人教版数学七年级下册5.1.2垂线 课件 (共29张PPT)

(共29张PPT)
5.1.2 垂线
知识点
相似图形
感悟新知
1
1. 定义：
当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足 .
特别解读
垂直的定义具有双重作用，已知直角得线垂直，已知线垂直得直角.
感悟新知
2. 推理格式：
如图5.1-10，直线AB，CD 相交于点O.
因为∠ AOC=90°(已知)，
所以AB ⊥ CD(垂直的定义).
反过来：因为AB ⊥ CD(已知)，
所以∠ AOC=90°(垂直的定义).
感悟新知
如图5.1-11，直线AB，CD 相交于点O，OE ⊥ AB 于
点O，且∠ COE=40°，求∠ BOD 的度数.
例 1
解题秘方：利用垂直的定义及对顶角的性质，将要求的角向已知角转化.
感悟新知
解：因为OE ⊥ AB，
所以∠ AOE=90°.
又因为∠ AOE= ∠ AOC+ ∠ COE，∠ COE=40°，
所以∠ AOC=90°－40°=50°.
所以∠ BOD= ∠ AOC=50°
感悟新知
1-1. [中考·河南] 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥ CD，垂足为O，若∠ 1=54°，则∠ 2 的度数为( )
A. 26°
B. 36°
C. 44°
D.54°
B
感悟新知
将一张长方形纸片按如图5.1-12 所示方式折叠，EF，
EG 为折痕，判断EF 与EG 的位置关系.
解题秘方：利用折叠的性质求出两线的夹角，根据夹角是90°判断两条直线的位置关系.
例2
感悟新知
解：因为三角形A′EF 是由三角形AEF 折叠得到的，四边形B′EGC′是由四边形BEGC 折叠得到的，
所以∠ AEF= ∠ A′EF，∠ BEG= ∠ B′EG.
所以∠ A′EF= ∠ AEA′，∠ A′EG= ∠ A′EB.
所以∠ FEG= ∠ A′EF+ ∠ A′EG= ∠ AEA′+
∠ A′EB= (∠ AEA′+∠ A′EB)= ×180°=90°.
所以EF ⊥ EG.
邻补角的平分线互相垂直.
感悟新知
2-1. 如图， 直线AB，CD 相交于点O，∠ AOC=45°，∠ AOD=3 ∠ DOE. 请猜想OE 与AB 的位置关系，并说明理由.
感悟新知
解：OE⊥AB.理由如下：因为∠AOC＝45°，
所以∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－45°＝135°.
因为∠AOD＝3∠DOE，
所以3∠DOE＝135°，所以∠DOE＝45°，
所以∠AOE＝∠AOD－∠DOE＝135°－45°＝90°，所以OE⊥AB.
知识点
垂线的画法及性质
感悟新知
2
1. 垂线的画法：
经过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线，
步骤如下：
感悟新知
步骤 内容 示图
一落 让三角尺的一条直角 边落在已知直线上， 使其与已知直线重合 过点P 作直线l 的垂线：
点P 在直线l 外 点P 在直线l 上
二移 沿已知直线移动三角 尺，使其另一条直角 边经过已知点 三画 沿此直角边画直线， 则这条直线就是已知 直线的垂线 感悟新知
2. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
特别提醒
性质中的唯一性有两个关键条件不能少：一是“同一平面”；二是过一点，这一点可以在直线上也可以在直线外.
感悟新知
在图5.1-13 中，分别过点P 作AB 的垂线.
例 3
感悟新知
解题秘方：利用三角尺根据画垂线的步骤进行操作.
温馨提示：作线段的垂线时，垂足不一定在线段上. 若不在线段上，则必须将线段用虚线延长.
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解：如图5.1-14.
感悟新知
3-1. 如图，分别过点P作线段MN 的垂线.
感悟新知
解：如图所示．
知识点
垂线段及点到直线的距离
感悟新知
3
1. 垂线段：
特别解读
垂线、垂直与垂线段之间的区别与联系：
1. 区别：垂线是一条与已知直线垂直的直线；垂直是两条直线之间的位置关系；垂线段是一条与已知直线垂直的线段.
2. 联系：垂线段所在的直线是已知直线的垂线；垂线段所在的直线与已知直线垂直.
感悟新知
(1)定义：过直线外一点画已知直线的垂线，连接这点与垂足之间的线段，叫做这点到已知直线的垂线段.
(2)性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
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2. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
(1)垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度.
感悟新知
(2)点到直线的距离与两点间的距离的区别：
两点间的距离 点到直线的距离
定义 连接两点的线段的长度 直线外一点到这条直线的垂线段的长度
性质 两点之间，线段最短 垂线段最短
感悟新知
(1)如图5.1-15，在三角形ABC 中，∠ ACB=90°，CD ⊥ AB，垂足为D. 若AC=4 cm，BC=3 cm，AB=
5 cm，则点A到直线BC 的距离为______ cm，点B 到直线AC 的距离为______ cm，
点C 到直线AB 的距离为
______ cm.
例4
4
3
2.4
感悟新知
解题秘方：根据点到直线的距离的定义，找出垂线段.
解：根据点到直线的距离的定义可知，
点A 到直线BC 的距离是线段AC 的长，
点B 到直线AC 的距离是线段BC 的长，
点C 到直线AB 的距离是线段CD 的长.
因为三角形ABC 的面积S= AC·BC= AB·CD，
所以AC·BC=AB·CD，进而可得CD=2.4 cm.
面积法求直角三角形斜边上的高
感悟新知
(2)点P 为直线m 外一点，点A，B，C 为直线m 上的三点，PA=4 cm，PB=5 cm，PC=2 cm，则点P 到直线m 的距离( )
A. 等于4 cm B. 等于2 cm
C. 小于2 cm D. 不大于2 cm
D
感悟新知
解题秘方：根据点到直线的距离的定义，找出垂线段.
解：点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度，而垂线段是该点与直线上各点的连线中最短的. 从条件看，PC是三条线段中最短的，但不一定是所有连线中最短的，所以点P 到直线m 的距离应该是不大于2 cm.
感悟新知
4-1. 如图，一辆汽车在笔直的公路上由A 向B行驶，M，N 是位于公路AB 两侧的两个学校，若汽车在公路上行驶时会对学校教学造成影响，
试通过画图分别确定出汽车
行驶时对两所学校影响最大
的位置.
感悟新知
解：如图，C点是汽车对M学校影响最大的位置，D点是汽车对N学校影响最大的位置．
课堂小结
垂线
垂线段
垂线
性质
点到直线的距离
垂线的性质