
也即函数与的图象有两个交点，由图象可知
所以实数得取值范围是
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由奇函数，求解即可；
（2） 函数有2个零点， 转化为函数与的图象有两个交点，结合图象即可求解.
11．（2021高一上·定州期末）已知函数，当时，取得最小值．
（1）求a的值；
（2）若函数有4个零点，求t的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，则，故没有最小值．
当时，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
故，即
（2）解：的图象如图所示．
令，则函数在上有2个零点，
得
解得，故t的取值范围为．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法和绝对值的定义，从而画出分段函数f(x)的图象，再利用分段函数的图象判断其的单调性，进而得出分段函数的最小值，从而得出实数a的值。
（2）利用分段函数f(x)的图象，再结合函数的零点与两函数交点的横坐标的等价关系，再结合判别式法和二次函数的对称性以及根与系数的关系，进而求出实数t的取值范围。
12．（2021高一上·湖南月考）已知函数的最大值与最小值分别为3和-1．
（1）求a的取值范围；
（2）设a的最大值为b，，且有两个不同的零点，求c的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可知函数，
令，则，
当求得最小值时，，
又因为，，所以，所以，，
当求得最大值3时，由，可得或，
由二次函数的性质可得，
即，所以，解得，
即的取值范围是，．
（2）解：由（1）可知，
则，
，
令，则，，
则，，，
因为有两个不同的零点，所以在，上有两个不同的实根，
则，
解得，
即的取值范围是，．
【知识点】函数的最值及其几何意义；函数的值；对数的运算性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1)首先整理化简函数的解析式，再令结合二次函数的图象和性质即可求出函数的最值，结合对数函数的单调性即可求出a的取值范围。
(2)根据题意由已知条件即可得出函数的解析式，整理化简结合二次函数的图象和性质由零点的个数与方程根的情况，即可得出关于c的不等式组，求解出c的取值范围即可。
13．（2021高一上·南京月考）已知函数（a为常数，且，aR）.
（1）求证：函数在上是增函数；
（2）当时，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围；
（3）当为偶函数时，若关于x的方程有实数解，求实数m的取值范围.
【答案】（1）证明：任取，，且，
则，
因为，所以，，，
所以，即，
所以在上是增函数.
（2）解：当时，在上单调递增，
所以当时，
，
所以对任意的，都有成立，
转化为恒成立，
即对恒成立，
令，则恒成立，
所以，
由（1）知在上单调递增，
所以，
所以的取值范围是.
（3）解：当为偶函数时，
对xR，都有，
即恒成立，
即恒成立，
所以，解得，
所以，
所以方程，
即有实数解
令（当时取“”），
则
所以方程，
即在上有实数解，
而在上单调递增，
所以.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；基本不等式在最值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】(1)根据题意由函数的单调性的定义，整理化简即可得证出结论。
(2)由a的取值即可得出函数的解析式，再由指数函数的单调性即可得出函数f(x)的单调性，由函数的单调性即可得出不等式，然后由分离参数法即可得出不等式，令整理化简即可得出，结合对勾函数的性质即可求出函数的最值，由此即可得出m的取值范围。
(3)首先由偶函数的定义，整理化简由此计算出a的取值，从而即可得出函数的解析式，结合题意即可得出方程即有实数解，整理化简利用基本不等式即可得到函数的最值，由此即可得出函数的单调性，从而即可得出m的取值范围。
14．（2021高一上·河北月考）已知函数.
（1）当时，求的定义域；
（2）若函数只有一个零点，求的取值范围.
【答案】（1）当时，，
由，即，因为，所以.
故的定义域为.
（2）因为函数只有一个零点，
所以关于的方程①的解集中只有一个元素.
由，
可得，即，
所以②，
当时，，无意义不符合题意，
当，即时，方程②的解为.
由（1）得的定义域为，不在的定义域内，不符合题意.
当是方程①的解，且不是方程①的解时，
解得：，
当是方程①的解，且不是方程①的解时，
解得：且，无解.
综上所述：的取值范围是.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1)根据题意由a的取值即可得出函数的解析式，再由真数大于零即可得到不等式，结合一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，由此即可得出不等式的解集。
(2)由已知条件结合零点与方程之间的关系，整理化简即可得出方程，结合一元二次方程根的情况， 由韦达定理以及方程根的情况即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
15．（2021高一上·潍坊月考）已知定义在上的偶函数和奇函数满足．
（1）求函数和的解析式；
（2）设函数，当时，方程有解且所有解均在区间内，求实数，的取值范围．
【答案】（1）由，可得，
又是偶函数和是奇函数，故，
由，解得，
（2）由（1）得，
由，得，
∴，
由，即，化简得，即，解得，
∴，．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合奇函数和偶函数的定义，所以由，可得 ， 再解方程组求出函数和的解析式。
（2） 由（1）结合 ， 得出函数，由，得出，由，化简得出，再利用指数与对数的互化公式，解得x的取值范围，进而结合已知条件当时，方程有解且所有解均在区间内，从而求出实数，的取值范围。
16．（2021高一上·保定期中）已知幂函数 满足 ．
（1）求a的值；
（2）若关于 的方程 有唯一解，求m的值．
【答案】（1）解：由题意，幂函数 ，可得 ，解得 或 ，
当 时， 满足 ，符合题意；
当 时， 不满足 ，舍去．
综上，实数a的值为 ．
（2）解：由函数 ，因为 ，可得 ，
又由关于x的方程 有唯一解，即 有唯一解，
则 ，解得 ．
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】(1)首先由幂函数的解析式，代入数值计算出a的取值即可。
(2)根据题意整理化简已知条件由此得出关于x的方程 有唯一解 ，然后由一元二次方程根的情况求解出m的取值即可。
17．（2020高一上·晋中期末）已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若函数 有零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：当 时
因为 ，即 ，因为 恒成立，所以 ，即 ，解得 ，即原不等式的解集为
（2）解：因为 有零点，即 有解，
令 ，故 在 上有解，
即 在 上有解，
因为 ， 在 上的值域为
所以
【知识点】二次函数的性质；指数函数的单调性与特殊点；函数的零点
【解析】【分析】（1） 当 时 ，利用二次不等式的解法：因式分解法，得 ，求解可得不等式 的解集；
（2）由 有零点，得 有解，令 ，故 在 上有解，即 在 上有解，利用二次函数的性质即可求出实数 的取值范围。
18．（2020高一上·河南期末）设函数 .
（1）当 时，求 的值域；
（2）若 有且只有一个零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：当 时， ，
令 ， ， .
当 时， ，
所以 的值域为 .
即 的值域为
（2）解：因为 ，
设 ，则 有且只有一个零点等价于方程 有且只有一个正实根.
①若 有一根为0时，则 ，即 ，
则 ，所以 ，不合题意，舍去；
②若 有一正实根和一负实根时，则 ，即 ；
③若 有两相等正实根时，则 ，无解.
综上，实数 的取值范围是 .
【知识点】函数的值域；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用m的值求出函数的解析式，再利用换元法将函数转化为二次函数，再利用二次函数的图象求最值的方法，进而求出函数f(x)的值域。
（2）利用 ，设 ，再利用函数的零点与方程的根的等价关系，则 有且只有一个零点等价于方程 有且只有一个正实根，再利用分类讨论的方法结合韦达定理和判别式法，从而求出实数 的取值范围 。
19．（2021高一上·桂林月考）已知函数 是偶函数．
（1）求实数 的值；
（2）设 ，若 最多有一个实数解，求实数 的取值范围．
【答案】（1）解：∵ 是偶函数，
∴ ，即 恒成立，
故 恒成立，又 ，
∴ 在 上恒成立，即
（2）解：由（1）知： ，
令 ，则 ，
又 ，
∴ ，即 ，
∴ ，故 在 上递增，由偶函数知：在 上递减，
∴ ，要使 最多有一个实数解，则 .
∴实数 的取值范围为
【知识点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】(1)根据题意由偶函数的定义结合对数的运算性质整理即可得出 在 上恒成立 ，由此即可求出k的取值。
(2)由(1)的结论即可得出函数的解析式，然后由单调性的定义即可得出函数f(x)的单调性，由函数单调性的定义即可得出不等式，从而得出 要使 最多有一个实数解 ，m的取值范围。
20．（2022高一上·丽水期末）已知函数．
（1）求函数的零点；
（2）若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：，
，，
函数的零点为8；
（2）解：设，则，
原方程等价于，即，
由题意可知：，
解得：，或，
的取值范围是.
【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；函数的零点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数求零点的方法，进而得出函数的零点 。
（2） 设，则，原方程等价于，再利用判别式法和韦达定理得出实数m的取值范围。
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高中数学人教A版（2019）必修一 第四章 第五节 函数的应用
一、单选题
1．（2022高一上·汕尾期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）毫克/毫升，小于毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到毫克/毫升．如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时的速度减少，则他次日上午最早（　　）点（结果取整数）开车才不构成酒驾．（参考数据：，）
A． B． C． D．
2．（2022高一上·太原期末）已知若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数k的取值范围是（　　）
A．{-1} B．
C． D．
二、解答题
3．（2022高一上·南阳期中）网店和实体店各有利弊，两者的结合已成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月的运营发现，投入实体店体验安装的费用（单位：万元）与产品的月销量（单位：万件）（）之间满足：当时，与成正比且比例系数为1；当时，．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，每件产品的进价为64元，且每件产品的售价定为“进价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和．
（1）设该产品的月净利润为（单位：万元），试建立与的函数关系式；
（2）求该产品月净利润的最大值．
4．（2022高一上·南阳期中）定义：若存在正数a，b，当时，函数的值域为，则称为“保值函数”．已知是定义在R上的奇函数，当时，．
（1）当时，求的解析式．
（2）试问是否为“保值函数”？说明你的理由．
5．（2022高一上·贵阳月考）已知函数是定义域为的偶函数，当时，.
（1）求函数的解析式.
（2）讨论直线与曲线的交点个数.
6．（2022高一上·自贡期末）已知函数与.
（1）判断的奇偶性；
（2）若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围.
7．（2022高一上·天津市期末）已知函数.
（1）求，的值；
（2）在给定的坐标系中，画出的图像（不必列表）；
（3）若关于的方程恰有3个不相等的实数解，求实数的取值范围.
8．（2022高一上·武汉期末）已知为奇函数，为偶函数，且.
（1）求及的解析式及定义域；
（2）如果函数，若函数有两个零点，求实数的取值范围.
9．（2022高一上·台州期末）已知函数为自然对数的底数）.
（1）当时，判断函数的单调性和零点个数，并证明你的结论；
（2）当时，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.
10．（2022高一上·宝安期末）已知奇函数（a为常数）．
（1）求a的值；
（2）若函数有2个零点，求实数k的取值范围；
11．（2021高一上·定州期末）已知函数，当时，取得最小值．
（1）求a的值；
（2）若函数有4个零点，求t的取值范围．
12．（2021高一上·湖南月考）已知函数的最大值与最小值分别为3和-1．
（1）求a的取值范围；
（2）设a的最大值为b，，且有两个不同的零点，求c的取值范围．
13．（2021高一上·南京月考）已知函数（a为常数，且，aR）.
（1）求证：函数在上是增函数；
（2）当时，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围；
（3）当为偶函数时，若关于x的方程有实数解，求实数m的取值范围.
14．（2021高一上·河北月考）已知函数.
（1）当时，求的定义域；
（2）若函数只有一个零点，求的取值范围.
15．（2021高一上·潍坊月考）已知定义在上的偶函数和奇函数满足．
（1）求函数和的解析式；
（2）设函数，当时，方程有解且所有解均在区间内，求实数，的取值范围．
16．（2021高一上·保定期中）已知幂函数 满足 ．
（1）求a的值；
（2）若关于 的方程 有唯一解，求m的值．
17．（2020高一上·晋中期末）已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若函数 有零点，求实数 的取值范围.
18．（2020高一上·河南期末）设函数 .
（1）当 时，求 的值域；
（2）若 有且只有一个零点，求实数 的取值范围.
19．（2021高一上·桂林月考）已知函数 是偶函数．
（1）求实数 的值；
（2）设 ，若 最多有一个实数解，求实数 的取值范围．
20．（2022高一上·丽水期末）已知函数．
（1）求函数的零点；
（2）若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】函数的应用
【解析】【解答】假设经过小时后，驾驶员开车才不构成酒驾，
则，即，，
则，，
次日上午最早点，该驾驶员开车才不构成酒驾.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得不等式，解不等式可求得，由此可得结论.
2．【答案】D
【知识点】分段函数的应用；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】作出函数的图象与直线，
观察图象，或时，直线与曲线有两个交点，故实数的取值范围是．
故答案为：D
【分析】根据题意由二次函数和对数函数的图象和性质，即可得出分段函数的图象，利用数形结合法即可得出满足题意的a的取值范围。
3．【答案】（1）解：因为每件产品的售价为%
所以该产品的月净利润
因为
所以，即
（2）解：当时，单调递增，所以当时，
当时，
因为，，当且仅当，即时，等号成立
所以，即
故该产品月净利润的最大值为77.5万元．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；分段函数的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件建立分段函数 与的函数关系式 。
（2）利用（1）中分段函数的模型结合一次函数的单调性求最值的方法和均值不等式求最值的方法，再结合比较法得出该产品月净利润的最大值。
4．【答案】（1）解：当时，，
，
因为是定义在R上的奇函数，
所以，即．
（2）解：根据（1）得当时，，
则，，
因为在上是减函数，所以令，
由此得到是方程的两个根，
化简得，即，
即，解得或，
所以存在正数，，当时，的值域为．
故为“保值函数”．
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；奇函数
【解析】【分析】（1）利用 “保值函数” 的定义和奇函数的定义，再结合转化的方法得出当时的函数的解析式。
（2） 根据（1）得出当时的函数的解析式，再利用二次函数的图象求最值的方法，进而得出a的取值范围，再利用函数在上是减函数，令，由此得到是方程的两个根，再结合一元二次方程求解方法得出存在正数，，当时，进而得出函数的值域，从而判断出函数为“保值函数”。
5．【答案】（1）解：当时，.所以
又因为为偶函数，所以
所以，函数的解析式为.
（2）解：
画出的图像如上图所示，
当时，二次函数开口向上，对称轴为，取得最小值，
当时，直线与曲线无交点；
当或时，直线与曲线有2个交点；
当时，直线与曲线有3个交点；
当时，直线与曲线有4个交点.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；偶函数；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合偶函数的定义和转化的方法，进而得出分段函数f(x)的解析式。
（2）利用直线方程和分段函数f(x)的解析式画出直线与曲线的图象，再利用分类讨论的方法，从而讨论出直线与曲线的交点个数。
6．【答案】（1）解：∵的定义域为R，
∴，∴为偶函数.
（2）解：函数只有一个零点
即
即方程有且只有一个实根.
令，则方程有且只有一个正根.
①当时，，不合题意；
②当时，若方程有两相等正根，则，且，解得；满足题意
③若方程有一个正根和一个负根，则，即时，满足题意.
∴实数a的取值范围为.
【知识点】函数奇偶性的判断；函数的零点
【解析】【分析】（1）根据奇偶性定义判断；
（2）函数只有一个零点，转化为方程只有一个根，用换元法转化为二次方程只有一个正根（或两个相等正根），再根据二次方程根分布分类讨论可得．
7．【答案】（1）解：由解析可得：，
因为，所以.
（2）解：函数的图像如下：
（3）解：方程有3个不相等的实数解等价于函数的图像与的图像有三个交点，
结合（2）中的图像可得的取值范围为.
【知识点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由函数解析式直接代入求解；
（2）根据函数解析式及函数的性质画出图像；
（3）利用数形结合方法可求解.
8．【答案】（1）解：因为是奇函数，是偶函数，
所以，，
∵，①
∴令取代入上式得，
即，②
联立①②可得，，
.
（2）解：，，，可得，
∴，.
设，
∴，，
∵当时，与有两个交点，
要使函数有两个零点，
即使得函数，在有一个零点，（时，只有一个零点）
即方程在内只有一个实根，∵，
令，则使即可，∴或.
∴的取值范围.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合奇函数的定义和偶函数的定义，从而解方程组求出函数 及的解析式，再利用对数型函数的定义域，进而结合交集的运算法则得出函数 及的定义域。
（2）利用 ，结合绝对值不等式求解方法得出x的取值范围，从而可得，，设，所以，，当时，与有两个交点，再利用两函数交点的横坐标与函数的零点的等价关系，则函数有两个零点，从而得出函数，在有一个零点，（时，只有一个零点），再利用函数的零点与方程的根的等价关系，则方程在内只有一个实根，再利用判别式法和，从而利用零点存在性定理得出实数的取值范围 。
9．【答案】（1）解：函数的定义域为.
当时，函数在上单调递减，证明如下：
任取，且，
∵，∴，
∴，即.
所以函数在上单词递减.
又
∴在区间上存在零点，且为唯一的零点.
∴函数的零点个数为1个
（2）解：可化为.
可化为.
可化为.
令，可知在R单调递增，
所以有，即
令，可知在上单调递增.
即在上单调递增，
，
所以实数a的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再利用已知条件结合减函数的定义，从而判断出函数为减函数，再利用函数的单调性结合零点存在性定理，进而得出函数的零点个数。
（2）将化为，令，再利用增函数的定义，从而判断出函数在R单调递增，进而求出函数的值域，所以，令，再利用增函数的定义，从而判断出函数在上单调递增，即在上单调递增，从而得出函数的最大值，所以
，从而得出实数a的取值范围。
10．【答案】（1）解：由是上的奇函数，可得，
所以，解得，经检验满足奇函数，
所以
（2）解：函数有2个零点，
可得方程函数有2个根，即有2个零点，
也即函数与的图象有两个交点，由图象可知
所以实数得取值范围是
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由奇函数，求解即可；
（2） 函数有2个零点， 转化为函数与的图象有两个交点，结合图象即可求解.
11．【答案】（1）解：当时，，则，故没有最小值．
当时，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
故，即
（2）解：的图象如图所示．
令，则函数在上有2个零点，
得
解得，故t的取值范围为．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法和绝对值的定义，从而画出分段函数f(x)的图象，再利用分段函数的图象判断其的单调性，进而得出分段函数的最小值，从而得出实数a的值。
（2）利用分段函数f(x)的图象，再结合函数的零点与两函数交点的横坐标的等价关系，再结合判别式法和二次函数的对称性以及根与系数的关系，进而求出实数t的取值范围。
12．【答案】（1）解：由题意可知函数，
令，则，
当求得最小值时，，
又因为，，所以，所以，，
当求得最大值3时，由，可得或，
由二次函数的性质可得，
即，所以，解得，
即的取值范围是，．
（2）解：由（1）可知，
则，
，
令，则，，
则，，，
因为有两个不同的零点，所以在，上有两个不同的实根，
则，
解得，
即的取值范围是，．
【知识点】函数的最值及其几何意义；函数的值；对数的运算性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1)首先整理化简函数的解析式，再令结合二次函数的图象和性质即可求出函数的最值，结合对数函数的单调性即可求出a的取值范围。
(2)根据题意由已知条件即可得出函数的解析式，整理化简结合二次函数的图象和性质由零点的个数与方程根的情况，即可得出关于c的不等式组，求解出c的取值范围即可。
13．【答案】（1）证明：任取，，且，
则，
因为，所以，，，
所以，即，
所以在上是增函数.
（2）解：当时，在上单调递增，
所以当时，
，
所以对任意的，都有成立，
转化为恒成立，
即对恒成立，
令，则恒成立，
所以，
由（1）知在上单调递增，
所以，
所以的取值范围是.
（3）解：当为偶函数时，
对xR，都有，
即恒成立，
即恒成立，
所以，解得，
所以，
所以方程，
即有实数解
令（当时取“”），
则
所以方程，
即在上有实数解，
而在上单调递增，
所以.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；基本不等式在最值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】(1)根据题意由函数的单调性的定义，整理化简即可得证出结论。
(2)由a的取值即可得出函数的解析式，再由指数函数的单调性即可得出函数f(x)的单调性，由函数的单调性即可得出不等式，然后由分离参数法即可得出不等式，令整理化简即可得出，结合对勾函数的性质即可求出函数的最值，由此即可得出m的取值范围。
(3)首先由偶函数的定义，整理化简由此计算出a的取值，从而即可得出函数的解析式，结合题意即可得出方程即有实数解，整理化简利用基本不等式即可得到函数的最值，由此即可得出函数的单调性，从而即可得出m的取值范围。
14．【答案】（1）当时，，
由，即，因为，所以.
故的定义域为.
（2）因为函数只有一个零点，
所以关于的方程①的解集中只有一个元素.
由，
可得，即，
所以②，
当时，，无意义不符合题意，
当，即时，方程②的解为.
由（1）得的定义域为，不在的定义域内，不符合题意.
当是方程①的解，且不是方程①的解时，
解得：，
当是方程①的解，且不是方程①的解时，
解得：且，无解.
综上所述：的取值范围是.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1)根据题意由a的取值即可得出函数的解析式，再由真数大于零即可得到不等式，结合一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，由此即可得出不等式的解集。
(2)由已知条件结合零点与方程之间的关系，整理化简即可得出方程，结合一元二次方程根的情况， 由韦达定理以及方程根的情况即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
15．【答案】（1）由，可得，
又是偶函数和是奇函数，故，
由，解得，
（2）由（1）得，
由，得，
∴，
由，即，化简得，即，解得，
∴，．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合奇函数和偶函数的定义，所以由，可得 ， 再解方程组求出函数和的解析式。
（2） 由（1）结合 ， 得出函数，由，得出，由，化简得出，再利用指数与对数的互化公式，解得x的取值范围，进而结合已知条件当时，方程有解且所有解均在区间内，从而求出实数，的取值范围。
16．【答案】（1）解：由题意，幂函数 ，可得 ，解得 或 ，
当 时， 满足 ，符合题意；
当 时， 不满足 ，舍去．
综上，实数a的值为 ．
（2）解：由函数 ，因为 ，可得 ，
又由关于x的方程 有唯一解，即 有唯一解，
则 ，解得 ．
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】(1)首先由幂函数的解析式，代入数值计算出a的取值即可。
(2)根据题意整理化简已知条件由此得出关于x的方程 有唯一解 ，然后由一元二次方程根的情况求解出m的取值即可。
17．【答案】（1）解：当 时
因为 ，即 ，因为 恒成立，所以 ，即 ，解得 ，即原不等式的解集为
（2）解：因为 有零点，即 有解，
令 ，故 在 上有解，
即 在 上有解，
因为 ， 在 上的值域为
所以
【知识点】二次函数的性质；指数函数的单调性与特殊点；函数的零点
【解析】【分析】（1） 当 时 ，利用二次不等式的解法：因式分解法，得 ，求解可得不等式 的解集；
（2）由 有零点，得 有解，令 ，故 在 上有解，即 在 上有解，利用二次函数的性质即可求出实数 的取值范围。
18．【答案】（1）解：当 时， ，
令 ， ， .
当 时， ，
所以 的值域为 .
即 的值域为
（2）解：因为 ，
设 ，则 有且只有一个零点等价于方程 有且只有一个正实根.
①若 有一根为0时，则 ，即 ，
则 ，所以 ，不合题意，舍去；
②若 有一正实根和一负实根时，则 ，即 ；
③若 有两相等正实根时，则 ，无解.
综上，实数 的取值范围是 .
【知识点】函数的值域；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用m的值求出函数的解析式，再利用换元法将函数转化为二次函数，再利用二次函数的图象求最值的方法，进而求出函数f(x)的值域。
（2）利用 ，设 ，再利用函数的零点与方程的根的等价关系，则 有且只有一个零点等价于方程 有且只有一个正实根，再利用分类讨论的方法结合韦达定理和判别式法，从而求出实数 的取值范围 。
19．【答案】（1）解：∵ 是偶函数，
∴ ，即 恒成立，
故 恒成立，又 ，
∴ 在 上恒成立，即
（2）解：由（1）知： ，
令 ，则 ，
又 ，
∴ ，即 ，
∴ ，故 在 上递增，由偶函数知：在 上递减，
∴ ，要使 最多有一个实数解，则 .
∴实数 的取值范围为
【知识点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】(1)根据题意由偶函数的定义结合对数的运算性质整理即可得出 在 上恒成立 ，由此即可求出k的取值。
(2)由(1)的结论即可得出函数的解析式，然后由单调性的定义即可得出函数f(x)的单调性，由函数单调性的定义即可得出不等式，从而得出 要使 最多有一个实数解 ，m的取值范围。
20．【答案】（1）解：，
，，
函数的零点为8；
（2）解：设，则，
原方程等价于，即，
由题意可知：，
解得：，或，
的取值范围是.
【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系；函数的零点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数求零点的方法，进而得出函数的零点 。
（2） 设，则，原方程等价于，再利用判别式法和韦达定理得出实数m的取值范围。
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