24.4弧长和扇形面积
第1课时孤长和扇形面积
课前预习
颅习新知
8.已知扇形的半径为3cm,弧长为2πcm,则扇
1.在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为
形的圆心角为
,面积为
1=
9.如图，在3×3的方格中，每个
2.在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积
小方格都是边长为1的正方
为S扇形=
(其中！为弧
形，B,C是格点，则扇形BOC
长，R是半径)
的面积为
当堂训练N
10.如图，AB切⊙O于点B,OA=2,∠OAB=30°，
巩固丛础
弦BC∥AO.求：
知识点1弧长公式的应用
(1)劣弧BC的长：
1.(盘锦)如图，一段公路的转弯处是一段圆弧
(2)阴影部分的面积.
(AB),则AB的展直长度为
()
A.3x m
B.6πmC.9rmD.12rm
(第1题图)
(第4题图》
2.如果一个扇形的弧长是号，半径是6，那么此
扇形的圆心角为
()
A.10°
B.20°C.30°
D.40
3.一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为
4π，则这个扇形的半径为
()
A.3
B.6
C.12
D.18
4.(黄石)如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O
上一点，且∠ABD=30°，BO=4,则BD的长
11.如图，圆心角都是90°的扇形OAB和扇形
为
()
OCD叠放在一起，连接AC,BD.
A.
B智
D.8
(1)求证：AC=BD;
C.2π
知识点2扇形的面积公式
(2)若阴影部分的面积是元cm,OA
5.半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是
2cm,求OC的长.
(
A.6π
B.8π
C.12πD.24π
6.已知一钟面上的分针的长为1，从9点到9点
半，分针在钟面上扫过的面积是
()
A.B.C.g
D.π
7.(新疆)一个扇形的圆心角是120°，面积为
3πcm2,那么这个扇形的半径是
()
A.1 cm B.3 cm C.6 cm D.9 cm
77
课后作业
7.如图，点O为Rt△ABC的斜边AB上的一点，
全面找升
以OA的长为半径的⊙O与BC相切于点D,
1.(南宁)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2,
与AC相交于点E,连接AD.
∠BAC=30°，则劣弧BC的长等于
(
(1)求证：AD平分∠BAC;
A.罗
B.
C.25πD.Bx
(2)若∠BAC=60°，OA=2,则阴影部分的面
3
3
积为
(结果保留π)
(第1题图)
(第2题图)
2.(达州)如图，在半径为5的⊙O中，将劣弧AB
沿弦AB翻折，使折叠后的AB恰好与OA,
OB相切，则劣弧AB的长为
(
超越自我
A.多x
B.C..
8.(巴中)如图，在平面直角坐标系xOy中，以点
O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M,交
3.(遂宁)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=
BC,点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相
y轴的正半轴于点N.劣弧MN的长为π，直
切于点D,交AB于点E,若CD=√2，则图中
3x十4与x轴、y轴分别交于点
a
线y=一
阴影部分的面积为
()
A,B.
A.4-号
B.2-C.2-
D.1-号
(1)求证：直线AB与⊙O相切；
(2)求图中所示的阴影部分的面积（结果用π
表示).
(第3题图)
(第4题图)
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O中，⊙O的半
径为2，∠B=135°，则劣弧AC的长为()
A.n
B.号
C.π
D.2π
5.如图，在△ABC中，AB=5,AC=3,BC=4,将
△ABC绕A点逆时针方向旋转40°得到
△ADE,点B经过的路径为BD,则图中阴影
部分的面积为
1)
30
B
(第5题图)
(第6题图)
6.如图，在□ABCD中，AD=2,AB=4,∠A=
30°，以A为圆心，AD为半径画弧交AB于点
E,连接CE,则图中阴影部分的面积是
78∠ACB.∠ABC
-∠ACB,∴.∠OBM=∠CN.在△OBM
OB=,得。9.解：(1)设此圆锥的底面圆的半径为rm,母线
R△COF中，OF=√OC-CF=,EF=EO+OF=S,CE
(OB=0C.
△OCN中
∠OBM-∠OCN..△OBM≌△OCN(SAS)
AC=1cm.2xr=.=2.即圆德的母线长与底面圆的半径之比为2：1
,7,(1)证明：①连接0C:0A=0B
BM=CN.
第3题图
《第4题图)
(2):1=2.圆锥的高与母线的夹角为30，则∠BAC=60°.(3)由图可
AC=BC.∴OC⊥AB.∴直线AB是⊙O的切线
4.(1)证明：连接OD,OA,作OE⊥AB于点E.:AB=AC,O为BC的中点，
∠OM=∠CON.'.∠MON=∠BOC=120.
(2)90°
72
360
知F=0A+r,0A=35cm∴(2r)=(33)2+,即4r2=27+r,解钙
②'OA=OB.AC=BC..∠AOC=∠BOC.∠EDC
./CAO=/BA0..'ODAC于点D.0EAB于点E,.OD=OE.A
)半径的外端，AB是半圆O所在圆的
线
(2)解：AB=AC
(3)SN
r-3.-2r-6.圆维的侧面积为-18(cm)
号∠AOC.∠FDc-于∠BC.∴∠EDC-∠FDC.
∠ABC=60°.△ABC是等边三角形.BC=AB=12.点0为BC的中
24.4弧长和扇形面积
专题九求阴影部分的面积
(2)解：连接EF交OC于点G,连接EC.:DE是直径，∴∠DFE=∠DCE
点，∴B0-.由(1)可知∠BOE-30.在Rt△OBE中，BE-B0-3
90.DE=10,DF=6,EF=√I0-6=8.∠EOC=∠FOC,OE
第1课时弧长和扇形面积
专项训练：1.B2.B3.D4.A5.B6.C7.m+258.36m
OE=√O-BE=3√3.∴.半圆0所在圆的半径为33.
OF.OC⊥EF,EG=FG=号EF=4.OE=OD,∴OG=号DF=3.
课前习：l.R2.R子
9.x-210.2-号11.6m12.x-85
专题八切线的有关计算
当堂训练l.B2.B3.C4.D5.C6.A7.B
8.120
.GC-OC-OG-2.在Rt△EC中.CE-/CG+E-25.在Rt△ECD
1.第：(1)连接OE,过点O作0F
AC于
F,得FA-DF,证矩形OECF,得
13,(1)证明：连接AE:四边形ABCD是平行四边形
9.÷10.解：(1)连接OB,OC.AB切⊙0于点B
∴AD=BC,AD∥BC.∠DAE=∠AEB.AE
中，CD=/ED-EC=45,
CE=OF,OE=CF.,AD=2CD=2,,.AF=DF=CD=1.∴，OE=CF=2.在
∴∠AEB-∠ABC.·∠DAE-∠ABC,.△AED
第3课时切线长定理
Rt△AFO中，OF-AO-AF-,∴CE-
(2)设CE-,DC
.OB⊥AB.在R1△AB0中，∠A+∠AOB=0,∴∠AOE
ABAC(SASDEA =/CABCAB =90
课前预习：1.相等两条切线的夹角2，各边都相切
三条角平分线
,由(1)得CF=OE=5,AF=DF=5
(6-x)=
1,在R△AFO中
50,∴0B
÷0A-1.BC∥0A,·.∠OBC-∠AOB
./DEA=90°.∴.DEAEAE是⊙A的坐径，.D】
当堂训练：l.C2.B3.C4.(1)20〔2)65°5.4cm6.C7.A
1十0=/A0··.一1)°十=5.1=4.=一30去.CE=4
与⊙A相切.
(2)解：：
/ABC=6D·.AB=AF=
8.120°9.210.解：根据切线长定理，得AE=AF,BF=BD,CE=CD.设
60.0B=0C,∴0B=0C=BC.∠50C=60.m=0-
20
△ABE是等边三角形.AE=BE
AF-AE-
cm,则CE
cm,BF
BD=(18
cm.'B
(2)BC∥AO,S么e=Sa..S=Sa8a
60mX1:
∠EAB
∠CAB
360
六∠CAE-90°-∠EAB-90'-60°-30°，∠ACB-90°-∠B-90°-60°
28cm,'.(18一x)十《26一x)=28.解得x=8..AF=8m.BD=10m.CE
11.(1)E明：∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD=90°，得∠A0C=∠B0D.
30°.∠CAE=∠ACB.AE=CE.CE=BE.S△=7AB·AC
18m
（第2器图》
第3
果后作业：1.B2.D3.B4.B5,46,65"成115
证△BOD2△A0C,得AC=BD.(2)解：：S+5
,解：(1)知图所示〔2)5m=3
8,解：设
2.(1)证明：连接OD,证OD//AC,得∠C=∠ODB=90.°(2)解：过点0作
X1X4=8V,Sa=号Sar=X8=4.∠CAE
=Sa8.xo-S8o=(0A-0C).:4-0C=3.0C=1 cm
H⊥AC于点H,得AH=AF=3.证矩形ODCH,得CH=OD,CD
S0.AE.0 Sa-Saur
∠C=∠D=90°.AB=AD=DC=4cm.,.AB⊥OB.CE
课后作业：1.A2.A3.B4.C5.256,3-元7.(1)证明：⊙0
OH在R1AAH0中.AO=A+OH=5..AC=AH+CH=8
OC.又：OB,OC为⊙0的半径，AB,CE分别切⊙0于点B,C又：AE切
切BC于点D,.ODBC'AC1BC..AC∥OD.∴./CAD=/ADO
S-45-4.14.解：(1)CD是⊙0的切线.证明：证∠1-∠2
⊙0于点F..AB=AF=4cm,CE-EF=xcm.AE=AF+EF=(4十x)c
3,(1)证明：连接FO.点5为C的中点，点O为AC的中点，∴OF是△ABC
的中位线.∴OF∥AB,AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE.OF∥AB,∴OF
0A-
OD,∠DAO=∠AD0.∠CAD=∠DAO,即AD平分
∠3，得OCAD,得∠4=90°，∴.OC⊥CD.:OC为半径.∴.CD是⊙O的切
在R△ADE中
A
-AD+DE.即(4+)-(4-)+4.-1.DE-4
OF所在直线垂直平分CE.FC
FE.OE-OC
∴∠FEC=∠FCE
2)红8.(1)证明：作OD⊥AB于点D,劣孤N的
中
线.(2)连接OE交AC于点F.:AE=CE,∠AOE=∠COE.OA
r-3(cam.∴Se-AD·DE-X4X3-6(cm)
∠OEC=∠OCE.△ABC是直角三角形，，∠ACB=0°，即∠OCE
C.∴FA=FC.证△CFO≌△AFE.AE=OC=OA.∠AOE=∠COE
∠FCE=90°.∴∠OEC+∠FEC=90°，即∠FEO=90.又，OE是⊙O的半
长为，0XO=，解得M=长.直线
9.(1)证明：C-CB∠1-∠2.在⊙0中，∠2
5
∠1-∠5.rCE-CA.∠CAE-∠CEA.∠4
径，∴EF是⊙0的切线.(2)AD=3
子x十4与x轴y轴分别交于点A,B,当y=0时
605=sm-Sm=×(1+之）×-×1=3E
4.〔1》证明：连接AD,OD.”AB是⊙O的直径
/CEA.在△AED中./CEA=/1十∠3，，.∠4十∠5
,./ADB=90°.，/ADO+/ODB=90°.，DE五
=3:当x=0时，y=4..A(3.0),B(0.4),∴.OA=3
/1+/3·/1=/5。“./3=/4。“.EA平分/DAB
⊙O的切线.'.OD⊥DE.∴∠EDA+∠ADO=90
04.0B
:CD平分∠ADB,点E为△ABD的内心
(2》解过点E作EF⊥AD于点
OB=4.AB=V3+=5.SB=AB·OD
∴∠EDA=∠ODB,:OD=OB.∠ODB=∠OBD
F.AB为直径∠ADB=90°，BD=√AB-AD=8.由(1)得点E为
∠EDA
∠OBD.·
AC=AB,AD⊥BC,∠CAD
∠BAD.
DBA
:OD=04:0B=是=半径OM,直线AB与O0相.
AB
△ABD的内，∴Sam=(AB+AD+BD)·EF=AD·BD,EF-2
∠DAB-90°，∠EAD+∠EDA-90.∠DEA-90..DE⊥AC.
(2)解，：∠ADB=90°，AB=AC,BD=CD.:⊙0的半径为5，BC=16,
(2)解：5e-Sm-S0-×3X4-工元×（是）-6-3
《第14题图)
(第15题图)
在R△DEF中，∠1-∠2-号∠ADB-45,DF-.六AF-AD-DF
六AC-10.CD-8AD-VAc-CD-0-8-6,:S6-令AD:
第2课时圆锥的侧面积和全面积
15.《1)证明：连接OD.四边形E议C是平行四边形..OC∥BE.∠AOC
4.在AAEF中.AE=/A+E=/4+2=2E
DC=1AC.DE.:'DE=AD.DC=6X8-24.
课前预习：项点
母线长
形底面圆(1)子×2x·1
(2)S
OBE,∠COD=
∠ODB.OB=OD,
/OBD=
ODB,∠DOC
专题七切线的证明
24.3正多边形和圆
当堂训练：l.C2,B3,B4.B5.126,157,D8,99,解：设圆
∠AOC,在△COD和△COA中，
∠COD
∠COA.六△COD≌△COA
1.证明：连接AD,AB-AC,∠BAC-120'.∠B-∠C-30°.AD
OD=OA.
课前预习：1，各边相等各角也相等2.外接网的圆心外按网半径
BD,,∴，∠BAD=∠B=30°.，∠ADC=60°.，，∠DAC=180°-60°-30°=
圆心角边心距半径
的底面圆的半径为,母线长为R由题知20=.∴R=30.:2x
.∠CAO=∠CDO=90”,.CFOD..CF是⊙O的切线，(2)解：∠F
90.AC是⊙D的切线
当堂练，1.D2.D3.124.C5.B6.A7.A8.63cm9.5
20mr=10.∴Sm=1R=×20mX30=300x,S
=Su+Sa
=300
30°，∠ODF=90',，∠DOF=∠A0C=∠COD=60°.：四边形EBOC是平行四
边形，0C-BE-4.在R1△A0C中，∠OAC-90,O0
4,∠A0C
10,-4.0)2,2)11,证明：1求∠D=∠BCD=1o8,由BC=BA求
=400元，∴该网锥的侧面积为300，全面积为400
∠BCA=36,∴∠DCA=72.∠DCA+∠D=180.∴AC∥DE.
10.解：(1)连接BC.∠BAC=90°，BC为⊙0的直径，即
0A=2,AC=0C-=25.5=2·Sae-S6=2X7
(1)得∠EAM=72,∠MAB-∠MBA=36,∠EMA-∠EAM=72.
2×25-120x.2-4W5-
.ME-=AE
BC=E,在R△ABC中，A话+AC=BC,∴AB=号BC
课后作业1.C2.A3.D4.C5.266.135
1(a。（2)设圆锥的账面圆的半径为ra:2r-9
第二十四章整合与提高
2,E明：连接OD,CD.CE是⊙O的直径，，∠EDC=90°.DE∥OA,
7.3:2；18,证明：(1)五边形ABCDE为正五边
“一子，“所得圆锥的底面圆的半径为子m
考点专训：1.B2.3.A4.D5.56.B7.D
OACD..OA垂直平分CD..OD=OC..OD=OE../OED
'.AB=AE BC.
BAE=/ABC.八ABE2A
∠ODE.DE∥OA.
∠ODE
∠AOD,∠DEO-
(SAS),则AC
B
2)连接AD.易证AC
8.20cm9.(1)证明：：直线CD与⊙0相切，∴0C⊥CL
课后作业：l.D2.C3.C4.15m5.108x6.号cm
又：ADLCD.AD∥OC.∠DAC-∠OCA.又OC
∠AOC.,AC是切线，：∠ACB=0.在△A0OD和△AOC中，
为CD的中点，，AM⊥CD.9.(1)证明，，五边形ABCD
oD-OC
是正五边形，∴AB-BC,∠ABC-∠C-10g.又：BM-CN,
.解：过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ACB中，AB
OA.∠OAC=∠OCA.∠DAC=∠OAC.∴AC平分∠DAO.(2)解：①
AOD=∠AOC,△AOD≌△AOC(SAS).·
ADO
∠ACB=g0
.△ABM≌△BCN.〔2)鳏，，'△ABM≌△BCN,,∠BAM=∠CBN
VACBC-10.-CD2 AB-AC C.CD-4.8.
AD∥OC.∴∠E0C=∠DA0=105.∠E=30°，∠OCE=45,连接
·/APN=/BAM+/ABN.·,/APN=/CBN+/ABN
OF,作OG⊥CE于点G.可得FG一C.OC-22,∠OCE一45”，.OG一2.
5-2)X×180-108.
5=×8×4.8+π×6×4.8=67.2m.8.解：(1)∠A=
.OD是半径，.AB是⊙O的切线.3.解，FG与⊙O相切.理由：连接OF
∴G=2.在Rt△OGE中，∠E=30,GE=2√5.，EF=GE-FG
80.又AC⊥BD..∠BOD=120°.，AB=43,,BF=23..OB=4
∠ACB-90,D为AB的中点，CD-BD,∠DBC-∠DCB.OF
23-2
OC,∠OF
=∠OCE.∴∠OFC=∠DBC.∴OF∥DB.·∠OFG+∠DGF
10.解：(1)接OB,0C.0为正△ABC的中心0是正△ABC的内心
+2
优生特训：1.B2.C3.D4.C5.A6.12或4
180.:FGLAB.∴∠DGF-90.∠O5G-90.六FG与⊙0相切.
.OB,C分别平分∠ABC,∠ACB.∠OBM
∠ABC,∠OCN
7.120°8.(0,25)9.(1)正明：连接0B,CMN是⊙0的切线.0B1
九年级数学·RJ·上册·125
