人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册《空间向量及其线性运算》名师课件(共39张PPT)

(共39张PPT)



某游客从上海世博园（O）游览结束后乘车到外滩（A）观赏黄浦江,然后抵达东方明珠（B）游玩,如图,游客的实际位移是什么？
如果游客还要登上东方明珠顶端（D）俯瞰上海美丽的夜景,如图,那它实际的位移是什么？
复习引入
人教A版同步教材名师课件
空间向量及其线性运算
学习目标
学 习 目 标 核心素养
空间向量的意义及相关概念 数学抽象、直观想象
空间向量的加法、数乘运算及其运算律 数学抽象、数学运算
共线（平行）向量、共面向量的意义 数学抽象、直观想象
直线的方向向量 数学抽象
学习目标
学习目标：
1.理解空间向量的概念
2.掌握空间向量的线性运算
3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应
学科核心素养：
1.通过空间向量有关概念的学习,培养学生的数学抽象核心素养
2.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习,提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养
平面向量 空间向量
定义
平移
表示法
向量的模
单位向量
零向量
相等向量
相反向量
平移后大小和方向不发生改变
在空间,具有大小和有方向的量
长度为1的向量
长度为0的向量
模相等且方向相同的向量
模相等且方向相反的向量
表示向量的有向线段的长度
具有大小和方向的量
平移后大小和方向不发生改变
字母表示：
几何表示：
几何表示：
表示向量的有向线段的长度
长度为1的向量
长度为0的向量
模相等且方向相同的向量
模相等且方向相反的向量
探究新知
字母表示：
a
b
a
b
O
A
B
b
O′
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为同一平面内的两个向量
探究新知
平面向量 空间向量
加法运算
减法运算
运算法则的类比
三角形法则或
平行四边形法则
三角形法则
三角形法则或
平行四边形法则
三角形法则
探究新知
向量加法的三角形法则
a
b
向量加法的平行四边形法则
b
a
向量减法的三角形法则
a
b
a －
b
a ＋
b
A
B
C
O
A
B
C
A
B
C
特点：同起点
特点：尾首相接
特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
探究新知
运算律的类比
平面向量 空间向量
加法交换律
加法结合律
成立吗？
探究新知
O
B
C
A
空间向量的加法结合律的验证
探究新知
(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即:
探究新知
(2)首尾相接的若干向量构成一个封闭图形,则它们的和为零向量,即：
探究新知
分配律：
结合律：
例如:
与平面向量一样,实数与空间向量的乘积仍然是一个向量.
(1)当>0时,是同向伸缩;
(2)当<0时,是反向伸缩;
(3)当=0时,是零向量.
探究新知
问题:类似于平面向量共线的充要条件,你能说出空间任意两个向量共线的充要条件吗？
如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量.
探究新知
共线向量概念：
平面向量共线定理：
平面内任意两个向量的充要条件是存在实数,使.
对任意两个空间向量的充要条件是存在实数,使.
O
a
l
P
直线的方向向量
探究新知
如图,O是直线上一点,在直线上取非零向量则对于直线上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数,使得=.
我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量(direction vector).这样,直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示,也就是说,直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
O
A
l
P
探究新知
如图,为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线,对空间任意一点O,点P在直线上的充要条件是
存在实数t,使,其中向量叫做直线的方向向量.
,
①和②都称为空间直线的向量表示式,空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一决定.
由此可判断空间任意三点是否共线.
共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量(coplanar vectors).
注意:空间任意两个向量是共面的,但空间任意三个向量既可能共面,也可能不共面.
b
c
探究新知
由平面向量基本定理知,如果 是平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数使
问题：那么什么情况下三个向量共面呢？
探究新知
空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对使
C
探究新知
如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在惟一的有序实数对使
或对空间任一点O,有
C
③
③式称为空间平面ABC的向量表示式,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量惟一确定.
O
探究新知
C
O
P与A,B,C共面
探究新知
例1、已知平行六面体,化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量.(如图)
始点相同的三个不共面向量之和,等于以这三个向量为邻边的平行六
面体的同始点的对角线所表示的向量.
解:
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
典例讲解
典例讲解
例2、如图所示,已知长方体ABCD -A′B′C′D′.化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果.
(1)；
(2) ＋＋ .
(1)= =
(2) ＋ ＋
解:
空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使向量间首尾相接.
(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.
方法归纳
变式训练
1.(1)化简 .
(2)在四棱锥中,化简.
解:(1)法一：（利用相反向量的关系转化为加法运算）
法二：（利用向量的减法运算法则求解）
.
(2).
例3、若对任一点和不共线的三点,有则是四点共面的( )
C
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
典例讲解
变式训练
2.(1)化简：
(2)如图所示,已知正方体,点E是上底面的中心,求下列各式中的值:
.
(1)原式
(2)①因为, ,所以
②, ,所以.
解:
典例讲解
例4、如图,在平行六面体中,分别是,的中点,在上且,在上且,判断与是否共线？
由已知可得,
.
所以, 故与共线.
解:
方法归纳
(1)判断两向量共线的方法
判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb(b≠0)成立,同时要充分运用空间向量的运算法则,结合空间图形,化简得出a＝λb,从而得出a∥b.
(2)对空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线：
①；
②对于空间任一点O,；
③对于空间任一点O .
变式训练
3.如图,在平行六面体中,若分别为的中点,证明与共线.
证明：连按,则且为的中点,所以
由已知得,所以,
所以与共线.
O
B
A
H
G
F
E
C
D
典例讲解
例5、如图,已知平行四边形,过平面外一点作射,在四条射线上分别取点并且使,
求证: 四点共面
因为,所以
.
因为四边形是平行四边形,所以.
因此
由向量共面的充要件可知,共面.又过同一点E,
从而四点共面.
证明：
(1)证明向量共面,可以利用共面向量的充要条件,也可直接利用定义,通过线面平行或直线在平面内进行证明．
(2)向量共面：向量所在的直线不一定共面,只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面(向量的起点、终点共面).
方法归纳
(1)分组：合理分组,以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简．
1.化简空间向量的常用思路
(3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)．
(2)多边形法则：在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还可利用多边形法则．若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．
素养提炼
(1)模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等,则它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．
2.理解空间向量的两个关系
(2)向量的模与向量大小关系：由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．但向量的模是可以比较大小的．
素养提炼
素养提炼
3.两个定理的再认识
(1)共线向量定理及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据．定理中的条件b≠0不可遗漏．
(2)直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个,它们的方向相同或相反．
(3)证明(或判断)三点A,B,C共线时,只需证明存在实数λ,使(或)即可；也可用“对空间任意一点O,有”来证明三点共线．
(4)共面向量的充要条件给出了平面的向量表示式,说明空间中任意一个平面都可以由两个不共线的平面向量表示出来．
(5)空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对(x,y),使.满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之,平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．
素养提炼
4.共面向量定理的推论——四点共面
如图,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使；或对空间任意一点O,有
　①
①式称为空间平面ABC的向量表达式．
由此可知,空间中任意一个平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定．
事实上,
显然,(1-x-y)＋x＋y＝1.
故是P,A,B,C四点共面的充要条件．
平
面
向
量
空
间
向
量
基本概念
加减运算
加法运算律
转化
推广
类比法
化归思想
数形结合思想
归纳小结
1.空间向量的数乘运算；
2.共线向量的概念、定理及应用；
3.直线l的方向向量；
4.共面向量的概念、定理及应用。
归纳小结
P5 练习：3、4、5
作 业