5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性
北师大版（2019）高中数学必修第一册
第五章 函数应用
第1节 方程解的存在性及方程的近似解
导入课题
新知讲授
典例剖析
课堂小结
我们已经学过一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程，
它们有相应的求解公式，并掌握了这些方程的求解方法.
但实际上，绝大部分方程没有求解公式，那么对于没有求解公式
的方程，我们该如何求解呢？
本节我们就来学习一种能解决上述问题的求解方法——利用方程与
函数的关系判断方程解的存在性，再求方程的近似解.
导入课题
新知讲授
典例剖析
课堂小结
在判断一元二次方程是否有实数根时，我们通常
会用根的判别式来判断，因为，所以
方程有两个不相等的实数根.
现在，我们换种方法，从函数的角度来研究处理这个问题：
设函数，则其图象如图所示，
由图可知，，，
，由于函数的图象是连续的曲
线，因此点与点之间的那部分
曲线必然穿过轴，即函数在区间内必有
一点使，同理，在区间内也
必有一点使，
因此，方程有两个不相等的
实数根.
一、零点存在定理
导入课题
1，零点：使得的数称为方程的解，也称为函数
的零点，的零点就是函数的图象与轴的交点的横坐标.
即方程的解
函数的零点
函数的图象与轴交点的横坐标
2，零点存在定理：若函数在闭区间上的图象是一条连续的
曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即，则在开区
间内，函数至少有一个零点，即在区间内相应的方程
至少有一个解.
新知探究
典例剖析
课堂小结
一、零点存在定理
导入课题
3，注意事项：
①函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线（如左图所示），
，两个条件缺一不可；
②当时，方程也可能有解，如右图所示;
③在区间内，方程至少有一个解，只能说明方程
解的存在，并不能判断具体有多少个解;
新知探究
典例剖析
课堂小结
解：
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
设函数，则在区间上有
，，
又因为函数的图象是一条连续的曲线，
所以方程在区间内有解，
故方程在区间内有解.
教材P131例题
例1 方程在区间内有没有解？为什么？
解：
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
例2 判定方程有两个不相等的实数根，且一个根大于5，一个根小于2.
教材P131例题
设函数，显然有
，函数图象如图所示，
观察得，
，
所以由零点存在定理可知，在区间和
内，这个一元二次方程各有一个实数根,
证：
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
例3 求证：对于任意一条封闭的曲线，都存在外切正方形.
教材P131例题
记封闭曲线为，
其在初始时刻的外切四边形为矩形，
它的边长分别为和，
若，则结论成立，
若，不妨设，
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
例3 求证：对于任意一条封闭的曲线，都存在外切正方形.
教材P131例题
保持不动，逆时针转动矩形，转动过程中始终保持它与
外切，设转动角为，则与边长之差可以看成在
上的连续函数，
且，，
由零点存在定理可知，一定存在，使，
此时，封闭曲线的外切矩形是正方形.
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
练习1：观察下面的四个函数图象，指出在区间内，方程哪个有解，并说明理由.
教材P132练习
解：由图象可知，只有和在区间内有解.
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
练习2：判定方程在区间内解的存在性，并说明理由.
教材P132练习
解：设函数，
则，，
所以，
因为函数在区间上是连续函数，
由零点存在定理可知，
函数在区间内至少存在一个解.
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
练习3：说明下列方程存在解，并给出解的一个存在区间：
（1）； （2）.
教材P132练习
解：（1）设函数，则，，
所以，所以方程的一个解的存在区间为；
（2）设函数，则，，
所以，所以方程的一个解的存在区间为.
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
思考1：如果函数有一个零点是2 ，求函数
的零点.
思考探究：函数零点的概念及求法
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
思考2：求方程的解所在的区间.
思考探究：函数零点所在区间的判断
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
思考3：若函数的一个零点在区间内，另一
个零点在区间内，求实数的取值范围.
思考探究：函数零点所在区间的判断
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
思考4：求函数的零点个数.
思考探究：函数零点个数的判断
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
思考5：已知函数，若函数有且仅有两
个零点，求实数的取值范围.
思考探究：函数零点个数的判断
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
思考4：若函数是函数(，且)的反函数，其
图象经过点，求函数的解析式.
思考探究：反函数问题
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
思考5：求函数的反函数的定义域.
思考探究：反函数问题
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
课堂
小结
本节重点
思想方法
1，数形结合的思想方法：函数的图象与轴交点的横坐标、对应方程的解、函数的零点，这三者之间的转化，是高中常用的解题方法之一，也是函数思想的重要应用;
一，零点存在定理
1，零点
2，零点存在定理
3，注意事项
导入课题
新知探究
典例剖析
课堂小结
课后作业
作业1：课本P134 A组T1
作业2：课本P135 A组T1
谢谢聆听！