23.2中心对称
23.2.1
中心对称
课前预习
预习新知
课后作业
全面捉升
1.把一个图形绕着某一点旋转
,如果它能
1.如图，数轴上A,B两点表示的数分别为一1和
够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于
√3，点B关于点A的对称点为C,则点C所表
这个点
或
,这个点叫做
示的数为
()
18一
2.中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称
A.-2-√3
B.-1-√3
点所连线段都经过
,而且被
D.1+√3
所平分.
C.-2+√3
2.如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=
当堂训练
巩固基础
1,将△ABC绕顶点A旋转180°，点C落在点
知识点1中心对称
C'处，则CC的长为
()
1.下列4组图形中，右边的图形与左边的图形成
A.4√2
B.4
C.2V3
D.2√5
中心对称的一组是
t.v
3E25
F
A
B
D
:...2545
知识点2中心对称的性质
2.如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对
(3日B
1,
称，下列说法不正确的是
(
(第2题图)
(第3题图)
A.S△ABC=S△A'B'C
3.如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与
B.AB=A'B',AC=A'C',BC=B'C'
△ABC关于E点成中心对称，则对称中心
C.AB∥A'B',AC∥A'C',BC∥B'C
E点的坐标是
D.S△AB0=S△A'B'c
超越自我
4.如图，在△ABC中，∠A=90°，D为BC的中
t.
点，DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于
点F,试探究线段BE,EF,FC之间的数量
(第2题图)
(第3题图)
关系.
3.如图，△ABC与△A'B'C'成中心对称，ED是
△ABC的中位线，ED'是△A'B'C'的中位线.
已知BC=4,则ED'的长为
()
A.2B.3
C.4
D.1.5
4.如图，在△ABC中，AD是中线：
(1)画出△ABD关于点D对称的三角形；
(2)若AB=12,AC=10,求AD的取值范围
47
23.2.2中心对称图形
课前预习
的新知
课后作业
全而投升
1.把一个图形绕着某一个点旋转
,如果
1.下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又
旋转后的图形能够与
重合，那
是中心对称图形的是
么这个图形叫做
,这个点就
公
X
是它的
A
6
D
2.如果将中心对称的两个图形看成一个图形，那
2.
三张扑克牌如图①所示放在桌子上，小敏把其
么这个图形的整体就是
;反
中一张旋转180°后得到如图②所示，则她所旋
过来，如果将一个中心对称图形沿过对称中心
转的牌从左数起是
的任一条直线分成两个图形，那么这两个图形
成
当堂训练
因基出
A.第一张
B.第二张
知识点1认识中心对称图形
C.第三张
D.都不是
1.(金华)下列四个图形中，是中心对称图形的是
3.如图，四边形ABCD是以点
O为对称中心的中心对称图
形，过点O作OE⊥AC交BC
于点E,如果△ABE的周长EE
为24cm,则四边形ABCD的周长是
B
D
超越自我
■号■是■■■■■
2.观察下面的平面图形，其中是中心对称图形的
4.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单
有
位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，
△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为(1,0).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△AB,C1;
(2)画出将△ABC绕原点O按逆时针方向旋
转90°所得的△A2B2C2;
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
(3)△A1BC1与△A2B2C2成轴对称吗？若成
轴对称，画出所有的对称轴：
知识点2中心对称图形的性质
(4)△AB,C1与△A2B,C2成中心对称吗？若
3.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分
成中心对称，写出所有的对称中心的坐标.
别交AB,CD于点E,F.若AB=3,BC=4,则阴
1少中
影部分的面积为
(
A.4
B.12
C.6
D.3
(第3题图》
(第4题图)
4.如图，直线EF经过口ABCD的对称中心O,若
AE=4cm,四边形AEFD的面积为12cm2,则
CF=
,四边形EFCB的面积为
48当堂训练：l.B2.A3.B4.D5.(30-x)〔20+x)
-x+10.x+600
部分)的函数解析式为y一+3+兰-吉(-空）+器扩
ED,∠DCM=∠B又∠B+∠ACB=90°.∠DCM
56256.15727.解：(1)当售价为55元/kg时.每月销售水果=500-
∠ACB=90”,即∠FCM=90°.连接FM.在△FME中
10×(55一50)一450(kg).《2)设每千克水果售价为x元，由题意可得8750一
建改造后喷水池水柱的最大高度为m
MD-ED.FD⊥ME,:FM-FE,又：在Rt△FCM中，
专题六旋转与几何图形的证明
(.x-40)[500一10(x-50)],够得.石=65=75.答：每千克水果售价为65元
FC+CM-FM,∴FC+BE-EF
第二十二章整合与提高
专项训练：l.解：由旋转得：∠ECF=110°，CE
CF,在菱形ABCD中.∠A
〔3)设每千克水果售价为m元，获得的月利洞为元，由题意可
23.2.2中心对称图形
∠BCD=11O°.∴.∠BCE+∠ECD=∠FCD+∠ECD.'.∠BCE=∠DCF
y=(m一40)[500一10（一50）]=一10(m一70)2十9000，∴，当m=70时，y有
考点专训：1，C2.C3,y=(x十1一14.0y45,C6,y
课前预习：1.180
原来的图形
中心对称图形
对称中心
中心对称图
,.△BCE2△CF($A$)../E一/F一86”2第：由旋转的性质可知
最大值为900元.落，当每千克水果售伦为70元时.接得的月利相最大信
2.x+37,D8.A9,3,7510.解：(1)将x=600,为=18000代入为
形中心对称
OP=OD./DOP=6D°.又./ACB=/BAC=60°.∴，/COD+/AOP
出0000+
k,x.得18000=600k,.解得k,=30:将x=600,,=18000和x=1000.,
课后作业：1.C2.A3.1504205
5.解：1)w
30
2600代人，得{6004，+6=1800.
当党l练.1.C2.C3.D4.41m12cn2
120,∠AOP+∠AP0=120.∠COD=∠AP0,△APO2△COD,
(2)当0≤x<600
课后作业：l.C2.A3.48cm
4.解，(1)(2)如图所示
AP=0C.又AC=9,A0=3,∴0C=AC-A0=9-3=6.AP=0C
-x2十90x一1800..w与x的函数关系式为w一一x十90
b-6000
6.3.证明：(1)：将△ADF旋转90°后得到△ABQ,∴AQ=AF,∠FAQ
-1800(30≤r60).(2)u=-x2+9g0.x-1800=-〔x-45)￥+225.，.-1
时.w=30x+（=0.01x2=20x+30000)==0.01x2+10x+30000..·-0.01<
005·/EA日=459../OAR=45.AA0E公八AFF8A只1·/A50
<0,当x=45时，四有最大值为225，答：闭售单价定为45元时，每天的销售
0,W一-0.01(x-500)+32500,当x-500时，W取得最大值为3250
AEF,∴EA是∠QED的平分线
(2)由(1)得△AQE2△AFE.∴EQ
利润最大，最大利润为225元。
时，可得方程
-45y+25=
元：当600≤x≤1000时，w-20x十6000十
-0,01x
000
EF.将△ADF旋转90°后得到△ABQ.∠ABQ
-∠ADF-45°.BQ
00.解得x1=40,x1=50(不符合题意，舍去》.答：销售单价应定为40元
01.+36000,-0,01<0,当600≤x≤1000时，W随x的增大而
DF.∠EBQ-∠ABD+∠ABQ-90'.在R1△QBE中.BE+QB-EQ
6都，0设打折武为y+6将，190.0代人得德
藏小.当x=600时，W取得最大值为32400.：32400<32500，W取最
(3)成轴对称，对称轴如图，
则EF=BE+DF,4.解：〔1)PM=PN PMI PN(2》由旋转知
32500元
∠BAD=∠CAE,AB=AC,AD=AE,△ABD△ACE(SAS)
得。ny-2+2011≤804为整数
(2》设日销售利润为W
生特训：1.C2.D
3.D4.D5.D6.-3
∴∠ABD=∠ACE,BD=CE,同I)的方法，PN=BD,PM=CE,
.解：1)'y=一x十（十1.x一4，令x=0则y=一g,.C0,一w).令y=0,即一
则W=(p-6),①当1≤t≤40时，W=（+16-6）(-2t+200)
(w+1)x-a-0,解得-4，名-1.由图象知：a<0..A(@,0),B(10).
PM-PN.△PMN是等三角形，同(I)的方法得，PM∥CE,∴∠DPM
:S8ae-6,言(1-a)(-e)-6.解得g--3(a-4舍去)
(4)成中心对称，对称中心的坐标为（云，云）
∠CE,同(1)的方法得，PN∥BHD.∠PNC一∠BC∠DPN一∠DCB
(1-30)+2450.当1=30时，W=2450②当41≤1≤80时
∠PNC=∠DCB+∠DBC,,/MPN=∠DPM+/DPN=∠DCE
(2)=一3.∴C(0,3).:Sa=S。.∴P点的纵坐标为±3，把y=3代
23.2.3关于原点对称的点的坐标
∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+
W=(-+46-6)(-2:+200)=(1-9D)
100,当t=41时，
人y=一-2r+3,得--2十3=3，解得x=0或x=-2:把y=-3代人y
课前预习：1.〔1)横坐标纵坐标x,一y〔2)纵坐标横坐标
∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC.:∠BAC=90°，∠ACB+∠ABC=
W大=2301.2450>2301，∴.第30天的日销售利润最大，最大利润为
2一2x+3.得一2一2x+3=一3.解得x=一1+万成x=一1一万，.P点的
(3)横纵坐标均
-r,-y2.(1)(b,-a》(2)(-6,a(3)a=6
(4)a=
90.“∠MPN=90°.∠PMN是等楼直角三角形.(3)San大=
2450元.(3)由(2)得：当1≤40时，W=-号(1-30)2+2450.令w
坐标为(-2,3)或(-1十万，-3)或(-1-√F,-3,8,解：1)将点(3,12
和-2一代人超物线g折式得(…解得（化
{r=一3.放增物线
当家训练，1C2A&C,)5解：自题意得(9
解得
第二十三章整合与提高
2400,即-号(1-30)2+2450=2400，解得6=20,4=40，由函数
考点专训：1.D2.B3.C4.D5.D6.427.148.解：(1)①@图略
的解析式为
x:十2x一3，（2)数物线的对称轴为x=一1，令y=0.则
2
的值是2的值是-2.
6.C7.B8.E
(2》连接压B,CC得到对称中心M的坐标为(2,1).9.解：(1GF⊥DE
W=-之(1-30)2+2450的图象可知，当20≤1≤40时，日销售利润不低
3或1.令=0.则
,故点A,B的坐标分圳为(-3,0).(10)：点
9.解：△ABC为所求.A(-3.0),C(1,0),B(2
理由：△DBE是由△ABC绕点B旋转面得，△ABC2△DBE,∴∠ACB-
于2400元，而当41≤：写80时，W=2301<2400，六t的取值范是
C的坐标为〔0.一3).故OA一OC一3.∠PDE一∠AC一9D..当PD
∠DEB,:△GFE是由△ABC平移而得.△
BC≌△FEG,·∠A
20≤1⑥40.∴共有21天符合条件，(4)设日的售利洞为W,根据题意，得
DE一3尉，以P,D,E为顶点的三角形与△AOC全等设点P〔，u》,当点P
-3AC'=1-（-3)=4a=43=6
∠GFE,,∠ABC=90°，∠A十∠ACB=9D°，∴，∠GFE+∠DEB=9D
在物线对称轴右侧时，一〔一1)=3，解得m=2,故别=2十2×2一3=5
,./EHE=90.GEIDE.〔2).ADBE是由AABC绕占B的转而得
W=(1+16-6-m）(-2+200)=-+(30+2m)1+2000
果后作业：1.D2.C3.B4.2/135.126.1故点P(2,5),故点E(
1,2)成(-1,8)：当点P在抛物线对称轴的左侧时
4x
200m,其函数图象的对称轴为1一2m+30,W随：的增大而增大，且1≤
5=0,解得.x=
△ABC≌△DBE,∠DBE=∠ABC=90°，BC=BE.△GFE是由△ABC
由地物线的对称性可得，点P(一4,5)，此时点E的坐标同上，综上，点P的
1或5.又A(·)在第二象限
平移而得，CGBE.四边形CBEG是平行四边形.BC
BE,“平行四
,x,<0x>0.即点A的坐标为《一1,5)，，点B和点A关于原点O对称
40,∴由二次函数的图象及其性质可知2m十30≥40，解得m≥5.又m<7,
坐标为(2,5)或〔-45)：点E的坐标为《-1,2)或（一1,8）
边形CBEG是菱形.∠CBE=90°，.四边形CBEG是正方形
,点B的坐标为《1，一5)，即m-1,=一5，.m十0=1一5=一4
,5川<7
第二十三章旋转
8解：(1)如图所示
(2)如困所示.
(3)旋转中心的坐标为(0，-2)
优生特1.C之A3,B4,D5.1560成1.十
第3课时实际问题与二次函数模型
8.解1(L)由旋转的性质知AP=AP=6,∠PAB=∠PAC,∠PAP=∠BAC
果前预习，《1)直角坐标系〔2)点的坐标(3)解析式(4》待定系数
23.1图形的旋转
60°.，'.△PAP是等边三角形.，'，PP=6.《2),P'B=PC=10,PB=8
当堂训练l.D2.y=-(x+6)+43.2m4.y=-牙5.A
课前预习：1.旋转旋转中心旋转角2.(1)相等垂直平分线《2)旋
pB=Pp:+P形.△PPB为直角三角形.且∠PPB=0.∠APB
转角
(3)全等
相等相等
/pPB+/ppA=90'+60'=150
6.1.57,解：(1)由题意，得愁物线顶点为44).设热物线为y一(x一4)产
当堂训练：1，A2.C3.D4,(1)点B(2)点0∠AOA'成∠BO
,解：1)AE-DB,AE⊥DB.延长
4=a(0-4)十4.4=-号.y=-号《x-4)+4.当x=7时
〔3)∠A'0B5.D6.D7.30°8,70°9.解：图路.
交AE于点H.理由：△ABC
课后作业：1.D2.D3.B4.B5.C6.357.50°8.2
△DEC是等腰直角三角形，：AC
-×3+4=3∴能准确投中.(2)当x=1时，y=-(1-4)+4
BC.EC DC.RIABCD
,号10.(1)证明：由旋转得：∠1-∠2，AB-AC-AE-AF
(第8题图
(第11题图
3.1,,.成功
R△ACE.AE=BD
∠AEO
E∠BD
.∠BCD=90,∠DHE=90
课后作业：1，B2.D3,6,764,解：(1)由题意可知，粒物线经过点A(0
∴∠I+∠BAF=∠2+∠BAR∴∠BAE=∠FAC.在△BAE
.解：(1)(2,0)(0，-4)
(BA=CA.
(2)设解析式为y=kx十6，{0=2k十6，
.AE⊥DB.《2)DE=AF,DE⊥AF.理由：设DE与AF交于点N,由题
.BE=AD.BD-DE./EBD=/C+/BDC=90+/BDC./ADE=
2),P(1,6),B(8,2.设抛物线的解折式为y=a.x+x十r,将A,P,B三点
△CAF中.'〈∠BAE=∠CAF,.△BAE≌△CAF.'.BE
BDF+/BDC-90+/BDC./EBD-ADF.
的坐标代入，解得抛物线的解析式为y=一本x+2x+2.(2)令y=4,则
AE-AF
16=-4,
解析式为y=2x-4,10,解：点P(t+2x,3)与点Qx十2)
SAS.∴DE-AF,∠E-∠FAD.∠E-45.∠EDC-45°.∠FAD
有-x2十2x十2-4.解得-4十2区，-4-2E,|-西|
CF.(2)解在菱形ACDE中，AC∥DE,AC=DE=1,∠2=∠3=45.：AB
45.∠AND=90,即DE⊥AF
关于原点对称，
AE.∴∠3-∠4-45.∠BAE-90°.在R1△ABE中，BE-A+AE
{十2+2-0解得1或-当-1时
y十3=0
=—3
第二十四章圆
4>2，货车可以通过.(3)由(2)可知号一=2>2∴货车
V反，BD-BE-DE-√2-1.
2x=一1<0.当x=一2时，x2十2x=0.点P在第二象限..x=一1.
2x+
9+一31=
可以通过.5.解：(1)设水柱所在物线（第一象限部分）的函数解析式为
-5,11.解：1)如图所示
23.2中心对称
(2)如图所示
24.1圆的有关性质
(3)如图所示，P《2,0),作点A关于x轴的对称：点A,连接AB交￥轴于点P
y-a(x-3)十5(a≠0)，将(8,0)代人y-a(x-3)十5，得25a十5-0，解得
24.1.1圆
23.2.1中心对称
则点P即为所求作的点
a=一方，云水柱所在抛物线（第一象限椰分）的函数解析式为y=一上(x
课前顶习：1，旋转一周网心半径⊙0(1)圆心和半径位置半径
果前顶习：1,180°对称中心对称对称中心2，对称中心对称中心
23.3课题学习图案设计
(2)所有到定点的距两等于定长的2.弦弧3.相等互相重合
3)2+50课前预习：山.平移旋转轴对称2.平移旋转轴对称
当堂训练：1.B2.B3.D4.85.0=7,为了不被淋湿，身高1,8m的王师博站立时必须在水池中心7m
当训练：1，A2.D3.A4,解：(1)△DCE即为所求
当党训练，1.A2.B
g.证明，由边角边证明△ODA2△OCB得AD=BC.
g
10.证明.连接AC.BD交于点O,连接OE.OF.OG,OH.
以内。(3)当=0时y=一吉一3y+5=兰.设改益后水柱所在抛物线
在菱形ABCD中，AC⊥BD.在R△AOB中，：∠AOB=S0,
(2)由题意得：DE=AD.AB=CE.在AAEC中.'.2AE22.'.1口
(第一象限部分)的函数解析式为y一一？+6x十5.：该雨数图象过点(6
课后作业1.A2.B3.(3,-1)
1
EA=EB,∴OE=AB.同理：OF=BC,OG=2CD
0,∴0=一×16+16+解得6=3，改造后水柱所在甜物线第一象限
4,解：FC十BE一EF,理由如下：，D为BC的中点，，BD一CD,作△BDE
解：如图所示，答案不唯
OH--AD.AB-BC-CD-AD...OE-OF-
OH..E.F.G.H
关于点D成中心对称的△CDM,如图.由中心对称的性质可得CM一BE,D
课后作业：1.D2.B3.54.平移A5.解：答案不唯一，例：
九年级数学·RJ·上册·123