25.3用频率估计概率
课前预习
次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左
预习新知
1.对于一般的随机事件，在同样条件下做大量重
右，则袋子中红球的个数最有可能是()
复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出
A.5
B.10
C.12
D.15
2.(宜昌)技术变革带来产品质量的提升.某企业
现的
总在一个
数的附近摆
动，显示出一定的稳定性。
技术变革后，抽检某一产品2020件，欣喜发
2.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生
现产品合格的频率已达到0.9911，依此我们
可以估计该产品合格的概率为
(结果
的频率”会稳定在某个常数p附近，那么事件
要求保留两位小数)
3.(扬州)大数据分析技术为打赢疫
A发生的概率P(A)
-m
7礼
情防控阻击战发挥了重要作用.
当堂训练
巩回基础
如图是小明同学的健康码（绿码）
知识点1，频率与概率的关系
示意图，用黑白打印机打印于边
1.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是
长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑
色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，
(
经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频
A.频率等于概率
率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的
B.当试验次数很大时，频率稳定在概率附近
总面积约为
C.当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
cm2
4.抛掷六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6的骰
D.试验得到的频率与概率不可能相同
子，如果试验次数增多，出现数字“1”的频率的
2.在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没
变化趋势是
有硬币，那么不可以用来做替代物的是()
超越自我
A.两张扑克牌，“黑桃”代表正面，“红桃”代表
“反面”
5.(广州)4件同型号的产品中，有1件不合格品
B.一枚图钉
和3件合格品.
C.两个形状、大小完全相同，但一红一白的乒
(1)从这4件产品中随机抽取1件进行检测，
乓球
求抽到的是不合格品的概率；
D.一枚均匀的骰子，“偶数点”代表正面，“奇
(2)从这4件产品中随机抽取2件进行检测，
数点”代表反面
求抽到的都是合格品的概率；
知识点2用频率估计概率
(3)在这4件产品中加入x件合格品后，进行
如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放
3.(营口)某射击运动员在同一条件下的射击成
绩记录（仅记录“射中九环以上”）如下：
回，多次重复这个试验，通过大量重复试验
后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，
射击次数
501002004001000
次数
4582168327
823
则可以推算出x的值大约是多少？
频率
0.900.820.840.820.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次
时“射中九环以上”的概率约是
()
A.0.90
B.0.82
C.0.84
D.0.85
课后作业
全面规升
1.(徐州)在一个不透明的袋子里装有红球、黄球
共20个，这些球除颜色外都相同.小明通过多
90MN.∠CBN=45.∴.∠OBC=45,∠BCE=45.OL
共有9种可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有3种
滚动训练（一）一元二次方程及其解法
(2)抛物线解析式为=一2一x十=-〔(十1)+2，将抛物线
-OC.∴./OBC-/OCB一45"，./OCE-90.又
∴P(他与小红爸爸在同一组)-了一8，解：(1)田忌的马按下，上、
1.D2.D3.C4.C5.A6.B7.A8.D9.-110.202111.2
C在o0.·.CE是O0的切
2)解，OBBE
右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，解析式变为y=一三
CE⊥BE,OC⊥CE∴四边形BOCE是矩形.又：OB
中的顺序出阵.田忌才雀取胜.《2)当田忌的马随机出阵时.双方马的对库
12.4>-号且4≠013.414.-115，(1)解：
-5-3
OC,四边形BOCE是正方形.∴BE=CE=OB=OC=r.在R1△CDE中，
情况有6种，如下表所示
17,解：1)m=3,图略.(2)①.1=一1，王=3.②当r<-1或>3时。
:∠ADB=30°，CE=r,DE=r.BD=2+23,r+5r=2+2W3
齐王上中下上中下上中下上中下上中下上中下
(2)解：1=-8，：=一.(3)解：=2十5，=2-√
y<0.18.解：(1)抛物线的对称轴是y抽，顶点C的坐标是(0,2).〔2)当
解得r=2.脚⊙O的半径为2.10.(1》证明：连接OD.证
田忌上中下上下中中上下中下上下上中下中上
(4)解x,=6,x=一8.16.解，(1)当m=3时，△=b一4ac=22一4×
y-0时，-x2+2-0,解得1--2-2.由已知.得A(20),B(-2
△ODC≌△OBC,得∠OBC-∠0DC-90,得CB是⊙0的
只有一种对阵情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率P=。.
3=一8<0，∴原方程无实数根.(2)当m=一3时，原方程为x+2x一3
0).不难判断AOAC是等能直角三角形，若存在一点M.使AMAC2
切线，〔2)解：由(1)得∠BC=∠DC,证∠DCB十∠DOB
0∴(x+1)=4.1-1,=-3.17.解：原式=(-10÷24
△OAC则：AC为公共边，0A=OC,点M与点0关于直线AC轴对称
180°.得/D0B=120°..，/D0C=∠B0℃=60°.证等边
第2课时用树状图法求概率
r十
课前预习：2，面树状图法
印四边形OAMC是正方形，“点M的坐标是(2,2).又当x=2时，y=
△ODF得DF∥AB,∴.S=Sa
,=0=子
(-1),+1
=--1.由x+3x+2=0,得1=-1，=-2.当
当蜜训练：1，D2.C3.D4,5,解：画树状图得
十2--令×2+2-0≠2，即点M不在物线y--令+2上
第二十五章概率初步
x=一1时，x+1=0,原式无意义，所以1=一1，舍去：当x=一2时，原式=1，
玩安
彩杂
型
18.解：(1)根据题意得4=（一2）2一4（一k一2）>0，解得>一3。(2)取k=一2
在抛物线上不存在点M,使△MAC≌△OAC.19.解
25.1随机事件与概率
〔1》对敌轴为直线x一一1，是一一4.《2)如图。：两点之间
方程变形为x2一2x=0,解得x=0,x=2.19.（1)证明：.(x+2)(.x一m)
线段最短，当P点在线段AC上就可使PA十PC的值最
25.1.1随机事件
六共有9种可能性纺果，北中两人分到同一社团的有3种.∴P=善
1,∴.x+(2一m).x一2m一1=0.△=〔2一m)十4《2m十1》=(m十2》十4>0
小.又：P点要在对称袖上，P点应为线段AC与对称轴直
课前预习：1.随机事件2，必然事件不可能事件确定性事件
总右两个不相等的实数根(2》解：当x一一1时，一1一四一1.一一2
当数训练：1.B2.B3,D4,解：(1)三种可能：红色区城黑色区城黄色
课后作业：1.D2.A3.4.5.。
原方程为2十4.x十3=0.(x十1)(x十3)=0.1=-1，=-3.
线r
1的交点，由(1)可知，抛物线的鳏析式为y=(x十1y
4=x2+2x一3.今v=0.则2+2x一3=0，解得x=一3.x,=1..点A.B的坐标
区城。〔2)》黄色区减可能性最大：照色区城可能性最小，
6.解：(1)西树状图如图，三次传球有8种等可能结果，其中
20.解：(1》AABC是等三角形.理由如下：把x=一1代入方程.得g+
分别是A(-3,D),B(1.0),设直线4C的解析式为y-十b,则
果后作业，1.B2.B3.C4.解.随机事件，《1》《2)：不可能事件，《3)《5)
传回甲手中的有2种.“P(传球三次回到甲手中)=号
26十--0，即4-6，△ABC为等三角形.(2)△ABC为直角三角形
必然事件：(4)
理由如下，，方程有两个相等的实数根，，，△=(2b)2一4(a+c》〔a一r》=0.
一3+b=0·解得
16=-3,
=-1:直线AC的解析式为y=--3.当=-
5
25.1.2概率
(2)由(1)可知：从甲开始传球，传球三次后球传到甲
十-.△ABC为直角三角形.(3)：△ABC为等边三角形
时，v=一（一1）一3=一2，，.此时点P的坐标为《一1，一2)，(3)依题意得
,a=b=r.,,方程化为x十x=0,解得x,=D,x,=一1.
课前预习：l.率m2.100
手中的概率为，球传到乙丙手中的概率均为。“
当点M运动到抛物线的顶点时，△AMB的面积最大.：抛物线解析式为y
滚动训练（二）实际问题与一元二次方程
〔x十1)2一4抛物线的顶点坐标为（一1，一4），“点M的坐标为（一1.
当训练：1，D2.B3.3004.解：1)、(2)，(3)
次传球后球回到乙手中的概率最大值为，乙会让球开始时在甲手中或
1.A2.B3.A4.B5.B6.A7.B8.A9.5(1+x)2=7.2
-4),即MD=4,△AMB的最大面积为方AB·MD=交×(3+1)×
课后作业：1.C2.3.94)(2)5.解：1100×三=30（个）
丙手中
10.(10+x)(500-20)-600011.512.5.7,913.3或614.0.4
25.3用频率估计概率
15.解：设这个小组有x人，由题意，得x(x一1)=30，解得x=6,x=一5〔含
1-月
(2)设白球有x个，黄球有(2x-5)个，十(2r-5)-100-30,x=25
课前须习：1.期率固定2.少
去).答：这个小组共有学生6人16.解：设十位上的数字为x,则个位上的
滚动训练（四）实际问题与二次函数
PC白)=.3P(红)=
当训练：1.B2.B3.B
数字为(x十2).根据题意，得3x〔x十2)一10x十《x十2).整理，得3x2一5x
1.D2.A3.A4.B5,C6.C7.D8C9.1010.60011.8x
25.2用列举法求概率
课后作业：1.A2.0.993.2.4.接近于5解：(1)P(不合格品)-
2=0,解得1=2，=一（不合题意，舍去.当x=2时，x十2=4.答
1)212.313.不会14.4意设二次函数的解析式为y一，AB,CD交y轴于
第1课时用列表法求概率
〔2)P〔抽到的是合格品)=
(3)由题意得十=0,95，解得
个两位数是24.17.解：设茶同垂直于墙的一边长为xm,则另一边的长度
课前预习：山.有限个相等
x=16
为(69+1一2x)m,根搭题意，得x(69+1一2.x)=600,解得=15，
放E,RAB=20.CD=10BE=10,Dp=5.设B
当堂训练l.A2.号3.是4.D5.A6.C7.C8.9.
20,当x-15时，70-2x-40>35,不符合意去当x-20时.70-2x-30,
10,b),则D(5,b+3),把B(10,b),D(5,b+3)代人y=2,得
第二十五章
整合与提高
符合题意.答，这个紫园的长和宽分别为30m.20m.18.解，(1)1.5×4=6
6-1004,
10.11.解：1》列表如下：
解得
考点专训：1.D2.C3.A4.B5,C6.7.是8，解：(1)习
(万座).答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座，(2)设202
h+3=25a
y=-5t.(2)由1)得D(5,-1D,0F
=一4
第1次
c
〔2)用列表法表示所有可能出现的结果情况如下，
年底到2D22年底.全省5G基站数量的年平均增长率为x,根据题意，得
1,1÷0,2一5(h.答：再特续5h洪水就会到达桥顶
第2次
A
B
D
第1次
6(1+x)2=17.34,解得石1=0.7=70%，=
-2.7(舍去.答：2020年底到
16,解：(1)y=(80一6D十x)(300一10x)=一10.x2十100.x十6000.
-1
(A,A)(B,A》《C,A》(D,A
第2次
2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%，19.解：《1)设每次
(2y=-10.2+100x+6000=-10(x-5)2+6250a=-10<0,当x=5
B
tA.B》AB.B)(C.B)
(D.B
-1
-1,-1《2,-1)(5,-1)(8,-1)
下降的百分率为x,则50(1-x)=32，解得石=0.2，=1,8（舍去），每
A.3H.1.
1.
2
(-1.2)(2,2)(5.2)(8,2)
次下降的百分率为20%.(2)设每千克应求价y元，则6000=(10十)(500
时大=6250元。17.解：1y=-子2+3x+1=-是(x-吾)+
(A.D)(B.D)(C.D)(D.D)
(-1.5)2.55.5)8.5)
20为-5，一10（舍去）.每千克应涨
8
(-1,8)(2,8)(5,8)(8,8)
由表可知，所有结果共有16个。
5元.20.解，作PE⊥CD于E,如图①②所示.
江
只，”一号<0清员弹跳离地面的最大高度是识m(2)当=4时。
共有16种可能出现的结果，其中“两数差的绝对值大于3”的有6种
设xs后点P和点Q的距离是10cm,则PE
y=一三×4+3×4十1=3.4，这次表演成功.18.解：1)4B=xm侧
课后作业l.c2,C8C4.号5
22
6,解：所有结果列表如下：
.P(差的绝对值大于3)一
6=.9.D10.17
6m,如图①，EQ=CD一CQ一DE=CD一CQ
C=(28-)m,x(28一x)=192,解得石1=12，d=16.当花园的面积为
=1
优生特训：1，C2.D3.C4.B5,C6,号7，了8，习
PA=16-2x-3x=(16-5cam,0≤x.根据题意，得(16-5x)+6
192m3时，x的值为12或16m.〔2》由题意可知S一x(28一x)一一x2
28x=-(x-14)+196,:在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m
(=3.=11=3.1)(=3.2)
102.解得x=1.6,x=4.8(会去).如图②.EQ=CQ一CE=CQ一BP=2x-
和6m.28一15=13.，x的取值范围是6x≤13，y随x的增大而增大
-1,1)
(-12)
.解，1)摸出小球上的数字是无理数的概率=号
〔2》面树状图如下：
(16-3x)=(5x-16)m,≤5，依题意，得(5x-16)+6=102.解
当x13m时.5大=一(13-14)+196=195.花园m积S的最大值为
(1,-3)《1,-1)
1,2)
(2.-3)(2.-1)2.1)
得1=1.6（去），=4.8.综上，x=1.6成4.8
1951m.19.解：(1)-分25〔2)第x天的销售量为20+4(x-1)
由表可知，共有12种等可能的结果数，其中所取两点之距离为2的结果有
”
滚动训练（三）二次函数的图象和性质
4种心所取两点之间距商为2的概率为是=子、7.解：1)子
分四E5压F5
4x+16,当1≤x≤20时.W-(4x+16)(-2x+38-18）=-2x2+
(2)用
可知：共有9种等可能的结果，其中两个数字的乘积为有理数的有3种
1.D2.D3.B4.C5,C6.B7,D8.D9.直线x=110,k≤4
72x+320
-2(x-18)十968，当x=18时，Wa=968:当20≤x630时
列表法表示所有可能出现的结果如下：
1.(1.-2)-112-2<113.4≤214.2415.第：10y--+2
“网次摸出的小球所标数字乘积是有理数的概率为号=
W=(4.x十16)(25-18)=28x+112.:28>0,W随x的增大而增大..当x=30
小红爸爸
A
B
3。〔2)(1.4.16.解：(1)把1.0)，（0，号）代人地物线解析式.得
时.W=952.968>952，当x=18时，W大=968，即第18天时当天的
于老师
10,解：(1)。(2)用画树状图法表示所有可能出现的结果如下：（略
利润最大，最大利润为968元.
AA BA CA
AB BB
共有12种可能出现的结果，其中选择“化学”“生物”的有2种
b-1
解得
=号
则慰物线解析式为y=一子一x十号
滚动训练（五）旋转
AC
BC
cc
P(化学，生物)==
c=
1.D2.A3.C4.D5.B6.A7.C8.B9.210.90°11.65
九年级数学·RJ·上册·126