人教B版（2019）数学必修第一册 3.1.3函数的奇偶性（2）课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
函数的奇偶性(2)
1．会根据函数奇偶性求函数值或解析式．
2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题.
本节目标
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　用奇偶性求解析式
[例1]　(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式；
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
[例1]　(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式；
设x<0，则－x>0
当x>0
f(x)＝－x＋1
求f(－x)
奇函数
得x<0时 f(x)的解析式
奇函数的性质
f(0)=0
分段函数
f(x)的解析式
思路点拨
[例1]　(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式；
设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，
∴当x<0时，f(x)＝－x－1.
又x＝0时，f(0)＝0，
所以f(x)＝
[例1]　 (2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
f(x)＋g(x)＝
用x代式中的x
f(x)＋g(x)＝
奇偶性
f(x)g(x)＝
解方程组
得f(x)，g(x)的解析式
思路点拨
[例1]　 (2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
由f(x)＋g(x)＝ ，①，
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝ ，
∴f(x)－g(x)＝ ，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝ ；
(①－②)÷2，得g(x)＝ .
多维探究
变式 设f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
又f(x)＋g(x)＝，①
用－x代替上式中的x，得
f(－x)＋g(－x)＝ ，即f(x)－g(x)＝ .②
联立①②得f(x)＝ ，g(x)＝ .
①“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.
②要利用已知区间的解析式进行代入.
③利用f x 的奇偶性写出－f x 或f －x ，从而解出f x .
利用函数奇偶性求解析式的方法
方法总结
若函数f x 的定义域内含0且为奇函数，则必有f 0 ＝0，但若为偶函数，未必有f 0 ＝0.
题型二 结合函数单调性和奇偶性比较大小问题
[探究问题]
1．如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？
如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？
提示：如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增．
2．你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？
提示：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．
[探究问题]
3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，那么f(3)和f(－2)的大小关系如何？若f(a)>f(b)，你能得到什么结论？
提示：f(－2)>f(3)，若f(a)>f(b)，则|a|<|b|.
[探究问题]
[例2]　函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　)
A．f(1)< f() C．f () B
y=f(x＋2)是偶函数
f(x)的图象关于x=2对称
比较大小
[0,2]上递增
思路点拨
[例2]　函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　)
A．f(1)< f() C．f () B
∵函数f(x＋2)是偶函数，
∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f () ＝f () ，f () ＝f () ，又f(x)在[0,2]上单调递增，
∴f () 在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
比较大小的求解策略：看自变量是否在同一单调区间上.
解题策略
跟踪训练
2．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2) B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2) D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
A
题型三 结合函数单调性和奇偶性解不等式问题
[例3]　已知定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)[例3]　已知定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)因为f(x)在区间[－2,2]上为奇函数，且在区间[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上为减函数．
又f(1－m)解得－1≤m< .
故实数m的取值范围是－1≤m< .
即
解有关奇函数f x 的不等式f a ＋f b <0，先将f a ＋f b <0变形为f a <－f b ＝f －b ，再利用f x 的单调性去掉“f ”，化为关于a，b的不等式.
要特别注意函数的定义域，由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质f x ＝f |x| ＝f －|x| 将f g x 中的g x 全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f，使不等式得解.
解题策略
跟踪训练
3．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)A．a>1 B．a<－2
C．a>1或a<－2 D．－1C
因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)所以f(3)所以3<|2a＋1|，解之得a>1或a<－2.
随堂检测
1．思考辨析
(1)奇函数f(x)＝，当x>0时的解析式与x<0时的解析式相同，所以一般的奇函数在(0，＋∞)上的解析式与(－∞，0)上的解析式也相同．(　　)
(2)对于偶函数f(x)，恒有f(x)＝f(|x|)．(　　)
(3)若存在x0使f(1－x0)＝f(1＋x0)，则f(x)关于直线x＝1对称．(　　)
(4) 若奇函数f(x)在(0，＋∞)上有最小值a，则f(x)在(－∞，0)上有最大值－a.(　　)
×
√
×
√
2．已知偶函数在(－∞，0)上单调递增，则(　　)
A．f(1)>f(2) B．f(1)C．f(1)＝f(2) D．以上都有可能
A
∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减
∴f(1)>f(2)
3．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)A．ab
C．|a|<|b| D．0≤ab≥0
∵f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，
∴由f(a)C
4．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．
f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，
由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得f(x)－g(x)＝x2－x－2，
又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，
两式联立得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
具有奇偶性的函数的单调性的特点
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论.
本课小结
本课小结
利用函数奇偶性求函数解析式
关键是利用奇偶函数的关系式f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导，求得所求区间上的解析式．
通过本节课，你学会了什么？