22.3
实际问题与二次函数
第1课时
与图形面积相关的实际问题
课前预习
5.如图,已知□ABCD的周长为8cm,∠B=
颅习新知
30°,若边长AB=xcm
求面积的最值问题应该把图形的一边长设为
(1)□ABCD的面积y(单位:cm2)与x(单位:cm)
,所求面积为
,根据面积计
之间的函数解析式为
,自变量
算公式,建立
的模型,利用二次函
x的取值范围是
数相关知识求得最值,特别提示:要注意自变量
(2)当x取
时,y的值最大,最大值为
的
当堂训练
现因基础
知识点实际问题与图形面积
1.如图,假设篱笆(虚线部分)的长度为16m,另
(第5题图)
(第6题图)
两面为互相垂直的墙,则所围成的矩形ABCD
6.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=8cm,BC=
的最大面积是
()
6cm,动点P从点A出发沿AB向B点以2cm/s
A.32m
B.60m2
的速度移动,动点Q从点B出发沿BC向C点以
C.64m
D.68m
1cm/s的速度移动,如果P,Q分别从A,B两点同
时出发,运动时间为ts,△PBQ的面积为Scm,则
S与t的关系为
,当t=
s时,
BEC
cm.
(第1题图)
(第4题图)
S最大=
2.已知一个直角三角形两直角边之和为20cm,
7.(温州)某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠一
则这个直角三角形的最大面积为
段墙(墙长为12m),中间用一道墙隔开,并在
如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中
A.25 cm
B.50 cm
可建墙体(不包括门)总长为27m,求能建成
C.60 cm2
D.100 cm2
的饲养室面积的最大值.
3.在一幅长60cm,宽40cm的矩形风景画的四
周镶一条纸边制成一幅矩形挂图,如果整个挂
图的面积为ycm2,设四周纸边的宽度为xcm
(四周纸边宽度相等),那么y与x之间的函数
关系式是
()
A.y=(60+x)(40+x)
B.y=(60+2x)(40+2.x)
C.y=(60-x)(40-x)
D.y=(60-2.x)(40-2x)
4.(沈阳)如图,一块矩形土地ABCD由篱笆围
着,并且由一条与CD边平行的篱笆EF分
开,已知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽
略不计),当AB=
时,矩形土地
ABCD的面积最大.
37
课后作业
6.(教材习题变式)如图,在等腰Rt△ABC中,
全面捉升
1,如图,利用一个直角墙角修建一个梯形储料场
∠C=90°,BC=4cm,矩形CDEF的顶点D,
ABCD,其中∠C=120°.若新建墙BC与CD
E,F分别在边AC,AB,BC上,求矩形CDEF
总长为12m,则该梯形储料场ABCD的最大
的最大面积.
面积是
()
A.18m
B.18√3m
C.24√3m
D.
45√3
2
5 m
120
B
(第1题图)
(第2题图)
2.(衢州)某农场拟建三间矩形种牛饲养室,饲养
室的一面靠墙(墙长50m),中间用两道墙隔
开(如图).已知计划中的建筑材料可建墙的总
长度为48m,则这三间矩形种牛饲养室的总
占地面积的最大值为
()
A.96m2
B.124m2
C.136m2
D.144m
3.如图,四边形ABCD中AC⊥BD,若AC+BD=
10,则当AC=
时,四边形ABCD的面
超越自我
积最大,为
7.(内江)某中学课外兴趣活动小组准备围建一
个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长
为30m的篱笆围成,已知墙长为18m(如
图),设这个苗圃园垂直于墙的一边长为xm
+
(1)若苗圃园的面积为72m,求x的值;
(第3题图)
(第4题图)
(2)若平行于墙的一边长不小于8m,这个苗
4.(新疆)如图,在边长为6cm的正方形ABCD
圃园的面积有最大值和最小值吗?如果
中,点E,F,G,H分别从A,B,C,D同时出发,
均以1cm/s的速度向点B,C,D,A匀速运动,
有,求出最大值和最小值;如果没有,请说
当点E到达点B时,四个点同时停止运动,在
明理由;
运动过程中,当运动时间为
s时,四边形
(3)当这个苗圃园的面积不小于100m2时,直
EFGH的面积最小,其最小值是cm.
接写出x的取值范围
5.如图,在矩形ABCD中,AB=18cm,AD=
4cm,动点P,Q分别从A,B两点同时出发,
点P沿AB方向以2cm/s的速度向点B运
苗d
动,点Q沿BC方向以1cm/s的速度向点C
运动,当一个点到达后,另一个点也随之停止
设运动时间为xs,五边形APQCD的面积为
Scm2,当x为何值时,S最小?
0
389:=15(舍去).答:BC的长为9m时国成的面积是45m
一2),P,〔一6,-2).(3)存在,理由:设Q(1),为≠0,连接0Q,BQ.
课后作业:1.D2.B3.一2一44.解:抛物线的对称轴为直线x=一
+4-1=2=1,:=3.如图,当1≤x≤3时
9.《1)¥=4.x2一24x+1440x<6(2)解,当v=172时,4x2一24x+144
172,解得x=7,x=一1.又"0x<6,.x,=7,x=一1均不符合题意」
∠A08=0.0A=0B.Q0=04=0B=2.+-
w1≥2.(3》的=.x一1,当x3时y1
-2∴抛物线的顶点为(-2,).设抛物线为y=a(十2)+4∴0=4(一3+2)十4
10.解:(1):直线y=x十m经过点A(1,0),∴0=1十m
∴四边形APQC的面积不能等于172mm
=士5或{=0.
一一4线为y
一4(x十2)十4
.解:(1)y一1
解得一一1,抛物线v一x2十br十绕过点A〔1.0)
-2.x一3.《2)《1,一4).〔3)连接CM,则S
22.1.2二次函数y=a.x2的图象和性质
6-±2含去Q510.Q.(-5.1D
Se+5a+5m-2X1X3+2X1X3+号X3×
3抛物线的解析式为y=
课前预习:抛物线y轴(0,0)(1)上低0小0增大诚小增
第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质
3.x十2.《2).x>3成r<1,〔3》“,M(a,1》,V(a十1,为)两点都在函数y
大增大(2)下高0大0增大增大增大减小(3)小
前预习:1,搅物线形状位置直线一
2,平移
4=9(或作MN⊥AB于点N.则S=SA+SN
当堂训练:1.B2.C3.D4.相同相反x5.为<<6.A7.A
x°-3.x十2的图象上,,1=a°一3a十2,%=《a十1)°一3(a十1)十2=a一a
当登训练:1,A2.D3.C4,为<%<5,(-1,5)6,解:由题意,得
S。)
为-为=(d2-a)-(a-3a+2)=2a-2.当2a-2<0,即a<1时,>为
y-a(x-3)产,把点(1,4》代人得a(1-3)-4,解得a-1.∴a-1.当x>3
专题二抛物线的解析式与图形变换
当20一2=0,即=1时=当2
2>0,即>1时y8.解:10y=-子2(21-7
时y随x的增大而地大,7,C8,D9,-4310,y=(x-3)
方法指导:1.不变
2.(1)相反
x轴
(2)不变y轴3.相反
原点
-2
(3)
专题四抛物线的图象与特殊代数式的关系
11.解:设平移后的抛物线解析式是v=(x+4)2.把点(一3,2》代人得
专项训练:1.第:,y=一x十2x+3=一〔x一1)十4。,平移后解析式为v
方法指导:l.开口方向与y轴交点对称轴与。a,b同号e,b异号
(一3十4)一2解得a一2.平移后函数解析式是y一2(x十4).顶点坐标
2.与x轴交点情况对称轴位置
-《x一1+1)2+4一2=一x2+22帆,·y=x2一2x一2=《x一1)2一4
(4)开口向下,对称轴为轴,顶点为(00.9.解:依烟意有m十3≠0,
为(一4,0),对称轴是直线=一4
“顶点为(1,一4).关于轴对称.新抛物线的一一1,顶点为(14)
专项训练:1.C2.C3.D4.B5.C6.C7.①②③③8.②③④
十=2.
后作业1.B2.B3.A4.B5.86.127.y=号(x-3)
“新地物线为
-(x-1)2+4.
3.解
-2.x
专题五抛物线与平行四边形
当>0时y随x的增大面增大∴m+3>0。
8.y--2(x-3)y-2(x十3)9.解:〔1)由题意设抛物线为y-a(x
∴顶点为(1,一4).:关于y轴对称,新热物线的■1,顶点为(一1,一4)
专项训练:一1,03,00,一3《1》解:设D点的坐标为〔m,一3),①当AB
∴新抛物线为y=(x十1)-4,4,解:y=x-2.x-3=(x-1)2-4,顶
CD.当D点在C点左侧时AB=CD,m=一4.,D一4,一3》,当D点在C点右
m>-3.六m-1或m--2.
3)产,4=a(-1-3),a=,∴抛物线为y=1(x-3),(2》存在
点为(1,一4).关于原点对称,新抛物线的4=一1,顶点为《一1,4).新
侧时一4,此时D(4,一3).②当A)应C时.把点A向上罩移3个单位长度.再
课后作业:1.A2,B3,A4,D5,-36.-1
-17.-2抛物线的对称轴为直线x=3,设C,B关于直线x=3对称,连接OC交直线
抛物线为y=-(x十1)十4.5.第:(1)把点B(-1,0)和点C(2,3)代人得
向右平移3个单位长度后,得D(2,3),存在,点D的坐标为(
8解:(1)揽物线解析式为y一一2x,点B不在此抛物线上,(2)点P(后。
x-3于点P.当x-0时y-千B(0,号)∴C(6.号)设直线OC为
0解得{
”地物线的解析式为y一一x+2x+3。
(4.-3)或(2.3.
(2)解:当AB为边时ABEF.
AB,∥EF,.设F(m
r2一2一3》,则E(1,一2m一3),,EF=m一1.:AB=EF,,,m一1
y=红手=6k.k=音.y=8,当x=3时y=背.六P(3,8)
(2)把x=一2代人=一x2+2x十3得¥=一5,.点《一2,一5》向上平移4个
3-(-1).=5.=-3..F(5,12).E(1.12):F.(-3.12》.E《1
单位长度,得到点〔一2,一1).”需将地物线向上平移4个单位长度.
12).当AB为对角线时EF,AB互相平分,:点E在对称轴上,点F为抛
(2)当m十2>0时,抛物线有最低点。m一2,∴最低点为(0,0).当x>0
10.解:(1)A(一2.0),B(0.4).(2)直线x一一2.《3)存在,P〔一2,4)
5.解,《1)=x2+2x一4=x+1》2一5,,面占坐标为〔一1,一5),向左
物线的顶点.∴F,(1,
4),E(1,4).(3)解:当AB为边时
时,y随x的增大而增大。《3)当m十2<0时,批物线有最高点,∴,m一一3.
P(-2,-4,理由:①以OA和OB为边可作口P,AOB.易得P(-2,4):②以
移2个单位长度,又向上平移3个单位长度后解析式为
=(x+1+2)
ABEF,AB∥EF.∴设F(m,m-2m-3).E(0,m
1B和OB为边可作口P,ABO.易得P〔一2,一4).
当x<0时,y随x的增大而增大,10.解:(1)y=x.(2)(2,3),(-2,
2,:数物线绕页点旋转1后南数的解析式为y一一〔x十3
3),∴.EF-|m-AB一4.m1-4,m:=一4..F(4,5)
第3课时二次函数y=(x一h)2十k的图象和性质
2.(2),地物线y=一(x十3)一2的顶点坐标为(一3,一2),,抛物线顶点横.纵坐
E.《0,5):F,《一4.21》.E.《0,21).当AB为对角线时EF.AB互
3).图略.(3)-2课前预习:山,物线形状位置直线x=A(,)2左(右)上(下)
相平分.如图,设D为AB的中点,△EMD≌△FND,∴EM
当堂训练:1.C2.C3.D4.A5.①①6.D7.D8.y=2x+3)+
标为方程的两实数根一3m-2m=6。
程十三一
解得
FN=1,DN=DM当
.=3.
5(0.3)
〔4)解:当AD为边时ADEF,如图,
PCLOA于点C,Sam=OA:PC=4∴PC=么,当y=2时,
9.解:1)由题意可设解析式为y-一2(x-1)十本,.-10-一2×(-2-1)3十
.=8新抛物线的解析式为y=一2(x-1)十8。(2)抛物线的顶应
DE∥AF∴E(0,-3).当D与F:F是相邻顶点时F,5
坐标为(1,8).对称轴为直线x=1.
的值为-,-或-23
点D向上平移3个单位长度,,E,E由点A向上平
2=-t+4.x=2.P2.2).2=a…2.=号.y=t
专题三二次函数与几何图形
移3个单位长府当v=3时,.一2x一3=3,.x
果后作业:1,B2,B3.B4.B5,%>>26.y一一〔.x一2)3十1
y=-x十4,
1士7,,,E〔1一7,3》,E,(1十7,3).当AD为对角线时,AF是DE.比时
3)由题在,得
=,=-4=2.当=-4时y=8
7.y=-4(x-2)+38.解:1)y=
2红-4)+3.(2)当y=0时,解得
专项训练:(1)第:C(0,4),,OC=4.O1=OC-40B,,OA=4,OB=1.
E,与E重合.
,A(4,0》,B(一1,0).设德物线的解析式为=(x十1)(x一4).,4=一4a
1=一2,=10,即可把铅球推出10m9,解:(1)由题意,得把愁物线y
a-一1.∴抛物线的解析式为y-一2+3x十4.
22.3实际问题与二次函数
Q(-4,8).Sn=S-5=4X8-4X2-12.56w=4X2
〔x一1)十2向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度得到y一x十x
-y=2+hx+=《x一121日+2一3=《x一3)一1=x一6x+8,·6=
(2)解:5么=AB·0C=7X5×4=10,y=-x十
第1课时与图形面积相关的实际问题
4,5am=4=8,∴SAx=2Sa,BQ=2BP
课前预习:白变量函数二次函数取值范围
6c=8
(2)y=x
-6.x+8
3)-1.:a=1>0且顶点为(3,-1)
3x+4=-(:一号)+六点D的坐标为(受,要)连
22.1.3二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质
,当x>3时,y随x的增大而增大,3x4,,当x一3时,一一1.当
当紫训练:1,C2.B3.B4.150m5,(1)y=-x2+2x0第1课时二次函数y=ax2十k的图象和性质
g-4时ym大-0.10.解:(1)设地物线为y-a(x-4)-4.0-a×〔0-
接OD.则Sn-5ar+Sam+58w-令×1X4+
〔2)2?6,S一一(1一2)十4247,第:设与墙平行的矩形的边长为
课前预习:山.y轴(0,)向上表向下最高点素2.相同不同
4-4.a=.=-4)-4
(2)当x=6时,y=×(6
合×4×号+名×4×-
.(3)解:存在,作PN⊥t
:n则与培垂直的边长为2士?m饲养室的面积为5.∴S=0卫
上或下
轴交AC于点N,求直线AC的解析式为y=一x十4,设P(
/xD.
当堂训练:1.B2.C3,D4.0小25.<6.解:〔1)由题意,得m一2
4)2-4=-3,A(6
-3).设0A为y=k,k=-,y=-,当
-+3x+4).N¥,
-x+4》..N-2+3x+4
-x-15)2+75.x12.
0<≤12.=-<0且顶点为
0,解得m=2,(2)当m=2时,y=2一4.对称输为y轴,顶点为(0,一4).
=4时y=-2.∴M4,-2).M.N关于P(4.-4)对称,“N(4,-6).
《3)由题意,得当x=0时,y=0,即一2m=0,,.m=0.7.够:设比批物线的
4)=-t十4.,S=Sm+Sw=7PV·OA=2PN
3
(15.75)∴当1<15时.5随x的增大而增大.0解析式为
a.d2十2,则3=a十2,解得a=1,∴此抛物线的解析式为
MN=-2-(-6)=4,Sm=Saw十S,SAm=X4X2+
-2(x一2十8,∴P点的坐标为(2,6)时,△PAC的面积最大,最大面积是8
S。+=721m.
8.C
9.
10.一34
子×4×4-12.
(4)解:存在,由题意分两种情况讨论:①若AC为
课后作业:l.B2.C3.B4.A5.-26.-2课后作业:1.C2.D3.52要4.3185.解:S=5mSm=72
长,则CQ=AC=4√2或AQ=AC=4w2,如图所示
8.解:(1)2一5(2)抛物线的解析式为y=2x2一5,所以顶点坐
22.1,4二次函数y=ax2十bx十c的图象和性质
Q,(-4,),Q(4巨+4,0),Q(4-42,.②若AC为
标为(0,一5),对称轴为
(3)根据图象可得:当-1令08-20=2-9x+72=(x-号)广+29.0<≤4当=4
第1课时二次函数y=ax十b.x十c的图象和性质
底边长·则QC=QA,如图所示,Q(0.0.等上所述.点Q7
时,<,9.解:(1)当x-0时,y-3,5,故球在空中运行的最
时,S+=52,6,解:设CD=xcm,:等服R△ABC,BC=AC=4m
大高度是3,5m,(2)当y=2,25时,即-产+3.5=2,25
课前预习:1.(如)直线-2一一+
的坐标分别为0,D),(-4,0,《4十4区,0),(4-4W,0).
∠A-∠B=45.:矩形CDEF,∴DE∥CF.∴∠C-∠ADE=90°,∠B
22.2二次函数与一元二次方程
/AED=45”,,∴,∠A=∠AED.∴.AD=ED=4一x.,S=CD·ED=r(4
当堂训练:1.B2.D3.>为>y4.x=-15.D6.(0,-1)
=士2.5,由题意知x=一2.5,当y=3.05时,即-+3.5
课后作业:1.D2.D3.B4.-15.<6.解:y=2.x2-3x-2=
课前预习:l.黄坐标2.两?-4ar-0:-4ac<0
)=-2+4x0<<).a=-1<0,抛物线开口向下,当x=-=2
当堂训练l.B2.C3.B4.m≤3且m≠25.k<46.D7.A8.D
3,05,x=士1.5,由题意知x=1,5,水平距离为-2.5
2()-“开口向上,顶点坐标为(至)对称轴为直线
时.S最大,最大值是4.答:矩形CDEF的最大面积为4cm2
1.5=4(m).10.罪,(1)令x=0,则y=4,∴,C0,4).令
物线交x轴于(1,0),(3,0),∴设抛物线为
11
7.解:(1)根据题意得(30-2)x=72.整理得2-15x十36=0.解得=3
0,则一x2十4=0,解得x,=2,x=一2.,B《一2,0》,A《2
=
1)(2-3.∴@-2.∴y-2x2+8x-6.顶点坐标为(22)。(4)0<2
-12.30-2x18.x6.x-12.
〔2)设苗园的面积为,y
x〔30-2x》=-2x2十30x=-2(x-7.5)2十112.5.,a=一2<0,,当x
0),AB=4.0C=4.Sw=·AB·0C=8.
第2课时用待定系数法求抛物线的解析式
课后作业1l.A2.A3.A4.0或15.6>于6.x<-3或>1
7.5时,mk=112.5m.:8≤30-2x≤18.∴6≤x≤11当x=11时,m=
(2)设点P.x,y),则Sas=2|AB1·|m=4,|w1=2.当=2
课前预习:(1)y=a.2+6r十e(2)y=a(.x-h)+
7.①③④8.(1)证明:4=4(m十2)2-8(m-1)=4(m十1)+20>0
8m.
《3)6x10
(3》y=e(x-x1》(.x-
∴无论m取何值函数图象与x轴都有两个不相同的交点。(2)解:S=27
第2课时与利润相关的实际问题
时,x-±,当一一2时x-±6,P(反,2)P-
当堂练::1.B2.B3.y=x2一x一24.B5.1一26.1
9.解:(1)2=-9十36-1,6=4.为=-2十4x-1,(2)当=2时,
课前顶习:2.总成本件数3.件数进价(或成本价)
九年级数学·RJ·上册·122